2016届高考数学（理）5年高考真题备考试题库：第1章 第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件
2010~2014年高考真题备选题库
第1章 集合与常用逻辑用语
第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件
1．（2014陕西，5分）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )
A．真，假，真 B．假，假，真
C．真，真，假 D．假，假，假
解析：因为原命题为真，所以它的逆否命题为真；若|z1|＝|z2|，当z1＝1，z2＝－1时，这两个复数不是共轭复数，所以原命题的逆命题是假的，故否命题也是假的．故选B.
答案： B
2．（2014安徽，5分）“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：ln(x＋1)<0⇔0
b”是“a|a|>b|b|”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：构造函数f(x)＝x|x|，则f(x)在定义域R上为奇函数．因为f(x)＝所以函数f(x)在R上单调递增，所以a>b⇔f(a)>f(b)⇔a|a|>b|b|.选C.
答案： C
6.（2014北京，5分）设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当数列{an}的首项a1＜0时，若q＞1，则数列{an}是递减数列；当数列{an}的首项a1＜0时，要使数列{an}为递增数列，则0＜q＜1，所以“q＞1”是“数列{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件．故选D.
答案： D
7．（2013陕西，5分）设z是复数， 则下列命题中的假命题是( )
A．若z2≥0，则z是实数 B．若z2＜0，则z是虚数
C．若z是虚数，则z2≥0 D．若z是纯虚数，则z2＜0
解析：本题主要考查复数的分类，复数代数形式的运算及命题真假的判断．实数可以比较大小，而虚数不能比较大小，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，由z2≥0，得则b＝0，故选项A为真，同理选项B为真；而选项C为假，选项D为真．
答案：C
8．（2013天津，5分）已知下列三个命题：
①若一个球的半径缩小到原来的， 则其体积缩小到原来的；
②若两组数据的平均数相等， 则它们的标准差也相等；
③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切．
其中真命题的序号为( )
A．①②③ B．①②
C．①③ D．②③
解析：本题考查命题真假的判断，意在考查考生的逻辑推理能力．若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的，所以①是真命题；因为标准差除了与平均数有关，还与各数据有关，所以②是假命题；因为圆心(0,0)到直线x＋y＋1＝0的距离等于，等于圆的半径，所以③是真命题．故真命题的序号是①③.
答案：C
9．（2013四川，5分）设P1，P2，…，Pn为平面α内的n个点．在平面α内的所有点中，若点P到点P1，P2，…，Pn的距离之和最小，则称点P为点P1，P2，…，Pn的一个“中位点”．例如，线段 AB上的任意点都是端点A，B的中位点．现有下列命题：
①若三个点A，B，C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；
②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③若四个点A，B，C，D共线，则它们的中位点存在且唯一；
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．
其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)
解析：本题主要考查求函数最值，两点间的距离公式，建立坐标系，以及不等式的放缩等基础知识和基本技能，意在考查综合运用知识分析和解决问题的能力，推理论证和运算求解能力．对于①，不妨假设A，C，B三点在平面直角坐标系xOy中的x轴上由左至右排列，A(0,0)，C(c,0)，B(b,0)，0＜c＜b，对于平面内任意一点M(x，y)，|MA|＋|MB|＋|MC|＝＋＋≥|x|＋|x－b|＋|x－c|.因为0＜c＜b，所以当x＝c时，(|MA|＋|MB|＋|
MC|)min＝b，此时M(c,0)，也就是M点与C点重合，故①正确；对于②，设△ABC中∠C为直角，以C为原点，CA，CB分别为x，y轴建立平面直角坐标系xOy，并设点A(a,0)，B(0，b)，a＞0，b＞0，M(x，y)为平面内任意一点，AB中点坐标为，则|MA|＋|MB|＋|MC|＝ ＋＋ ，当x＝，y＝时，|MA|＋|MB|＋|MC|＝ ，而当x＝0，y＝0时，|MA|＋|MB|＋|MC|＝a＋b，因为(a2＋b2)－(a＋b)2＝≥ab＞0，所以斜边的中点不是该直角三角形三个顶点的中位点，故②错误；对于③，不妨假设A，B，C，D四点在平面直角坐标系xOy中的x轴上由左至右排列，A(0,0)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)，0＜b＜c＜d，对于平面内任意一点M(x，y)，|MA|＋|MB|＋|MC|＋|MD|＝＋＋＋≥|x|＋|x－b|＋|x－c|＋|x－d|，因为0＜b＜c＜d，所以当x∈[b，c]时，|MA|＋|MB|＋|MC|＋|MD|取得最小值，此时M(x,0)，x∈[b，c]，不唯一，故③错误；对于④，由①可知A，C的中位点为线段AC之间的任意一点，B，D的中位点为线段BD之间的任意一点，所以A，B，C，D的中位点为线段AC与线段BD的交点，也就是梯形对角线的交点，故④正确．答案为①④.
