吉林省长春市榆树一中2019-2020学年高一上学期尖子生考试数学（理）试题

吉林省长春市榆树一中2019-2020学年高一上学期尖子生考试数学（理）试题

www.ks5u.com 数学（理）试题（1）‎ 总分150分 时间120分 一、选择题（本题共12个小题，每题5分，共60分）‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解出集合，再由并集的定义写出即可．‎ ‎【详解】由，‎ 则．故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的并集，正确求解一元二次不等式，是首要条件．属于基础题 ‎2.与函数的图象相同的函数是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数的性质可化简函数，分析选项的定义域及解析式即可求解.‎ ‎【详解】因，‎ 所以A,B选项定义域为，排除，‎ 对于C选项，化简可得，定义域不同，排除，‎ 对于D选项，，定义域及解析式相同，‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了函数的定义域及函数的解析式，属于中档题.‎ ‎3.，则=‎ A. 2 B. 1 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将原式的分子分母同时除以，化为关于的三角式求解．‎ ‎【详解】将原式的分子分母同时除以，得到：；‎ 故答案选A ‎【点睛】本题考查同角三角函数关系，考查学生转化计算能力，属于基础题．‎ ‎4.是定义在上的减函数，则的范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由一次函数的单调性以及端点处的函数值的关系结合分段函数的单调性即可得到的范围.‎ ‎【详解】解：要使得在上是单调减函数 需满足，解得 故选:B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性，属于中档题.‎ ‎5.函数的最小正周期为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意，故选C．‎ ‎【名师点睛】函数的性质：‎ ‎(1).‎ ‎(2)最小正周期 ‎(3)由求对称轴.‎ ‎(4)由求增区间;由求减区间.‎ ‎6.函数 为增函数的区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复合函数单调性关系，结合三角函数单调性的性质进行转化求解即可．‎ ‎【详解】,‎ 求的递增区间，等价于求的递减区间，‎ 由 ‎ 得 ‎ 得 当k＝0时，，‎ 即函数的递减区间为，‎ 则函数的单调递增区间为.‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数单调性以及单调区间的求解，利用复合函数单调性之间的关系以及三角函数的单调性是解决本题的关键．根据y=sint和的单调性来研究，由得单调增区间；由得单调减区间.‎ ‎7.（ ）‎ A. B. C. 2 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因，选D ‎8.设D为△ABC所在平面内一点，，则（　　）‎ A. ＝﹣2+3 B. ＝3﹣2‎ C. ＝﹣3+4 D. ＝4﹣3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，即可得出，进行向量的数乘运算即可得出 结果.‎ ‎【详解】，‎ ‎ ，‎ ‎，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算，属于简单题. 向量的运算有两种方法：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.‎ ‎9.已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先排除时x的值，再利用夹角为锐角的平面向量的数量积为正数即可求得结果.‎ ‎【详解】若，则，解得.‎ 因为与夹角为锐角，∴.‎ 又，由与的夹角为锐角，‎ ‎∴，即，解得.‎ 又∵，所以.‎ 所以本题答案为B.‎ ‎【点睛】本题考查利用平面向量的数量积判断角的类型，注意排除向量平行的可能，属基础题.‎ ‎10.如果向量如果向量共线且方向相反，则(　　)‎ A. B. C. 2 D. 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量共线的条件可得，根据方向相反选择的取值即可.‎ ‎【详解】因为向量共线，‎ 所以，‎ 解得或，‎ 因为向量方向相反，‎ 所以，‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了向量共线的条件，方向相反的向量，属于中档题.‎ ‎11.已知，，，则的大小关系为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用利用等中间值区分各个数值的大小．‎ ‎【详解】；‎ ‎；‎ ‎．‎ 故．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与的大小区别对待．‎ ‎12.已知函数若函数有四个零点,零点从小到大依次为则的值为(　　)‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数有四个零点，即与的图象有4个不同交点，‎ 可设四个交点横坐标满足，由图象，结合对数函数的性质，进一步求得，利用对称性得到，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 作出函数的图象如图,‎ 函数有四个零点，即与的图象有4个不同交点，‎ 不妨设四个交点横坐标满足，‎ 则，，,‎ 可得,‎ 由，得，‎ 则，可得，‎ 即，，故选C.‎ ‎【点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.‎ 二、填空题（本题共4个小题，每个小题5分，共20分）‎ ‎13.设是第三象限角，，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由是第三象限的角，根据的值，利用同角三角函数间的基本关系求出的值即可．