数学理卷·2018届湖南省株洲二中、浏阳一中等五校高二下学期期末联考（2017-06）

数学理卷·2018届湖南省株洲二中、浏阳一中等五校高二下学期期末联考（2017-06）

‎2017年上学期湘东五校联考高二年级期末考试 理科数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知集合A＝{x|x2＋4x＋3≥0}，B＝{x|2x<1}，则A∩B＝( ) A．[－3，－1] B．(－∞，－3]∪[－1，0)‎ C．(－∞，－3)∪(－1，0] D．(－∞，0)‎ ‎3＋i ‎2.已知复数z＝‎ ‎，其中i为虚数单位， 则|z|＝( )‎ ‎2‎ ‎(1＋i)‎ ‎1‎ A. 2 B. 1 C. 2 D．2‎ x ‎3.设命题p：若x，y∈R，x＝y，则＝1；命题q：若函数f(x)＝ex，则对任意x≠x都有 y 1 2‎ f(x1)－f(x2)‎ x1－x2‎ ‎( )‎ ‎>0 成立．在命题①p∧q,②p∨q,③p∧Øq，④Øp∨q中，是真命题的是 A．①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④‎ ‎4.椭圆x2+my2=1的长轴长为4，则其焦点坐标为（ ）‎ A.(± ‎3,0) B.(±1,0） C.（0，±1） D.（0，± 3）‎ ‎5.甲乙丙三人相约晚7时到8时之间在某地会面，已知这三人都不会违约且无两人同时到达，‎ 则甲第一个到达，丙第三个到达的概率为（ ）‎ ‎1 1 1 1‎ A. B. C. D.‎ ‎3 4 5 6‎ ‎6.我国古代数学名著《张邱建算经》：今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人 与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？意思是：‎ 将钱分给若干人，第一人给3钱，第二人给4钱，第3人给5钱，以此类推，每人比前一人 多给1钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分得100钱，问有多少人?则题中 的人数是（ ）‎ A. 193 B. 194 C. 195 D. 196‎ ‎7.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图像如下图所示，则fæ11πö的值为( )‎ è24 ø ‎6‎ A．－‎ ‎2‎ ‎3‎ B．－2‎ ‎2‎ C．－2‎ ‎‎ D．－1‎ r r ‎8若|ar|=1，|b|=2，cr=ar+b，且cr^ar，则向量ar与b的夹角为（ ）‎ A.300 B.600 C.1200 D.1500‎ ‎2π ‎9某几何体的三视图如下图所示，若该几何体的体积为3 ，则a的值为( )‎ ‎3‎ A．1 B．2 C．22 D.2‎ ‎10．执行如下图所示的程序框图，若输出的i＝3，则输入的a(a>0)的值所在范围是( )‎ A.[9，＋∞)‎ ‎B.[8，9]‎ x2 y2‎ ‎C.[8，144)‎ ‎D.[9，144)‎ ‎11.已知F1，F2是双曲线 -‎ a2 b2‎ ‎=1（a>0,,b>0)的左、右焦点，点F1关于渐近线的对称点 恰好落在以F2为圆心，|OF2|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. 3 B. 3+1 C.2 D. 2‎ ìx+1，x£0‎ ‎12.已知函数f（x）=í îlgx，x>0‎ ‎‎ ‎，若函数y=|f（x)|-a有4个零点x1，x2，x3，x4，则 x1+x2+x3+x4的取值范围是( )‎ ‎81 101 81‎ A.（0，]‎ ‎10‎ ‎B.（2， ]‎ ‎10‎ ‎C.（0，+¥）‎ ‎D .（2，]‎ ‎10‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答， 第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.函数f（x）=ax+lnx在x=1处的切线与直线x-y+1=0垂直，则实数a= ‎ æ3‎ ‎14.ç è ‎‎ ‎1ö x－ ÷ ‎2xø ‎‎ ‎12‎ 的展开式的常数项为 ‎ ‎15.在DABC中，已知AB= 3，C=p，则CA·CB的最大值为 ‎3‎ ‎16.一个样本容量为20的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{an}，若a2=6且前 ‎4项和为S4=28，则此样本数据的平均数和中位数分别为、‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.