【数学】2020届一轮复习北师大版正弦余弦定理及解三角形作业
1.(2018 浙江绍兴高三 3 月适应性模拟,6)在△ABC 中,内角 C 为钝角,sin C=,AC=5,AB=3 ,
则 BC=( )
A.2 B.3 C.5 D.10
答案 A
2.(2018 浙江嵊州高三期末质检,14)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若
cos(A+C)=,a=2,b=4,则 sin A= ,c= .
答案 ;3
考点二 解三角形及其综合应用
1.(2018 浙江湖州、衢州、丽水第一学期质检,15)在锐角△ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,若
AB=3,AC=4,△ABC 的面积是 3 ,则 AD= .
答案
2.(2015湖北,13,5分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北
侧一山顶 D 在西偏北 30°的方向上,行驶 600 m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 75°的方
向上,仰角为 30°,则此山的高度 CD= m.
答案 100
炼技法
【方法集训】
方法 有关三角形面积的计算
1. (2018 浙江杭州高三教学质检,13)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为
a,b,c,a= ,b=3,sin C=2sin A,则sin A= ;设 D为AB边上一点,且 =2 ,则△BCD
的面积为 .
答案 ;2
2.(2018 浙江金华十校高考模拟(4 月),18)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知
sin A=sin(B-C)+2sin 2B,B≠.
(1)证明:c=2b;
(2)若△ABC 的面积 S=5b2-a2,求 tan A 的值.
解析 (1)证明:由 sin A=sin(B-C)+2sin 2B,知 sin(B+C)=sin(B-C)+4sin Bcos B,
展开化简得,cos Bsin C=2sin Bcos B,
又因为 B≠,所以 sin C=2sin B,由正弦定理得,c=2b.
(2)因为△ABC 的面积 S=5b2-a2,所以有 bcsin A=5b2-a2,
由(1)知 c=2b,代入上式得 b2sin A=5b2-a2,①
所以 a2=b2+c2-2bccos A=5b2-4b2cos A,
代入①得 b2sin A=4b2cos A,∴tan A=4.
过专题
【五年高考】
A 组 自主命题·浙江卷题组
考点一 正弦、余弦定理
(2018 浙江,13,6 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a= ,b=2,A=60°,
则 sin B= ,c= .
答案 ;3
考点二 解三角形及其综合应用
1.(2017 浙江,11,4 分)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π,理论上能
把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将π的值精确到小数点后七位,
其结果领先世界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积
S6,S6= .
答案
2.(2016 浙江,16,14 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 b+c=2acos B.
(1)证明:A=2B;
(2)若△ABC 的面积 S= ,求角 A 的大小.
解析 (1)证明:由正弦定理得 sin B+sin C=2sin Acos B,
故 2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,
于是 sin B=sin(A-B).
又 A,B∈(0,π),故 0
0).
则 a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C.
代入 + = 中,有 + = ,变形可得
sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).
在△ABC 中,由 A+B+C=π,有 sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,
所以 sin Asin B=sin C.
(2)由已知,b2+c2-a2=bc,根据余弦定理,有
cos A= =.
所以 sin A= =.
由(1)可知 sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B,
所以 sin B=cos B+sin B,
故 tan B= =4.
评析 本题考查的知识点主要是正、余弦定理以及两角和的正弦公式.
16.(2014 湖南,18,12 分)如图,在平面四边形 ABCD 中,AD=1,CD=2,AC= .
(1)求 cos∠CAD 的值;
(2)若 cos∠BAD=- ,sin∠CBA= ,求 BC 的长.
解析 (1)在△ADC 中,由余弦定理,得
cos∠CAD= = = .
(2)设∠BAC=α,则α=∠BAD-∠CAD.
因为 cos∠CAD= ,cos∠BAD=- ,
所以 sin∠CAD= = = ,
sin∠BAD= = = .
于是 sin α=sin(∠BAD-∠CAD)
=sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD
= × - × = .
在△ABC 中,由正弦定理,得 = ,
故 BC= = =3.
考点二 解三角形及其综合应用
1.(2014 江西,4,5 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.若 c2=(a-b)2+6,C=,则
△ABC 的面积是( )
A.3 B. C. D.3
答案 C
2.(2014 重庆,10,5 分)已知△ABC 的内角 A,B,C 满足 sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+,面积
S 满足 1≤S≤2,记 a,b,c 分别为 A,B,C 所对的边,则下列不等式一定成立的是( )
A.bc(b+c)>8 B.ab(a+b)>16
C.6≤abc≤12 D.12≤abc≤24
答案 A
3.(2017 课标全国Ⅲ文,15,5 分)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知
C=60°,b= ,c=3,则 A= .
答案 75°
4.(2015 北京,12,5 分)在△ABC 中,a=4,b=5,c=6,则 = .
答案 1
5.(2014 山东,12,5 分)在△ABC 中,已知 · =tan A,当 A=时,△ABC 的面积为 .