‎ ‎【详解】解：，‎ ‎，‎ ‎，‎ 又为第三象限角，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．‎ ‎14.已知是奇函数，且当时，.若，则__________.‎ ‎【答案】-3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时，代入条件即可得解.‎ ‎【详解】因为是奇函数，且当时，．‎ 又因为，，‎ 所以，两边取以为底的对数得，所以，即．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．‎ ‎15.若函数，在上恒成立，则的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分离参数法转化为在上恒成立，然后利用换元法结合二次函数求解的最大值即可.‎ ‎【详解】因为恒成立，所以在上恒成立；‎ 设，则，，‎ 因为时，，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查恒成立问题，恒成立问题一般是利用分离参数法求解，分离参数后求解新函数的最值即可.侧重考查数学运算和数学抽象的核心素养.‎ ‎16.给出下列命题：‎ ‎①函数是奇函数；‎ ‎②将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像；‎ ‎③若是第一象限角且，则；‎ ‎④是函数的图像的一条对称轴；‎ ‎⑤函数的图像关于点中心对称．‎ 其中，正确命题序号是______________‎ ‎【答案】①④‎ ‎【解析】‎ 分析：利用诱导公式、正弦函数和余弦函数性质以及图像特征，还有正切函数的性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得到正确的结果.‎ 详解：①函数是奇函数，故①正确；‎ ‎②若将函数的图像向左平移个单位长度，其图像对应的函数解析式为 ，而不是，故②错误；‎ ‎③令，则有，此时，故③错误；‎ ‎④把代入函数，得，为函数的最小值，故是函数的图像的一条对称轴，故④正确；‎ ‎⑤因为函数的图像的对称中心在函数图像上，而点不在图像上，所以⑤不正确；‎ 故正确的命题的序号为①④.‎ 点睛：该题考查的是有关三角函数的图像和性质的有关问题，在求解的过程中，需要对正余弦的诱导公式、三角函数的图像和性质、以及图像的变换的有关要求都非常清楚，逐一判断，求得结果.‎ 三、解答题（本题共6个题，满分70分）‎ ‎17.已知，是互相垂直的两个单位向量，，.‎ ‎（1）求和的夹角；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）分别运用向量的代数形式和坐标形式的数量积公式建立方程求解；（2）依据题设条件及向量的数量积公式建立方程求解：‎ 解：（1）因为，是互相垂直的单位向量，所以 ， ， ‎ 设与的夹角为，故， 又 ，故 ‎ ‎（2）由得 ，即，又 ‎ ‎ 故 ‎ ‎【解法二】‎ 设与的夹角为，则由，是互相垂直的单位向量，不妨设，分别为平面直角坐标系中轴、轴方向上的单位向量，则， ， ， ， ，故 ．又 ，故 ．‎ ‎（2）由与垂直得 ，即，又，故 ‎ ‎18.如图是函数在一个周期内的图像,试确定的值。‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由图象可知振幅,周期，利用周期公式求出，图象过点，代入即可求出.‎ ‎【详解】由图象可知，周期，‎ 所以,解得，‎ 又图象过点，‎ 所以，即,‎ 解得,‎ 由，可取.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，正弦型函数的解析式，属于中档题.‎ ‎19.已知 ‎（1）化简 ‎（2）若是第二象限角,且,求的值.‎ ‎【答案】（1）（2） ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎（1）根据诱导公式对进行化简即可．（2）先由求得，再根据（1）的结论及同角三角函数关系式求解．‎ 试题解析：‎ ‎（1）．‎ ‎（2），‎ ‎ ， ‎ ‎∵ 是第二象限角，‎ ‎∴，‎ ‎． ‎ ‎20.求函数的最大值与最小值.‎ ‎【答案】,即时,,当,即时,.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数的运算，可化简函数，利用二次函数即可求出最值.‎ ‎【详解】.‎ ‎∵,∴,‎ 故当,即时,,当,即时,.‎ ‎【点睛】本题主要考查了对数的运算，二次函数求最值，属于中档题.‎ ‎21.函数对任意的都有,并且时，恒有.‎ ‎(1).求证：在R上是增函数；‎ ‎(2).若解不等式 ‎【答案】(1)证明见解析；(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用函数的单调性的定义，结合已知条件转化，证明f（x）在R上是增函数；‎ ‎（2）利用已知条件通过f（3）＝4，求出2＝f（1），然后利用函数的单调性解不等式f（a2+a﹣5）＜2．‎ ‎【详解】(1).设,且,则,所以 即,所以是R上的增函数.‎ ‎(2).因为,不妨设,所以,即，，所以.‎ ‎，因为在R上为增函数，所以得到,‎ 即.‎ ‎【点睛】本题考查抽象函数的应用，函数的单调性证明以及函数的单调性的应用，考查计算能力．‎ ‎22.在平面直角坐标系中，为坐标原点，三点满足.‎ ‎(1)求证：三点共线； ‎ ‎(2)已知的最小值为，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）证明过程见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）只需证得 即可．（2）由题意可求得 的解析式，利用换元法转换成 ，讨论 的单调性，可知其在上为单调减函数，得 可解得的值．‎ ‎（1）证明：三点共线.‎ ‎（2），‎ ‎，‎ 令，其对称轴方程为在上是减函数，‎ ‎．‎ 点睛：证明三点共线的方法有两种：一、求出其中两点所在直线方程，验证第三点满足直线方程即可；二、任取两点构造两个向量，证明两向量共线即可．在考试中经常采用第二种方法，便于计算．证明四点共线一般采用第一种方法．‎ ‎ ‎