(本小题12分）已知数列｛an｝的前n项和为Sn，Sn=2an-1，数列｛bn｝为等差数列，且 b1=a1，b6=a5（1）求数列｛an｝与｛bn｝的通项公式；（2）若Cn=anbn，求数列｛cn｝的前n项 和Tn。‎ ‎18.(本小题12分）如图所示，四边形ABCD是正方形，△PAB与△PAD均是以A为直 角顶点的等腰直角三角形，点F是PB的中点，点E是边BC上的任意一点．‎ ‎(1)求证：AF⊥EF；‎ ‎(2)求二面角A•PC•B的平面角的正弦值．‎ ‎19.(本小题12分）有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已 知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响．据调查统计，‎ 通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布表如下：‎ 所用的时间(天数)‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ 通过公路1的频数 ‎20‎ ‎40‎ ‎20‎ ‎20‎ 通过公路2的频数 ‎10‎ ‎40‎ ‎40‎ ‎10‎ 假设汽车A只能在约定日期(某月某日)的前11天出发，汽车B只能在约定日期的前12‎ 天出发(将频率视为概率)．‎ ‎(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车A和汽车B应如 何选择各自的路径？‎ ‎(2)若通过公路1、公路2的“一次性费用”分别为3.2万元、1.6万元(其他费用忽略 不计)，此项费用由生产商承担．若生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次 性支付给生产商40万元；若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给生产商2万 元；若在约定日期后送到，每迟到一天生产商将支付给销售商2万元．如果汽车A，B按(1)‎ 中所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大．‎ x2 y2‎ ‎20.(本小题12分）在直角坐标系xOy，椭圆C1： ＋‎ ‎＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 a2 b2‎ ‎2‎ F1，F2，其中F2也是抛物线C2：y＝4x的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|‎ ‎5‎ ‎＝ .(1)求椭圆C1的方程；(2)若过点D(4，0)的直线l与C1交于不同的两点A，B，且A在 ‎3‎ DB之间，试求△AOD与△BOD面积比值的取值范围．‎ x2‎ ‎21.(本小题12分）设函数f(x)＝2－alnx(a≠0)．‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性和极值；‎ ‎(2)证明：当a>0时，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，e]上仅有一个零点．‎ 请考生在第22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．把答案写在答题卡上 ìx＝3cosθ，‎ ‎22．(本小题10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为í îy＝sinθ 数)．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 π ‎(θ 为参 ρsinæθ＋‎ è ‎ö＝2.(1)写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)设点Q是曲 ‎4ø 线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最大值。‎ ‎23(本小题10分）设f(x)＝|2x－1|＋|1－x| (1)解不等式f(x)≥x＋4；‎ ‎(2)若对任意的x∈R，不等式f(x)≥(m2－3m＋3)·|x|恒成立，求实数m的取值范围。‎ ‎2017年上学期湘东五校联考高二年级期末考试理科数学答案 时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知集合A＝{x|x2＋4x＋3≥0}，B＝{x|2x<1}，则A∩B＝( B)‎ A．[－3，－1]B．(－∞，－3]∪[－1，0)‎ C．(－∞，－3)∪(－1，0]D．(－∞，0)‎ ‎3＋i ‎2.已知复数z＝‎ ‎，其中i为虚数单位， 则|z|＝(B )‎ ‎2‎ ‎(1＋i)‎ ‎1‎ A.2B.1C. 2D．