2020届高三普通高等学校招生伯乐马押题考试（二）文科数学试题 Word版含解析

2020届高三普通高等学校招生伯乐马押题考试（二）文科数学试题 Word版含解析

‎2020年普通高等学校招生伯乐马押题考试（二）‎ 文科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.‎ ‎2．作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 一、选择题 ‎1. 已知全集，集合，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出集合B，再求得集合B的补集，由集合的交集运算可得选项.‎ ‎【详解】，所以，‎ 又，所以，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】此题考查了交、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，属于基础题．‎ ‎2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四三象限 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 25 -‎ 运用复数的除法运算化简得到z，，可得到选项.‎ ‎【详解】，所以，‎ 故在复平面内对应的点位于第一象限.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查复数的除法运算，共轭复数，以及复数对应象限，属于基础题.‎ ‎3. 已知双曲线（，）的顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. 3 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出顶点到渐近线的距离、焦点到渐近线的距离，列出关于的方程，再结合 ，即可求得离心率的值.‎ ‎【详解】由题意知：取双曲线的顶点、焦点坐标 ，‎ 取渐近线方程为，也即是 ，‎ 顶点到渐近线的距离为 ，‎ 焦点到渐近线的距离为 ，‎ ‎，‎ ‎ ，‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线的几何性质、离心率的求法、点到直线的距离公式，属于基础题.‎ - 25 -‎ ‎4. 为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ）‎ A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合二倍角公式和降幂公式化简得，再结合平移法则即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 由函数平移法则可知，将函数的图像向右平移个长度单位即可得到，‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查二倍角公式与降幂公式及诱导公式的使用，由变换前后表达式求解平移量，解题关键是将不同名三角函数结合诱导公式转化成同名，属于中档题 ‎5. 记不等式组的解集为，，使成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 25 -‎ 令，求出的最大值， 即可.‎ ‎【详解】可行域如图所示 由 得 ， ‎ 当过时，，‎ ‎ .‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了线性规划问题与函数有解问题，属于中档题.‎ ‎6. 函数在，的图象大致为　　‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 25 -‎ 根据函数奇偶性，对称性，单调性和最值之间的关系进行判断即可．‎ ‎【详解】解：，则函数是奇函数，‎ 则图象关于原点对称，故排除．‎ 当时，，‎ 则当时，，函数为增函数，‎ ‎，时，，函数为减函数，‎ 则当时，取得极大值同时也是最大值，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数与图象之间的关系，结合导数与单调性之间的关系以及函数奇偶性的性质是解决本题的关键．‎ ‎7. 已知圆：，点为直线上一动点，过点向圆作切线，，，为切点，则直线经过定点（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意设的坐标为，由切线的性质得点、在以为直径的圆上，求出圆的方程，将两个圆的方程相减求出公共弦所在的直线方程，再求出直线过的定点坐标．‎ ‎【详解】解：因为是直线的任一点，所以设，‎ 因为圆的两条切线、，切点分别为、，‎ 所以，，‎ 则点、在以为直径的圆上，即是圆和圆的公共弦，‎ - 25 -‎ 则圆心的坐标是，，且半径的平方是，‎ 所以圆的方程是，①‎ 又，②，‎ ‎②①得，，‎ 即公共弦所在的直线方程是：，‎ 即，‎ 由得，，‎ 所以直线恒过定点，，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，圆的切线性质，以及直线过定点问题，属于中档题．‎ ‎8. 函数在区间内有三个零点，则的值可能为（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由辅助角公式可得.由，可得.根据在区间内有三个零点，可得，求出的取值范围，即得答案.