答案
6.(2018 北京理,15,13 分)在△ABC 中,a=7,b=8,cos B=-.
(1)求∠A;
(2)求 AC 边上的高.
解析 (1)在△ABC 中,因为 cos B=-,所以 sin B= = .
由正弦定理得 sin A= = .
由题设知<∠B<π,所以 0<∠A<.所以∠A=.
(2)在△ABC 中,
因为 sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= ,
所以 AC 边上的高为 asin C=7× = .
方法总结 处理解三角形相关的综合题目时,首先要掌握正弦、余弦定理,其次结合图形分析
哪些边、角是已知的,哪些边、角是未知的,然后将方程转化为只含有边或角的方程,最后通
过解方程求出边或角.
7.(2017 课标全国Ⅰ理,17,12 分)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知△ABC 的面
积为 .
(1)求 sin Bsin C;
(2)若 6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC 的周长.
解析 本题考查正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换,考查学生利用三角形面积公式进行
运算求解的能力.
(1)由题设得 acsin B= ,即 csin B= .
由正弦定理得 sin Csin B= .
故 sin Bsin C=.
(2)由题设及(1)得 cos Bcos C-sin Bsin C=-,
即 cos(B+C)=-.
所以 B+C= ,故 A=.
由题设得 bcsin A= ,即 bc=8.
由余弦定理得 b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得 b+c= .
故△ABC 的周长为 3+ .
思路分析 (1)首先利用三角形的面积公式可得 acsin B= ,然后利用正弦定理,把边转化
成角的形式,即可得出 sin Bsin C 的值;(2)首先利用 sin Bsin C 的值以及题目中给出的 6cos
Bcos C=1,结合两角和的余弦公式求出 B+C,进而得出 A,然后利用三角形的面积公式和 a 的值
求出 bc 的值,最后利用余弦定理求出 b+c 的值,进而得出△ABC 的周长.
方法总结 解三角形的综合应用.
(1)应用正弦定理、余弦定理主要是将条件转化为仅有边或仅有角的形式,以便进一步化简计
算,例如:将 csin B= 变形为 sin Csin B= .
(2)三角形面积公式:S=absin C=acsin B=bcsin A.
(3)三角形的内角和为π.这一性质经常在三角化简中起到消元的作用,例如:在△ABC
中,sin(B+C)=sin A.
8.(2017 课标全国Ⅱ理,17,12 分)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知
sin(A+C)=8sin2.
(1)求 cos B;
(2)若 a+c=6,△ABC 的面积为 2,求 b.
解析 本题考查了三角公式的运用和余弦定理的应用.
(1)由题设及 A+B+C=π得 sin B=8sin2,故 sin B=4(1-cos B).
上式两边平方,整理得 17cos2B-32cos B+15=0,
解得 cos B=1(舍去),cos B= .
(2)由 cos B= 得 sin B= ,故 S△ABC=acsin B= ac.
又 S△ABC=2,则 ac= .
由余弦定理及 a+c=6 得 b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2× × =4.
所以 b=2.
解后反思 在余弦定理和三角形面积公式的运用过程中,要重视“整体运算”的技巧.如本
题中 b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)中的转化就说明了这一点.
9.(2017 北京理,15,13 分)在△ABC 中,∠A=60°,c=a.
(1)求 sin C 的值;
(2)若 a=7,求△ABC 的面积.
解析 本题考查正、余弦定理的应用,考查三角形的面积公式.
(1)在△ABC 中,因为∠A=60°,c=a,
所以由正弦定理得 sin C= =× = .
(2)因为 a=7,所以 c=×7=3.
由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A 得 72=b2+32-2b×3×,
解得 b=8 或 b=-5(舍).
所以△ABC 的面积 S=bcsin A=×8×3× =6 .
解后反思 根据所给等式的结构特点,利用正弦定理将边的关系转化为角的关系是解题的关
键.在求解面积时,经常用余弦定理求出两边乘积.
10.(2016 课标全国Ⅰ,17,12 分)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 2cos C(acos
B+bcos A)=c.
(1)求 C;
(2)若 c= ,△ABC 的面积为 ,求△ABC 的周长.
解析 (1)由已知及正弦定理得,
2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,(2 分)
2cos Csin(A+B)=sin C.
故 2sin Ccos C=sin C.(4 分)
可得 cos C=,所以 C=.(6 分)
(2)由已知,得 absin C= .
又 C=,所以 ab=6.(8 分)
由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcos C=7.
故 a2+b2=13,从而(a+b)2=25.(10 分)
所以△ABC 的周长为 5+ .(12 分)
评析 本题重点考查了正弦定理、余弦定理及三角形面积公式,同时,对三角恒等变换的公式
也有所考查.在解题过程中,要注意先将已知条件中的“边”与“角”的关系,通过正弦定理
转化为“角”之间的关系,再运用三角函数知识求解.
