数学理卷·2019届安徽省定远重点中学高二1月月考（2018-01）

数学理卷·2019届安徽省定远重点中学高二1月月考（2018-01）

定远重点中学2017-2018学年第一学期1月考 高二数学（理科）试题 注意事项：‎ ‎1．答题前在答题卡、答案纸上填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将第I卷（选择题）答案用2B铅笔正确填写在答题卡上；请将第II卷（非选择题）答案黑色中性笔正确填写在答案纸上。‎ 第I卷（选择题60分）‎ 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分。)‎ ‎1.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是 A. B. C. D.‎ ‎2.若圆与圆的公共弦的长为，则（ ）‎ A．2 B．1 ‎ C． D．‎ ‎3.以下命题为真命题的个数是（ ）‎ ‎①若直线平行于平面内的无数条直线，则直线；‎ ‎②若直线在平面外，则；‎ ‎③若直线，，则；‎ ‎④若直线，，则平行于平面内的无数条直线.‎ A．1个 B．2个 ‎ C. 3个 D．4个 ‎4.已知，为异面直线，下列结论不正确的是（ ）‎ A．必存在平面使得 ‎ B．必存在平面使得，与所成角相等 C．必存在平面使得， ‎ D．必存在平面使得，与的距离相等 ‎5.如图，为正方体，下面结论：①平面；②；③平面；④直线与所成的角为45°．其中正确结论的个数是( )‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎6.如图所示是一个三棱锥的三视图，则此三棱锥的外接球的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.已知圆： 和点，若圆上存在两点，使得，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A. 3 B. C. D. ‎ ‎9.直线截圆得的劣弧所对的圆心角是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.直线的斜率和在轴上的截距分别是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.过抛物线的焦点的直线与抛物线交于， 两点，与抛物线准线交于点，若是的中点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知空间两点P(－1,2，－3)，Q(3，－2，－1)，则P、Q两点间的距离是 (　 　)‎ A. 6 B. 2‎ C. 36 D. 2‎ 第II卷（非选择题90分）‎ 二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分) ‎ ‎13.双曲线离心率___________‎ ‎14.一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 .‎ ‎15.表面积为的球的半径为_________.‎ ‎16.在长方体中， ，则点D到平面的距离是____．‎ 三、解答题(共5小题, 每小题14分，共70分) ‎ ‎17.已知抛物线，过其焦点作两条相互垂直且不平行于坐标轴的直线，它们分别交抛物线于点、和点、，线段、的中点分别为、.‎ ‎（Ⅰ）求线段的中点的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）求面积的最小值；‎ ‎（Ⅲ）过、的直线是否过定点?若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由.‎ ‎18.如图，四棱锥中，，，，，侧面为等边三角形.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求二面角的正弦值.‎ ‎19.如图，在直三棱柱中，点分别为线段的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若在边上，，求证：.‎ ‎20.已知圆．‎ ‎（1）直线的方程为，直线交圆于、两点，求弦长的值；‎ ‎（2）从圆外一点引圆的切线，求此切线方程．‎ ‎21.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：‎ ‎(1)y1y2＝－p2，；(2)为定值；‎ ‎(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.‎ 参考答案 ‎1.D2.B3.A4.C5.D6.C7.C8.B9.C10.A11.B12.A ‎13.‎ ‎14.‎ ‎15.1‎ ‎16.‎ ‎17.‎ ‎（Ⅰ）由题设条件得焦点坐标为，‎ 设直线的方程为,.‎ 联立，得.‎ ‎.‎ 设，，则，‎ ‎，∴.‎ ‎∴线段的中点的轨迹方程为：.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知：.‎ 同理，设，则.‎ ‎∴,‎ ‎，‎ 因此.‎ 当且仅当，即时，取到最小值4.‎ ‎（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知直线的斜率为：，‎ 所以直线的方程为: ,即，（*）‎ 当，时方程（*）对任意的均成立，即直线过点.‎ 当时，直线的方程为：，也过点.‎ 所以直线恒过定点.‎ ‎18.‎ ‎（1）根据矩形的性质与正三角形的性质可证，，得平面，进而；（2）分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的法向量 ，而知是平面的法向量，根据空间向量夹角余弦公式可得二面角的余弦，进而求得正弦值.‎ 试题解析：（1）取的中点，连接，则四边形为矩形，‎ ‎∴，‎ ‎∵为等边三角形，‎ ‎∴.‎ ‎∵，‎ ‎∴平面.‎ 平面，.‎ ‎（2）由（1）知，，过作平面，则两两垂直，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，‎ 则，‎ ‎∵，‎ ‎∴，∴平面，‎ ‎∴，，‎ 设平面的法向量为.‎ ‎∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，取，则，‎ 设二面角为，则，‎ ‎∴二面角的正弦值.‎ ‎19.（1）由题意，利用三角形中位线定理可证MN∥BC，即可判定MN∥平面；（2）利用线面垂直的性质可证CC1⊥AD，结合已知可证AD⊥平面，从而证明AD⊥‎ BC，结合（1）知，MN∥BC，即可证明MN⊥AD 试题解析：（1）如图，连结A1C．]‎ 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C为平行四边形．‎ 又因为N为线段AC1的中点，‎ 所以A1C与AC1相交于点N，‎ 即A1C经过点N，且N为线段A1C的中点． ……………… 2分 因为M为线段A1B的中点，‎ 所以MN∥BC． ……………… 4分 又MNË平面BB1C1C，BCÌ平面BB1C1C，‎ 所以MN∥平面BB1C1C． ………………… 6分 ‎（2）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC．‎ 又ADÌ平面ABC，所以CC1⊥AD． …………………… 8分 因为AD⊥DC1，DC1Ì平面BB1C1C，CC1Ì平面BB1C1C，CC1∩DC1＝C1，‎ 所以AD⊥平面BB1C1C． …………………… 10分 又BCÌ平面BB1C1C，所以AD⊥BC． …………………… 12分 又由（1）知，MN∥BC，所以MN⊥AD． …………………… 14分 考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定 ‎20.（1）由圆方程可得圆心，，先求出圆心到直线距离，根据勾股定理可得；（2）当直线为时，与圆相切，符合题意．‎ 当斜率存在时，设斜率为，可设直线，利用圆心到切线的距离等于半径列方程，即可解得的值，从而可得结果.‎ ‎.‎ 试题解析：（1）∵圆，‎ ‎∴圆心，，‎ 圆心到直线距离，‎ ‎∴．‎ ‎（2）①当直线为时，与圆相切，符合题意．‎ ‎②当斜率存在时，设斜率为，‎ ‎∴直线，‎ 即，‎ 圆心到直线距离，‎ ‎∵直线与圆相切，‎ ‎∴即，‎ ‎∴，‎ ‎∴直线：，‎ ‎∴综上可知，切线方程为或．‎ ‎21. (1)由已知得抛物线焦点坐标为(，0).由题意可设直线方程为x＝my＋，‎ 代入y2＝2px，得y2＝2p(my＋)，即y2－2pmy－p2＝0.(*)‎ 则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2＝－p2.‎ 因为y＝2px1，y＝2px2，所以yy＝4p2x1x2，‎ 所以x1x2＝＝＝.‎ ‎(2)＋＝＋＝.‎ 因为x1x2＝，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式，‎ 得＋＝＝ (定值).‎ ‎(3)设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，则|MN|＝ (|AC|＋|BD|)＝ (|AF|＋|BF|)＝|AB|.所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切