2‎ x ‎3.设命题p：若x，y∈R，x＝y，则＝1；命题q：若函数f(x)＝ex，则对任意x≠x都有 y 1 2‎ f(x1)－f(x2)‎ x1－x2‎ ‎( D )‎ ‎>0 成立．在命题①p∧q,②p∨q,③p∧Øq，④Øp∨q中，是真命题的是 A．①③ B. ①④C. ②③ D. ②④‎ ‎4.椭圆x2+my2=1的长轴长为4，则其焦点坐标为（ D ）‎ A.(± ‎3,0) B.(±1,0） C.（0，±1） D.（0，± 3）‎ ‎5.甲乙丙三人相约晚7时到8时之间在某地会面，已知这三人都不会违约且无两人同时到达，‎ 则甲第一个到达，丙第三个到达的概率为（ D ）‎ A.1B.‎ ‎3‎ ‎1C.‎ ‎4‎ ‎1D.1‎ ‎5 6‎ ‎6.我国古代数学名著《张邱建算经》：今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人 与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？意思是：‎ 将钱分给若干人，第一人给3钱，第二人给4钱，第3人给5钱，以此类推，每人比前一人 多给1钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分得100钱，问有多少人?则题中 的人数是（ C ）‎ A. 193 B. 194 C. 195 D. 196‎ æ11πö的值为 ‎7.函数 f(x)＝Asin(ω x＋φ)(A>0，ω>0)的部分图像如图84所示，则fè24 ø ‎( D )‎ 图1‎ ‎6 3 2‎ A．－2B．－2C．－2D．－1‎ r r ‎8若|ar|=1，|b|=2，cr=ar+b，且cr^ar，则向量ar与b的夹角为（ C ）‎ A.300 B.600 C.1200 D.1500‎ ‎2π ‎9某几何体的三视图如图12所示，若该几何体的体积为3 ，则a的值为( B )‎ 图2‎ ‎3‎ A．1 B．2 C．22 D.2‎ ‎10．执行如图13所示的程序框图，若输出的i＝3，则输入的a(a>0)的值所在范围是( D )‎ A.[9，＋∞)‎ ‎‎ B.[8，9]‎ ‎图3‎ C.[8，144)‎ ‎‎ D.[9，144)‎ x2 y2‎ ‎11.已知F1，F2是双曲线 -‎ a2 b2‎ ‎‎ =1（a>0,,b>0)的左、右焦点，点F1关于渐近线的对称点 恰好落在以F2为圆心，|OF2|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ D ）‎ A. 3 B. 3+1 C.2 D. 2‎ ìx+1，x£0‎ ‎12.已知函数f（x）=í îlgx，x >0‎ ‎‎ ‎，若函数y=|f（x)|-a有4个零点x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4‎ 的取值范围是(‎ A )‎ A.（081‎ ‎，]‎ B.（2101‎ ‎，‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎81‎ ‎] C.‎ ‎（0，+¥）‎ ‎D .（2，]‎ ‎10‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答， 第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.函数f（x）=ax+lnx在x=1处的切线与直线x-y+1=0垂直，则实数a= -2 ‎ ‎1‎ æ3 ö12 55‎ ‎13.ç è ‎x－ ÷ ‎2xø ‎的展开式的常数项为－2‎ ‎14.在DABC中，已知AB=3，C=p，则CA·CB的最大值为3‎ ‎3 2‎ ‎15.一个样本容量为20的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{an}，若a2=6且前 ‎4项和为S4=28，则此样本数据的平均数和中位数分别为23，23‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.(本小题12分）已知数列｛an｝的前n项和为Sn，Sn=2an-1，数列｛bn｝为等差数列，且 b1=a1，b6=a5（1）求数列｛an｝与｛bn｝的通项公式；（2）若Cn=anbn，求数列｛cn｝的前n项 和Tn。