‎ ‎【详解】.‎ ‎，‎ 函数在区间内有三个零点，‎ ‎.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查辅助角公式和函数的零点，属于基础题.‎ ‎9. 中央电视台总台推出的《中国诗词大会》节目以“赏中华诗词、寻文化基因、品生活之美”‎ - 25 -‎ 为宗旨，邀请全国各个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识竞赛，现组委会要从甲、乙等五位候选参赛者中随机选取2人进行比拼，则甲、乙二人至少有一人被选上的概率为（ ）‎ A. 0.6 B. 0.7 C. 0.8 D. 0.9‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算出甲、乙二人都没有被选上的概率，由对立事件的概率可得出答案 ‎【详解】总的基本事件个数为，‎ 甲、乙二人都没有被选上的基本事件有，‎ ‎ 甲、乙二人都没有被选上的概率为， ‎ 则甲、乙二人至少有一人被选上的概率为， ‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了排列组合知识、概率的求法，考查运算能力，属于基础题.‎ ‎10. 已知是等比数列的前n项和，若，，成等差数列，且，则（ ）‎ A. 6 B. 7 C. 8 D. 9‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等比数列的基本量，转化已知条件，利用整体代换，即可求得结果.‎ ‎【详解】不妨设数列的公比为，‎ 因为，，成等差数列，‎ 故可得，‎ 当时，，解得（舍）‎ 当时，‎ - 25 -‎ 即 整理可得，‎ 也即，‎ 解得（舍），.‎ 等价于，‎ 也即，‎ 解得，又.‎ 故可得，则 故选：C ‎【点睛】本题考查等比数列通项和前项和基本量的计算，属综合基础题.‎ ‎11. 正方体的棱长为，为的中点，为线段上靠近的一个三等分点，设过点，，的平面把正方体的棱所在直线交于点，则线段的长为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据四点共面找出点的位置，即可求出的长度.‎ ‎【详解】如图所示，‎ - 25 -‎ 过作交于点，则是的中点，‎ 过作交于点,则，‎ ‎，，，四点共面，所以点与点重合，‎ ‎.‎ 故选: ‎ ‎【点睛】本题主要考查了点、直线、平面的位置关系，属于基础题.‎ ‎12. 各项均为实数的等差数列的公差为2，其首项的平方与其余各项之和不超过33，则这样的数列至多有（ ）‎ A. 5项 B. 6项 C. 7项 D. 8项 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题考查等差数列求和公式,写出首项的平方与其余各项之和的表达式,利用一个数的平方最小为，解不等式即可.‎ ‎【详解】设等差数列为，则，‎ ‎ ，‎ ‎，‎ ‎，‎ 为了使尽量大，故，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当时， ，‎ 当时， ，‎ ‎ ，‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查求数列的项数，考查计算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题.‎ - 25 -‎ 二、填空题 ‎13. 把一个大金属球表面涂漆，共需1.5公斤油漆．若把这个大金属球熔化制成为64个大小都相同的小金属球，不记损耗，将这些小金属球表面都涂漆，则需要用油漆______公斤．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设大金属球的半径为，小金属球的半径为 ，根据体积相等建立等量关系式，然后求出个小球的表面积之和，从而得出答案.‎ ‎【详解】设大金属球的半径为 ，小金属球的半径为，‎ 由 ，可得 ，‎ 个小球的表面积之和为 ‎ 由题意得：大金属球表面为需要1.5公斤油漆，‎ ‎（公斤）‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查球的体积和表面积的求法，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎14. 已知抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，定点，则周长最小值为______．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求周长的最小值，即求的最小值．设点在准线上的射影为，则根据抛物线的定义，可知．因此问题转化为求的最小值，根据平面几何知识，当、、三点共线时最小，从而可得结果 ‎【详解】求周长的最小值，即求的最小值，‎ 设点在准线上的射影为，‎ 根据抛物线的定义，可知 - 25 -‎ 因此，的最小值，即的最小值 根据平面几何知识，可得当，，三点共线时最小，‎ 因此的最小值为，‎ ‎， ‎ 所以周长的最小值为，‎ 故答案为：3．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当，，三点共线时最小，是解题的关键．‎ ‎15. 已知等腰直角三角形中，，顺次为线段的九等分点，则的最大值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先建立平面直角坐标系，求出点的坐标，将用坐标表示出来，再求出最大值.