【数学】2020届一轮复习苏教版命题及其关系充分条件与必要条件学案
§1.3 命题及其关系、充分条件与必要条件
考情考向分析 命题的真假判断和充分、必要条件的判定是考查的主要形式，多与集合、函数、不等式、立体几何中的线面关系相交汇，考查学生的推理能力，题型为填空题，低档难度．
1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件、必要条件与充要条件的概念
一般地，如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q，且q⇏p
p是q的必要不充分条件
p⇏q，且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分又不必要条件
p⇏q，且q⇏p
概念方法微思考
若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．
提示 若AB，则p是q的充分不必要条件；
若A⊇B，则p是q的必要条件；
若AB，则p是q的必要不充分条件；
若A＝B，则p是q的充要条件；
若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分又不必要条件．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“对顶角相等”是命题．( √ )
(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．( × )
(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( √ )
(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．( √ )
题组二 教材改编
2．[P8习题T2]下列命题是真命题的是________．(填序号)
①矩形的对角线相等；
②若a>b，c>d，则ac>bd；
③若整数a是素数，则a是奇数；
④命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题．
答案 ①
3．[P7例1]“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的__________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
答案 充分不必要
题组三 易错自纠
4．命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是____________．
答案 若x≤y，则x2≤y2
解析 根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．
5．“sin α>0”是“α是第一象限角”的____________条件．
答案 必要不充分
解析 由sin α>0，可得α是第一或第二象限角及终边在y轴正半轴上；若α是第一象限角，则sin α>0，所以“sin α>0”是“α是第一象限角”的必要不充分条件．
6．已知集合A＝，B＝{x|－1
3，即m>2.
题型一 命题及其关系
1．下列命题是真命题的是________．(填序号)
①若＝，则x＝y；②若x2＝1，则x＝1；
③若x＝y，则＝；④若x2”是“<1”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)
答案 充分不必要
解析 解不等式2x>2，得x>1；
不等式<1，即为>0，解得x>1或x<0.
∵{x|x>1}⊆{x|x>1或x<0}，
∴“2x>2”是“<1”的充分不必要条件．
(2)已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的____________条件．
答案 充分不必要
解析 由5x－6>x2，得20)；q：>0.若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为__________．
答案 (0,2]
解析 由|2x＋1|0)，得－m<2x＋10，得x<或x>1.
∵p是q的充分不必要条件，又m>0，
∴≤，∴0a＋1或x－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为
________．
答案 2
解析 原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a>－6，则a>－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．因此4个命题中有2个假命题．
2．命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是________________．
答案 若a≤b，则a＋c≤b＋c
解析 否命题是将原命题的条件和结论都否定，故命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是“若a≤b，则a＋c≤b＋c”．
3．“φ＝”是“函数y＝sin(x＋φ)的图象关于y轴对称”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
答案 充分不必要
解析 若函数y＝sin(x＋φ)的图象关于y轴对称，则φ＝＋kπ，k∈Z，∴必要性不成立．
若φ＝，则函数y＝sin(x＋φ)＝cos x的图象关于y轴对称，∴充分性成立．
∴“φ＝”是“函数y＝sin(x＋φ)的图象关于y轴对称”的充分不必要条件．
4．“若a≤b，则ac2≤bc2”，则原命题及命题的逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．
答案 2
解析 其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．
5．有下列命题：
①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题；
②“矩形的对角线相等”的否命题；
③“若m>1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命题；
④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．
其中正确的是________．(填序号)
答案 ①③④
解析 ①的逆命题“若x>0且y>0，则x＋y>0”为真，故否命题为真；
②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题；
③的逆命题为“若mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集为R，则m>1”．
因为当m＝0时，解集不是R，
所以应有即m>1.所以③是真命题；
④原命题为真，逆否命题也为真．
所以正确的命题序号是①③④.
6．直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8.则“m≠－7”是“l1与l2相交”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
答案 必要不充分
解析 因为l1与l2相交，所以(3＋m)(5＋m)≠8，
所以m≠－1且m≠－7.
所以“m≠－7”是“l1与l2相交”的必要不充分条件．
7．设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
答案 充分不必要
解析 当x>1，y>1时，x＋y>2一定成立，即p⇒q，
当x＋y>2时，可令x＝－1，y＝4，即q⇏p，
故p是q的充分不必要条件．
8．已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x<0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
答案 (0,3)
解析 令M＝{x|a≤x≤a＋1}，
N＝{x|x2－4x<0}＝{x|00，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题；
④命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”．
答案 ③
解析 命题③的逆命题为“若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m≥0，
即m≥－，不能推出m>0，所以不是真命题．
10．若“数列an＝n2－2λn(n∈N*)是递增数列”为假命题，则λ的取值范围是________________．
答案
解析 若数列an＝n2－2λn(n∈N*)为递增数列，则有an＋1－an>0，即2n＋1>2λ对任意的n∈N*
都成立，于是可得3>2λ，即λ<.
因为原命题为假命题，故所求λ的取值范围是.
11．在△ABC中，角A，B均为锐角，则“cos A>sin B”是“△ABC为钝角三角形”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
答案 充要
解析 因为cos A>sin B，所以cos A>cos，
因为角A，B均为锐角，所以－B为锐角，
又因为余弦函数y＝cos x在(0，π)上单调递减，
所以A<－B，所以A＋B<，
因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以C>，
所以△ABC为钝角三角形；
若△ABC为钝角三角形，角A，B均为锐角，
则C>，所以A＋B<，所以A<－B，
所以cos A>cos，即cos A>sin B.
故“cos A>sin B”是“△ABC为钝角三角形”的充要条件．
12．已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是2且y>3”是“x＋y>5”的充分条件；
②“b2－4ac<0”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为R”的充要条件；
③“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充分不必要条件；
④“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件．
其中真命题的序号为________．
答案 ①④
解析 ①当x>2且y>3时，x＋y>5成立，反之不一定，所以“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充分不必要条件，故①为真命题；
②不等式的解集为R的充要条件是a<0且b2－4ac<0，故②为假命题；
③当a＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则＝，所以a＝2，所以“a＝2”是“两直线平行”的充要条件，故③为假命题；
④lg x＋lg y＝lg(xy)＝0，所以xy＝1且x>0，y>0，所以xy＝1必成立，反之不然，所以“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件，故④为真命题．
综上可知，真命题是①④.
15．已知p：实数m满足3a0)，q：方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，若p是q的充分条件，则a的取值范围是________________．
答案
解析 由2－m>m－1>0，解得1
查看更多