答案：①④
10．（2013山东，5分）给定两个命题p，q.若綈 p是q的必要而不充分条件，则p是綈 q的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：本题考查命题、逻辑联结词及充分、必要条件等基础知识，考查等价转化的数学思想，考查分析问题和解决问题的能力．q⇒綈p等价于p⇒綈q，綈p⇒/ q等价于綈q⇒/ p，故p是綈q的充分而不必要条件．
答案： A
11．（2013安徽，5分）“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：本题考查二次函数图象性质以及图象变换，意在考查转化与化归思想．根据二次函数的图象可知f(x)在(0，＋∞)内单调递增等价于f(x)＝0在区间(0，＋∞)
内无实根，本题不难求解．f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)内单调递增等价于f(x)＝0在区间(0，＋∞)内无实根，即a＝0或<0，也就是a≤0，故“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)内单调递增”的充要条件，故选C.
答案： C
12．（2013福建，5分）已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：本题考查集合与充分必要条件等基础知识，意在考查考生转化和化归能力、逻辑推理能力和运算求解能力．因为A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，若a＝3，则A＝{1,3}，所以A⊆B；若A⊆B，则a＝2或a＝3，所以A⊆B⇒/ a＝3，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．
答案： A
13．（2013浙江，5分）已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：本题考查对必要条件、充分条件与充要条件的理解，考查三角函数的诱导公式、三角函数的奇偶性等，意在考查考生的推理能力以及三角函数性质的掌握等．若f(x)是奇函数，则φ＝＋kπ(k∈Z)，且当φ＝时，f(x)为奇函数．
答案： B
14．（2013北京，5分）“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：本题考查三角函数的诱导公式、三角函数的性质、充要条件的判断等基础知识和基本方法，意在考查考生分析问题、解决问题的能力．由sin φ＝0可得φ＝kπ(k∈Z)，此为曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点的充要条件，故“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件．
答案： A
15．（2012陕西，5分）设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：复数a＋＝a－bi为纯虚数，则a＝0，b≠0；而ab＝0表示a＝0或者b＝0，故“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的必要不充分条件．
答案：B
16．（2012湖南，5分）命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是( )
A．若α≠，则tan α≠1 B．若α＝，则tan α≠1
C．若tan α≠1，则α≠ D．若tan α≠1，则α＝
解析：以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”．
答案：C
17．（2012江西，5分）下列命题中，假命题为( )
A．存在四边相等的四边形不是正方形
B．z1，z2∈C，z1＋z2为实数的充分必要条件是z1，z2互为共轭复数
C．若x，y∈R，且x＋y>2，则x，y至少有一个大于1
D．对于任意n∈N＋，C＋C＋…＋C都是偶数
解析：空间四边形可能四边相等，但不是正方形，故A为真命题；令z1＝1＋bi，z2＝3－bi(b∈R)，显然z1＋z2＝4∈R，但z1，z2不互为共轭复数，B为假命题；假设x，y都不大于1，则x＋y>2不成立，故与题设条件“x＋y>2”矛盾，假设不成立，故C为真命题；C＋C＋…＋C＝2n为偶数，故D为真命题．排除A，C，D，选B.
答案：B
18．（2011新课标全国，5分）已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题
p1：|a＋b|>1⇔θ∈[0，) p2：|a＋b|>1⇔θ∈(，π]
p3：|a－b|>1⇔θ∈[0，) p4：|a－b|>1⇔θ∈(，π]
其中的真命题是( )
A．p1，p4 B．p1，p3
C．p2，p3 D．p2，p4
解析：由|a＋b|>1可得：a2＋2a·b＋b2>1，∵|a|＝1，
|b|＝1，∴a·b>－.故θ∈[0，)．当θ∈[0，)时，a·b>－，|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2>1，即|a＋b|>1；由
|a－b|>1可得：a2－2a·b＋b2>1，∵|a|＝1，|b|＝1，∴a·b<.故θ∈(，π]，反之也成立．
答案：A
19．（2011陕西，5分）设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是( )
A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b|
C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b
解析：只需将原命题的结论变为新命题的条件，同时将原命题的条件变成新命题的结论即可，即“若|a|＝|b|，则a＝－b.”
答案：D
20．（2010天津，5分）命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
解析：否命题是既否定题设又否定结论．
因此否命题应为“若函数f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数”．
答案：B