‎ ‎【详解】如图建立平面直角坐标系 - 25 -‎ ‎ 等腰直角三角形中，，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎ ，‎ 或时最大，‎ 此时 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了数量积的运算，只要想到方法便可迎刃而解，属于中档题.‎ ‎16. 平行于轴的直线与函数的图像交于，两点，则线段长度的最小值为______．‎ - 25 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出函数图像，数形结合构造函数，利用导数判断函数单调性并求函数最值即可.‎ ‎【详解】根据题意，画出的图象如下所示：‎ 令，，故可得，解得；，解得.‎ 故可得，，‎ 故，，‎ 故可得，恒成立，‎ 故是单调递增函数，且，‎ 关于在成立，在成立，‎ 故在单调递减，在单调递增，‎ 故.‎ 即的最小值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，涉及数形结合以及构造函数法，属基础题.‎ 三、解答题 ‎（一）必考题 - 25 -‎ ‎17. 在中，角的对边分别是，且.‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）若，的面积是，求的周长.‎ ‎【答案】（1）；（2）15‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据正弦定理得到，化简得到，得到答案.‎ ‎（2）根据面积得到，再根据余弦定理得到，计算得到周长.‎ ‎【详解】（1）在中，，所以，‎ 根据正弦定理，得，‎ 因为，所以，‎ 所以，又，所以，‎ 所以，易知，所以，故.‎ ‎（2）由题意得，得，‎ 由余弦定理，得，‎ 即，所以，‎ 故的周长为.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生综合应用能力和计算能力.‎ ‎18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1．设M，N分别为PD，AD的中点．‎ - 25 -‎ ‎（1）求证：平面CMN∥平面PAB；‎ ‎（2）求三棱锥P-ABM的体积．‎ ‎【答案】（1）证明见解析 （2）三棱锥的体积 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由中位线定理可得∥ ∥平面. 再证得∥∥平面平面∥平面； （2）由（1）知，平面∥平面点到平面的距离等于点到平面的距离.‎ 试题解析：（1）证明：∵分别为的中点，‎ 则∥. 又∵平面，平面，‎ ‎∴∥平面. ‎ 在中，，∴.‎ 又∵， ∴∥.‎ ‎∵平面，平面，∴∥平面. ‎ 又∵， ∴平面∥平面. ‎ - 25 -‎ ‎（2）由（1）知，平面∥平面，‎ ‎∴点到平面的距离等于点到平面的距离.‎ 由已知，，，，∴，‎ ‎∴三棱锥的体积.‎ ‎19. 已知椭圆：（）的一个顶点为，离心率．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，若椭圆上存在点，使得，其中是坐标原点，求的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据已知条件，列出方程，即可求得，则问题得解；‎ ‎（2）设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理和已知条件，即可求得的关系，再求弦长以及三角形面积，则问题得解.‎ ‎【详解】（1）根据题意，显然，‎ 结合，‎ 解得，‎ 故椭圆方程为：.‎ ‎（2）设直线的方程为，‎ 联立椭圆方程可得，‎ 则，‎ - 25 -‎ 即 设两点的坐标为，‎ 故可得 则 因为，‎ 故可得，‎ 又点在椭圆上，故可得，‎ 整理可得：.‎ 故 ‎，‎ 又到直线的距离 故三角形的面积 ‎.‎ - 25 -‎ 即三角形的面积为.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆中三角形面积的问题，属综合中档题.‎ ‎20. 某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量（百斤）与使用某种液体肥料（千克）之间对应数据为如图所示的折线图． ‎ ‎（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合与的关系？请计算相关系数并加以说明（精确到0．01）．（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）‎ ‎（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量限制，并有如下关系：‎ 周光照量（单位：小时）‎ 光照控制仪最多可运行台数 ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ 若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周周总利润的平均值．‎ 附：相关系数公式，参考数据，．‎ - 25 -‎ ‎【答案】（1） ，所以可用线性回归模型拟合与的关系．（2） 4600元．