‎ 解：由Sn=2an-1，（1）‎ n³2Sn-1=2an-1-1，（2)‎ ‎(1)-(2)得：an=2an-2an-1，即an=2an-1，，n=1得a1=1‎ n a=2n-1‎ ‎KKKKKKKKKKKK3分 Qb1=a1=1，b6=a5=16且｛bn｝为等差数列 公差d=3，bn=3n-2‎ ‎KKKKKKKKKKKK6分 n-1,‎ ‎（2）由错位相减法求和Cn=anbn=(3n-2)2‎ ‎0 1 2‎ ‎n-1,‎ Tn=1´2+4´2+7´2+KK+(3n-2)2‎ ‎(1)‎ ‎1 2 3‎ ‎n-1,‎ ‎n, KKKKKK ‎2Tn=1´2+4´2+7´2+KK+(3n-5)2‎ ‎(1)-(2)得：‎ ‎+(3n-2)2‎ ‎(2) 8分 ‎0 1 2‎ ‎n-1, n,‎ ‎-Tn=1´2+3´2+3´2+KK+3´2‎ ‎1-2n-1‎ ‎-(3n-2)2‎ ‎=1+3´ ‎‎ ‎1-2‎ ‎-(3n-2)2n,‎ ‎KKKKKKKKKKKK10分 ‎=（3n-5）2n+5‎ ‎KKKKKKKKKKKK12分 ‎18.如图所示，四边形ABCD是正方形，△PAB与△PAD均是以A为直角顶点的等腰直角三 角形，点F是PB的中点，点E是边BC上的任意一点．‎ ‎(1)求证：AF⊥EF；‎ ‎(2)求二面角A•PC•B的平面角的正弦值．‎ 解：(1)证明：∵F是PB的中点，且PA＝AB，‎ ‎∴AF⊥PB.‎ ‎∵△PAB与△PAD均是以A为直角顶点的等腰直角三角形，‎ ‎∴PA⊥AD，PA⊥AB.‎ 又∵AD∩AB＝A，AD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD，‎ ‎∴PA⊥平面ABCD.‎ ‎∵BC⊂平面ABCD，‎ ‎∴PA⊥BC.‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴BC⊥AB.‎ 又∵PA∩AB＝A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，‎ ‎∴BC⊥平面PAB.‎ ‎∵AF⊂平面PAB，‎ ‎∴BC⊥AF.KKKKKKKKKKKK3分 ‎∵PB∩BC＝B，PB⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，‎ ‎∴AF⊥平面PBC.‎ ‎∵EF⊂平面PBC，‎ ‎∴AF⊥EF.KKKKKKKKKKKK5分 ‎(2)以A为坐标原点，分别以AD，AB，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐 标系A•xyz.‎ 设PA＝1，则P(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D(1，0，0)，‎ ‎→ →‎ ‎∴PB＝(0，1，－1)，BC＝(1，0，0)．‎ 设平面PBC的法向量为m＝(x，y，z)，‎ ‎→‎ ïìm·PB＝0， 由í ‎→‎ ‎‎ ïìy－z＝0， 得í îïx＝0，‎ ‎‎ 令y＝1，得z＝1，‎ îïm·BC＝0，‎ ‎∴m＝(0，1，1)为平面PBC的一个法向量．KKKKKKKKKKKK7分 ‎∵PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAC，‎ ‎∴平面PAC⊥平面ABCD.‎ 连接BD，则BD⊥AC.‎ ‎∵平面PAC∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，‎ ‎∴BD⊥平面PAC，‎ ‎→‎ ‎∴平面PAC的一个法向量为BD＝(1，－1，0)．KKKKKKKKKKKK9分 设二面角A•PC•B的平面角为θ，‎ ‎→‎ ‎，‎ ‎→ m·BD ‎1 KKKKKKKKKKKK ‎11分 则cos θ＝|cos〈m，BD〉|＝‎ ‎→＝2‎ ‎，‎ ‎∴sin θ＝1－cos2θ＝3‎ ‎|m||BD|‎ ‎2‎ ‎∴二面角A•PC•B的平面角的正弦值为3.KKKKKKKKKKKK12分 ‎2‎ ‎19.有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城 市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响．据调查统计，通过这两条公路 从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布表如下：‎ 所用的时间(天数)‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ 通过公路1的频数 ‎20‎ ‎40‎ ‎20‎ ‎20‎ 通过公路2的频数 ‎10‎ ‎40‎ ‎40‎ ‎10‎ 假设汽车A只能在约定日期(某月某日)的前11天出发，汽车B只能在约定日期的前12‎ 天出发(将频率视为概率)．‎ ‎(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车A和汽车B应如 何选择各自的路径？‎ ‎(2)若通过公路1、公路2的“一次性费用”分别为3.2万元、1.6万元(其他费用忽略 不计)，此项费用由生产商承担．