11.(2016 北京,15,13 分)在△ABC 中,a2+c2=b2+ ac.
(1)求∠B 的大小;
(2)求 cos A+cos C 的最大值.
解析 (1)由余弦定理及题设得 cos B= = = .
又因为 0<∠B<π,所以∠B= .(6 分)
(2)由(1)知∠A+∠C= .
cos A+cos C= cos A+cos
= cos A- cos A+ sin A
= cos A+ sin A
=cos .(11 分)
因为 0<∠A< ,
所以当∠A=时, cos A+cos C 取得最大值 1.(13 分)
思路分析 第(1)问条件中有边的平方和边的乘积,显然应选用余弦定理求解.第(2)问用三
角形内角和定理将原三角函数式化为只含一个角的三角函数式,再注意角的取值范围,问题
得解.
评析 本题考查余弦定理、三角恒等变换及三角函数的性质.属中档题.
12.(2015 四川,19,12 分)如图,A,B,C,D 为平面四边形 ABCD 的四个内角.
(1)证明:tan= ;
(2)若 A+C=180°,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求 tan+tan+tan+tan 的值.
解析 (1)证明:tan= = = .
(2)由 A+C=180°,得 C=180°-A,D=180°-B.
由(1),有 tan+tan+tan+tan
= + + +
= + .
连接 BD.
在△ABD 中,有 BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos A,
在△BCD 中,有 BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos C,
所以 AB2+AD2-2AB·ADcos A=BC2+CD2+2BC·CDcos A.
则 cos A= = =.
于是 sin A= = = .
连接 AC.同理可得
cos B= = = ,
于是 sin B= = = .
所以 tan+tan+tan+tan
= +
= +
= .
评析 本题主要考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识,
考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程、化归与转化等数学思想.
13.(2015 安徽,16,12 分)在△ABC 中,∠A= ,AB=6,AC=3 ,点 D 在 BC 边上,AD=BD,求 AD 的
长.
解析 设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别是 a,b,c,
由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos∠BAC=(3 )2+62-2×3 ×6×cos =18+36-(-36)=90,
所以 a=3 .
又由正弦定理得 sin B= = = ,
由题设知 00,
所以 A∈ .
于是 sin A+sin C=sin A+sin
=sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1
=-2 +.
因为 00,所以 c=3.
故△ABC 的面积为 bcsin A= .
解法二:由正弦定理,得 = ,
从而 sin B= ,
又由 a>b,知 A>B,所以 cos B= .
故 sin C=sin(A+B)=sin
=sin Bcos+cos Bsin= .
所以△ABC 的面积为 absin C= .
16.(2014 陕西,16,12 分)△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.
(1)若 a,b,c 成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C);
(2)若 a,b,c 成等比数列,求 cos B 的最小值.
解析 (1)证明:∵a,b,c 成等差数列,
∴a+c=2b.
由正弦定理得 sin A+sin C=2sin B.
∵sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),
∴sin A+sin C=2sin(A+C).
(2)∵a,b,c 成等比数列,∴b2=ac.
由余弦定理得
cos B= = ≥ =,
当且仅当 a=c 时等号成立.
∴cos B 的最小值为.
评析 本题考查了等差、等比数列,正、余弦定理,基本不等式等知识;考查运算求解能力.
17.(2014 大纲全国,17,10 分)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 3acos C=2ccos
A,tan A=,求 B.
解析 由题设和正弦定理得 3sin Acos C=2sin Ccos A.
故 3tan Acos C=2sin C,
因为 tan A=,所以 cos C=2sin C,
tan C=.(6 分)
所以 tan B=tan[180°-(A+C)]
=-tan(A+C)
= (8 分)
=-1,
即 B=135°.(10 分)
18.(2014 北京,15,13 分)如图,在△ABC 中,∠B=,AB=8,点 D 在 BC 边上,且 CD=2,cos∠ADC=.
(1)求 sin∠BAD;
(2)求 BD,AC 的长.
解析 (1)在△ADC 中,因为 cos∠ADC=,
所以 sin∠ADC= .
所以 sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B)
=sin∠ADCcos∠B-cos∠ADCsin∠B
= ×-× = .
(2)在△ABD 中,由正弦定理得
BD= = =3.
在△ABC 中,由余弦定理得
AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠B
=82+52-2×8×5×=49.
所以 AC=7.
评析 本题考查了正、余弦定理等三角形的相关知识;考查分析推理、运算求解能力.
19.(2014 安徽,16,12 分)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别是 a,b,c,且 b=3,c=1,A=2B.
(1)求 a 的值;
(2)求 sin 的值.
解析 (1)因为 A=2B,所以 sin A=sin 2B=2sin Bcos B.
由正、余弦定理得 a=2b· .
因为 b=3,c=1,所以 a2=12,a=2 .
(2)由余弦定理得 cos A= = =-.
由于 0
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