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由折线图，可得，依次算得，，，可求得r, 所以可用线性回归模型拟合与的关系.‎ ‎（1）分别计算安装1台，2台，3台时所获周利润值（期望值），数值大的为所选择，即可求得答案.‎ ‎【详解】（1）由已知数据可得，，‎ 因为，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以相关系数 ，‎ 因为，所以可用线性回归模型拟合与的关系．‎ ‎（2）记商家周总利润为元，由条件可知至少需要安装台，最多安装台光照控制仪．‎ ‎①安装1台光照控制仪可获得周总利润元；‎ ‎②安装2台光照控制仪的情形：‎ 当时，只有台光照控制仪运行，此时周总利润元，‎ 当时，台光照控制仪都运行，此时周总利润元，‎ 故的分布列为：‎ ‎2000‎ ‎6000‎ ‎02‎ ‎0.8‎ - 25 -‎ 所以元．‎ ‎③安装台光照控制仪的情形：‎ 当时，只有台光照控制仪运行，此时周总利润元，‎ 当时，有台光照控制仪运行，此时周总利润元,‎ 当时，台光照控制仪都运行，周总利润元，‎ 故的分布列为 ‎1000‎ ‎5000‎ ‎9000‎ ‎0.2‎ ‎0.7‎ ‎0.1‎ 综上所述，为使商家周利润的均值达到最大应该安装台光照控制仪．‎ ‎【点睛】本题考查了折线图识图，主要考查数据的运算能力和利用统计知识解决实际问题，体现了数学知识的应用性，需要注意的是可以选择安装一台，也可以安装两台，而两台时是一个期望值，属于基础题.‎ ‎21. 已知函数，．‎ ‎（1）若，讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若，对于任意的，恒成立，求的最小值．‎ ‎【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增，（2）2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出函数的定义域，然后求出，再分和 - 25 -‎ 讨论导函数的正负，从而可求出函数的单调区间；‎ ‎（2）令，则对于任意的，恒成立，等价于，然后利用导数求的最小值即可 ‎【详解】解：（1）的定义域为，‎ 由，得 ‎①当时，，所以在上单调递减；‎ ‎②当时，令，则，‎ 解得（舍去），或，‎ 当时，，当时，，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，‎ 综上，当时，上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎（2）令，‎ 则对于任意的，恒成立，等价于，‎ ‎，‎ 当时，，当时，，‎ 所以上单调递减，在上单调递增，‎ 所以当时，取最小值，‎ - 25 -‎ 即，‎ 令（），则，‎ 所以在上单调递增，‎ 因为，‎ 所以存在，使，‎ 所以当时，，‎ 因为，所以的最小值为2‎ ‎【点睛】此题考查导数的应用，利用导数求函数的单调区间，利用导数解决不等式恒成立问题，考查转化思想和计算能力，属于中档题.‎ ‎（二）选考题 ‎［选修4—4：坐标系与参数方程］‎ ‎22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，若点的极坐标为，点的极坐标为．‎ ‎（1）写出曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若点，，求的面积．‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 曲线的参数方程消去 ，得到普通方程，再由 ，可以得曲线 - 25 -‎ 的极坐标方程，将两边同时乘以后，再由，可得曲线的直角坐标方程.‎ 将 、 两点的极角分别代入曲线和曲线的极坐标方程可以得到 、 两点的极径，再由三角形面积公式，即可得出的面积.‎ ‎【详解】将消去参数，化为普通方程： ，‎ 将代入得，‎ ‎ 曲线的极坐标方程为：，‎ 将两边同时乘以得，‎ 再由得 ，‎ 曲线的直角坐标方程为：，‎ ‎（2）将的极坐标代入的极坐标方程得 ，‎ 将点的极坐标代入的极坐标方程得．‎ ‎ .‎ ‎【点睛】本题主要考查了参数方程、普通方程、极坐标方程之间的相互转化以及三角形的面积公式，理解极径和极角的含义很关键，属于中档题.‎ ‎［选修4—5：不等式选讲］‎ ‎23. 已知，．‎ ‎（1）若恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若存在实数，，使得成立，求实数的取值范围．‎ - 25 -‎ ‎【答案】（1） ；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）转化为，再解绝对值不等式得出的取值范围.‎ ‎（2）转化为值域与值域交集非空，即可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）（i）当， 即 时，‎ ‎，‎ 此时，解得，‎ ‎， ‎ ‎（ii）当，即 时，‎ ‎，此时，不恒成立.‎ ‎(iii) 当， 即 时，‎ ‎，‎ 此时，‎ 解得:，‎ ‎ 实数的取值范围是.‎ - 25 -‎ ‎（2）由（1）知，‎ 值域为 ，‎ ‎，‎ ‎，‎ 值域为 ，‎ 由题意知，‎ ‎，‎ 解得：.‎ 实数的取值范围 ‎【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题、含两个绝对值不等式值域的求法、双参数问题，属于中档题.‎ ‎ ‎ - 25 -‎