若生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次 性支付给生产商40万元；若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给生产商2万 元；若在约定日期后送到，每迟到一天生产商将支付给销售商2万元．如果汽车A，B按(1)‎ 中所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大．‎ 解：(1)频率分布表如下：‎ 所用的时间(天数)‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ 通过公路1的频率 ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ 通过公路2的频率 ‎0.1‎ ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎0.1‎ 设A1，A2分别表示汽车A在约定日期前11天出发选择公路1，2将货物运往城市乙；设 B1，B2分别表示汽车B在约定日期前12天出发选择公路1，2将货物运往城市乙． 则P(A1)＝0.2＋0.4＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，KKKKKK2分 P(B1)＝0.2＋0.4＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9.KKKKKK4分 故汽车A选择公路1，汽车B选择公路2.KKKKKKKKKKKK6分 ‎(2)设X表示汽车A选择公路1时，销售商付给生产商的费用，则X的所有可能取值有 ‎42，40，38，36，则X的分布列如下：‎ X ‎42‎ ‎40‎ ‎38‎ ‎36‎ P ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎∴E(X)＝42×0.2＋40×0.4＋38×0.2＋36×0.2＝39.2，‎ ‎∴汽车A选择公路1的毛利润是39.2－3.2＝36(万元)．KKKKKK9分 设Y表示汽车B选择公路2时，销售商付给生产商的费用，则Y的所有可能取值有44，‎ ‎42，40，38，则Y的分布列如下：‎ Y ‎44‎ ‎42‎ ‎40‎ ‎38‎ P ‎0.1‎ ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎0.1‎ ‎∴E(Y)＝44×0.1＋42×0.4＋40×0.4＋38×0.1＝41，‎ ‎∴汽车B选择公路2的毛利润是41－1.6＝39.4(万元)．‎ ‎∵36<39.4，‎ ‎∴汽车B为生产商获得的毛利润更大．KKKKKK12分 x2 y2‎ ‎20.(本小题12分）在直角坐标系xOy，椭圆C1：＋‎ ‎‎ ‎＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，‎ a2 b2‎ ‎2 5‎ F2，其中F2也是抛物线C2：y＝4x的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|＝.‎ ‎3‎ ‎(1)求椭圆C1的方程；‎ ‎(2)若过点D(4，0)的直线l与C1交于不同的两点A，B，且A在DB之间，试求△AOD 与△BOD面积比值的取值范围．‎ 解：(1)依题意知F2(1，0)，设M(x1，y1)．‎ ‎5 2‎ 由抛物线定义得|MF2|＝1＋x1＝，即x1＝.‎ ‎3‎ ‎2 26‎ ‎3‎ KKKKKKKKKKKK 将x1＝代入抛物线方程得y1＝ ， 2分 ‎3 3‎ ‎2 æ26ö2‎ ‎2 2‎ ‎2 2‎ æ2ö ç ÷ è3ø ‎è 3ø 由 a2 ＋‎ ‎b2 ＝1及a－b＝1，解得a＝4，b＝3.‎ x2 y2‎ ‎KKKKKKKKKKKK 故椭圆C1的方程为4＋3＝1.‎ ‎5分 x2 y2‎ ‎(2)依题意知直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为x＝my＋4，代人4＋3＝1，整 理得(3m2＋4)y2＋24my＋36＝0， 由Δ>0，解得m2>4.‎ ì ‎－24m ïy1＋y2＝ ，①‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则í ‎3m2＋4‎ ‎36‎ ‎KKKKKKKKKKKK7分 îïy1·y2＝ ，②‎ ‎3m2＋4‎ S△AOD ‎1|OD|·|y|‎ ‎1‎ ‎2 y1‎ 令λ＝‎ ‎，则λ ＝‎ ‎＝‎ ‎2‎ ‎1|OD|·|y|‎ ‎，且0<λ<1.