北师大版高三数学复习专题-平面向量课件-第5章第3节平面向量的数量积及其应用

北师大版高三数学复习专题-平面向量课件-第5章第3节平面向量的数量积及其应用

走向高考 · 数学 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 北师大版 · 高考总复习 平面向量 第五章 第三节　 平面向量的数量积及其应用 第五章 课前自主导学2 课 时 作 业4 高考目标导航1 课堂典例讲练3 高考目标导航 考纲要求 命题分析 1.理解平面向量数量积的含 义及其物理意义． 2．了解平面向量的数量积 与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标公 式，会进行平面向量数量积的运 算． 4．能运用数量积表示两个 向量的夹角，会用数量积判断两 个平面向量的垂直关系． 5．会用向量方法解决某些 简单的平面几何问题． 6．会用向量方法解决简单 的力学问题与其他一些实际问题. 从近几年高考试题看，平面 向量的数量积是高考命题的热 点，主要考查平面向量数量积的 运算、几何意义、模与夹角、垂 直问题．在高考中直接考查以选 择题或填空题为主．有时出现解 答题，主要与三角函数、解析几 何综合在一起命题． 预测2016年对向量的长度与 角度仍将重点考查，题型预计还 会保持选择题或填空题的形 式．运用向量的数量积处理其他 数学问题是一种新的趋势. 课前自主导学 非零 [0，π] 0 π 90° a⊥b 2．平面向量的数量积 (1)已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 叫作 a 与 b 的数量积 ( 或内积 ) ，记作 ____________． 规定：零向量与任一向量的数量积为____． 两个非零向量a与b垂直的充要条件是______，两个非零向 量a与b平行的充要条件是______________． |a|·|b|cosθ a·b＝|a||b|·cosθ 0 a·b＝0 a·b＝±|a||b| (2)向量的投影 定义：设θ为a与b的夹角，则_________(|b|cosθ)叫作向量a 在______方向上(b在______方向上)的投影． (3)平面向量数量积的几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的射影________的 乘积． |a|cosθ b a |b|cosθ 3．平面向量数量积的重要性质 (1)e·a＝a·e＝______(e为单位向量)； (2)非零向量a，b，a⊥b⇔______； (3)当a与b同向时，a·b＝______， 当a与b反向时，a·b＝______， a·a＝______，|a|＝______； (4)cosθ＝______； (5)|a·b|____|a||b|. |a|cosθ a·b＝0 |a||b| －|a||b| a2 ≤ 4．平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b＝______(交换律)； (2)(λa)·b＝______＝______(λ为实数)； (3)(a＋b)·c＝________. b·a λ(a·b) a·(λb) a·c＋b·c 5．平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝________，由此 得到 (1)若a＝(x，y)，则|a|2＝______或|a|＝______. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|＝| | ＝_________________. (3)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔______________. (4)向量a与b的夹角为θ，则cosθ＝_____________ x1x2＋y1y2 x2＋y2 x1x2＋y1y2＝0 平行 平行 垂直 4．已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，那么 a·b的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [答案]　D [解析]　a＋b＝(1，k)＋(2,2)＝(3，k＋2)． ∵a＋b与a共线，∴k＋2－3k＝0，解得k＝1. ∴a·b＝(1,1)·(2,2)＝4. (理)(2014·湖北高考)设向量a＝(3,3)，b＝(1，－1)，若(a ＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________. [答案]　±3 [解析]　本题考查向量基本运算． 因为a＋λb＝(3＋λ，3－λ)，a－λb＝(3－λ，3＋λ)，又(a＋ λb)⊥(a－λb)，所以(a＋λb)·(a－λb)＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋ λ)＝0，解得λ＝±3. 课堂典例讲练 平面向量数量积的运算 [方法总结]　向量的数量积的运算结果是一个数量，平面 向量数量积的运算类似于多项式的乘法．我们遇到求向量的模 时，可先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解． (1)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－ n)，则λ(　　) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 [答案]　B [解析]　本题考查数量积的运算，向量垂直的条件． m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1) ∵(m＋n)⊥(m－n) ∴(m＋n)·(m－n)＝－2λ－3－3＝0 ∴λ＝－3. 利用平面向量数量积求夹角与模 (1)(文)(2014·全国大纲)已知a、b为单位向量，其夹角为 60°，则(2a－b)·b＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 [答案]　B [解析]　考查向量数量积的定义及性质． (2a－b)·b＝2a·b－|b|2＝2|a||b|cos60°－|b|2＝0，正确运用 数量积的定义是解决本题的关键． 平面向量的数量积与垂直问题 [方法总结]　1.当a与b是坐标形式给出时，若证明a⊥b， 则只需证明a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 2．当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共 线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从 而进行运算证明a·b＝0. 平面向量与三角函数的交汇 [方法总结]　1.平面向量与三角函数的整合，仍然是以三 角函数为背景的一种向量描述．它需要根据向量的运算性质将 向量问题转化为三角函数的相关知识来解答，三角函数是考查 的主体． 2．以平面向量为载体考查三角函数问题是历年高考的重 点题型，多以解答题形式出现，属于中档题． 平面向量在解析几何中的应用 [思路分析]　第(1)问直接设动点P的坐标，先把向量之间 的关系化简，然后代入向量坐标，化简整理即得轨迹方程；第 (2)问先利用圆的性质化简向量数量积，将其转化为动点P与定 点N的距离的最值，最后代入点的坐标将其转化为函数的最值 求解． [方法总结]　1.(1)向量法解决平面解析几何问题的关键是 把点的坐标转换成向量的坐标，然后进行向量的运算．(2)相等 向量、共线向量、垂直向量的坐标形式经常用到，必须熟练掌 握． 2．向量在解析几何中出现，多用于“包装”，求解这类 问题要根据向量的意义与运算“脱去”向量外衣，导出曲线上 点的坐标之间的关系，从而解决有关斜率、距离、轨迹与最值 等问题． [错因分析]　当(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0时，不只包含向量 2te1＋7e2与e1＋te2夹角为钝角，还包含夹角为π即方向相反的情 况，此处犯了将必要条件当充要条件使用的逻辑性错误，应把 夹角为π对应的t值去掉． [误区警示]　(1)两向量夹角的范围为[0，π]，特别当两向 量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为π. (2)在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两 向量夹角的范围. 一个条件 两个向量垂直的充要条件：a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 两个探究 (1)若a·b>0，能否说明a和b的夹角为锐角？ (2)若a·b<0，能否说明a和b的夹角为钝角？ 课 时 作 业 （点此链接）