2020高中数学 第2章 数列等比数列的概念与通项公式

2020高中数学 第2章 数列等比数列的概念与通项公式

等比数列的概念与通项公式 一、考点突破 知识点 课标要求 题型 说明 等差数列的前n项和 ‎1. 掌握等差数列前n项和的公式，并能运用公式解决一些简单问题；‎ ‎2. 体会等差数列前n项和公式与二次函数间的关系 选择题 填空题 等差数列前n项和还要注意两点：公式推导的方法和函数的思想 二、重难点提示 重点：运用等差数列前n项和的公式解决一些问题。‎ 难点：等差数列前n项和公式与二次函数间的关系。‎ 考点一：等差数列前n项和公式及推导 ‎（1）等差数列的前n项和公式 Sn＝＝na1＋‎ ‎（2） 等差数列的前n项和公式的推导：‎ ‎∵Sn＝a1＋a2＋…＋an，‎ Sn＝an＋an－1＋…＋a1，‎ ‎∴2Sn＝（a1＋an）＋（a2＋an－1）＋…＋（an＋a1），‎ ‎＝n（a1＋an），‎ ‎∴Sn＝n（a1＋an）‎ 这种推导方法称为倒序求和法。 ‎ ‎【核心突破】‎ ‎（1）由等差数列的前n项和公式及通项公式可知，若已知a1、d、n、an、Sn中三个便可求出其余两个，即“知三求二”。“知三求二”的实质是方程思想，即建立方程组求解。‎ ‎（2）在运用等差数列的前n项和公式来求和时，一般地，若已知首项a1及末项an用公式Sn＝较方便；若已知首项a1及公差d用公式Sn＝na1＋d较好。‎ ‎（3）在运用公式Sn＝求和时，要注意性质“设m、n、p、q均为正整数，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq”的运用。‎ ‎（4）在求和时除了直接用等差数列的前n项和公式求和（即已知数列是等差数列）外，还要注意创设运用公式条件（即将非等差数列问题转化为等差数列问题），以利于求和。‎ 考点二：等差数列前n项和的性质 4‎ 数列{an}为等差数列，前n项和为Sn，则有如下性质：‎ ‎（1）Sm，S‎2m－Sm，S‎3m－S‎2m，…，也是等差数列，公差为m2d。‎ ‎（2）若项数为偶数2n（n∈N*），则S偶－S奇＝nd，＝。‎ ‎（3）若项数为奇数2n＋1（n∈N*），则S奇－S偶＝an＋1，＝。‎ ‎（4）若{an}、{bn}均为等差数列，前n项和分别为Sn和Tn，则。‎ 考点三：等差数列前n项和的最值 解决等差数列前n项和的最值的基本思想是利用前n项和公式与函数的关系解决问题，即：‎ ‎（1）二次函数法：用求二次函数的最值的方法来求前n项和的最值，但要注意的是：。‎ ‎（2）图象法：利用二次函数的对称性来确定的值，使取最值。‎ ‎（3）通项法：当时，为使成立的最大的自然数时，最大。这是因为当时，，即递增；当时，，即递减。‎ 类似的，当时，则为使成立的最大的自然数时，最小。‎ 例题1（等差数列前n项和公式的应用）‎ 在等差数列{an}中，前n项和为Sn。‎ ‎（1）已知S8＝48，S12＝168，求a1和d；‎ ‎（2）已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8；‎ ‎（3）已知a3＋a15＝40，求S17。‎ 思路分析：（1）利用前n项和公式，建立关于a1、d的方程组，解方程组求a1、d；‎ ‎（2）根据前n项和公式求a1、d，再求a8和S8；‎ ‎（3）先根据等差数列的性质求a1＋a17，再求S17。‎ 答案：（1）由等差数列的前n项和公式，‎ 得 解得 ‎（2）∵a6＝S6－S5，∴S6＝S5＋a6＝15，‎ ‎∴×6＝15，即3（a1＋10）＝15，‎ ‎∴a1＝－5，∴d＝＝3，‎ ‎∴a8＝a6＋2d＝16，S8＝×8＝44；‎ ‎（3）根据等差数列的性质，有a3＋a15＝a1＋a17＝40，‎ 4‎ ‎∴S17＝＝340。‎ 技巧点拨：‎ ‎1. 本题第（3）问看似缺少条件，但注意到a3＋a15与a1＋a17的联系，便可以很容易地求出结果，所以应注意各元素之间的某些特殊联系。‎ ‎2. 对于两个求和公式Sn＝和Sn＝na1＋，要根据题目的已知条件灵活选用。‎ 例题2（等差数列前n项和的最值）‎ 已知等差数列{an}中，a1＝13且S3＝S11，那么n取何值时，Sn取得最大值？并求出Sn的最大值。‎ 思路分析：先根据前n项和公式求公差d，再求出Sn的表达式，转化成二次函数在N*上的最值问题；也可求出公差d后，利用通项公式an的符号解决。‎ 答案：方法一　设公差为d，由S3＝S11得3×13＋d＝11×13＋d，d＝－2，又a1＝13，∴Sn＝n2＋（a1－）n＝－n2＋14n＝－（n－7）2＋49，‎ ‎∴当n＝7时，Sn取得最大值，最大值是S7＝49；‎ 方法二　同方法一得 d＝－2，an＝13－2（n－1）＝15－2n，‎ 由 即 解得6.5≤n≤7.5，‎ ‎∴当n＝7时，Sn取得最大值，‎ ‎∴Sn的最大值是S7＝＝49；‎ 方法三　同方法一得d＝－2‎ 又由S3＝S11知a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝4（a7＋a8）＝0，‎ ‎∵a1＝13＞0，‎ ‎∴a7≥0，a8≤0，知数列的前7项和最大，‎ ‎∴S7＝7×13＋×（－2）＝49。‎ 技巧点拨：‎ ‎1. 本题中方法一利用二次函数的最值确定n值；方法二利用等差数列的通项公式确定n值；方法三利用等差数列的性质，由条件本身的特点确定n值。‎ ‎2. 求等差数列前n项和的最值的常见方法：‎ ‎（1）方法一：利用通项公式确定n值 ‎①若a1＞0，d＜0，则Sn有最大值，n可由不等式组来确定；‎ ‎②若a1＜0，d＞0，则Sn有最小值，n可由不等式组来确定。‎ 4‎ ‎（2）方法二：利用二次函数的最值确定n值 等差数列的前n项和为Sn，当d≠0时，点（n，Sn）是二次函数y＝ax2＋bx（a≠0）上的间断点，因此可利用二次函数的最值确定n值。‎ 一类与等差数列有关的含绝对值的数列的求和 ‎【满分训练】已知数列为等差数列，，求 思路分析：所求和中关键是去掉绝对值，故根据的正负去掉绝对值。先确定各项的正负，再根据正负去掉绝对值，然后求和。‎ 答案：由于有正也有负，当≥0时，；当<0时，。‎ 当≥0时，，所以 技巧点拨：‎ 这类数列的求和问题的易错点是未考虑的情形，或者考虑了，但认为它是一个常数。‎ 4‎