‎ y ‎2‎ S△BOD 2‎ ‎‎ ‎－24m ‎，‎ ïì（λ＋1）y2＝3m2＋4‎ ‎‎ KKKKKKKKKKKK 将y1＝λy2代入①②得í 36 9分 îïλy2＝ ，‎ ‎2 3m2＋4‎ ‎（λ＋1）2‎ 消去y2得 ＝‎ ‎16m2‎ ‎4（λ＋1）2‎ ‎，即m2＝ .‎ λ ‎（λ＋1）2‎ ‎3m2＋4‎ ‎10λ－3λ2－3‎ 由m2>4得 ‎>1，∴λ≠1且3λ2－10λ＋3<0,‎ ‎10λ－3λ2－3‎ ‎1‎ 解得 <λ<1或1<λ<3.‎ ‎3‎ ‎1 æ1 ö 又∵0<λ<1，∴‎ ‎<λ<1故△AOD与△BOD面积比值的取值范围为 ‎，1.‎ ‎3‎ KKKKKK12分 ‎è3 ø x2‎ ‎21.(本小题12分）设函数f(x)＝2－alnx(a≠0)．‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性和极值；‎ ‎(2)证明：当a>0时，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，e]上仅有一个零点．‎ ‎－‎ 解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x a＝‎ x ‎x2－a KKKKKK ‎. 1分 x ‎①当a<0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值．KKKKKK3分 ‎②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a. f(x)与f′(x)在区间(0，＋∞)上的情况如下：‎ x ‎(0，a)‎ a ‎( a，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ a（1－lna）‎ ‎2‎ 所以，f(x)的单调递减区间是(0，a)，单调递增区间是( a，＋∞)，‎ a（1－ lna）KKKKKK6‎ 且f(x)在x＝a处取得极小值f( a)＝ 2 . 分 ‎(2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为f( a)＝‎ a（1－lna）‎ ‎a（1－lna）‎ ‎2 .‎ 因为f(x)存在零点，所以 ‎≤0，从而a≥e.‎ ‎2‎ 当a＝e时，f(x)在区间(1，e)上单调递减，且f( e)＝0，‎ 所以x＝e是f(x)在区间(1，e]上的唯一零点．KKKKKK9分 ‎1 e－a 当a>e时，f(x)在区间(0，a)上单调递减，且f(1)＝>0，f( e)＝‎ ‎2 2‎ ‎<0，‎ 所以f(x)在区间(1，e]上仅有一个零点．‎ 综上可知，当a>0 时，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，e]上仅有一个零 点．KKKKKK12分 请考生在第22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．把答案写在答题卡上 ìx＝3cosθ，‎ ‎22．(本小题10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为í îy＝sinθ 参数)．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 π ‎(θ 为 ρsinæθ＋‎ è ‎ö＝2.‎ ‎4ø ‎(1)写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最大值．‎ ìx＝3cosθ，‎ 解：(1)由í îy＝sinθ，‎ ‎x2‎ 得＋y2＝1，‎ ‎3‎ x2‎ ‎∴曲线C的普通方程为＋y2＝1.‎ ‎3‎ æθ＋πö＝2，得ρæsinθcosπ＋cosθsinπö＝2，‎ 由ρsinè 4ø è 4 4ø 化简得ρsinθ＋ρcosθ＝2，‎ ‎∴x＋y＝2，‎ ‎∴直线l的直角坐标方程为x＋y＝2.‎ ‎‎ KKKKKK5分 ‎(2)∵点Q是曲线C上的一个动点，∴可设点Q的坐标为(‎ ‎|3cosθ＋sinθ－2|‎ ‎3cosθ，sinθ).‎ 故点Q到直线l的距离d＝ ＝‎ ‎2‎ π ï2cosæθ－‎ ‎ö－2ï ï è 6ø ï ‎，‎ ‎2‎ π 4‎ 当cosæθ－‎ è ‎ö＝－1时，d＝‎ ‎6ø max ‎＝22，‎ ‎2‎ ‎∴点Q到直线l的距离的最大值为22.‎ ‎KKKKKK10分 ‎23(本小题10分）设f(x)＝|2x－1|＋|1－x|‎ ‎（1)解不等式f(x)≥x＋4；‎ ‎(2)若对任意的x∈R，不等式f(x)≥(m2－3m＋3)·|x|恒成立，求实数m的取值范围 ‎3x－2，x≥1，‎ ì 1‎ 解：(1)由已知得f(x)＝|2x－1|＋|1－x|＝íx，‎ ‎

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