2020_2021学年新教材高中数学第一章预备知识3

2020_2021学年新教材高中数学第一章预备知识3

3.2 　基本不等式 第 1 课时　基本不等式 激趣诱思 知识点拨 某金店有一台天平 , 由于左右两臂长略有不等 , 所以直接称重不准确 . 有一个顾客要买一串金项链 , 店主分别把项链放于左右两盘各称一次 , 得到两个不同的质量 a 和 b , 然后就把两次称得的质量的 算术平均 值 作为 项链的质量来计算价格 . 顾客对这个质量的真实性提出了质疑 , 他认为项链的质量应该 用 来 计算 . 如果按金店的计算方式 , 顾客是吃亏了还是占便宜了呢 ? 请在学习完本节内容后给出你的判断 . 激趣诱思 知识点拨 一、基本 不等式 2 . 基本不等式可以表述为 : 两个非负实数的算术平均值大于或等于 它 们 的 几何平均值 . 3 . 基本不等式的几何解释 : 同一个半圆中 , 半径大于或等于半弦 . 激趣诱思 知识点拨 激趣诱思 知识点拨 微拓展 1 . 如果 a , b ∈ R , 那么 a 2 +b 2 ≥ 2 ab ( 当且仅当 a=b 时 ， 等号成立 ) . 这个不等式叫重要不等式 . 它成立的条件是 a , b ∈ R . 2 . 它的几个常见变形式有 : 激趣诱思 知识点拨 微 练习 因为 ab> 0, a , b 同号 , 所以 a=b , 即式中等号成立的条件是 a=b. 激趣诱思 知识点拨 二、利用基本不等式求最值 当 x , y 均为正数时 , 下面的命题均成立 : (1) 若 x+y=s ( s 为定值 ), 则当且仅当 x=y 时 , xy 取得最大 值 ; (2) 若 xy=p ( p 为定值 ), 则当且仅当 x=y 时 , x+y 取得最小值 2 . 名师点析 1 . 上述的结论也叫作最值定理 . 语言描述为 :(1) 两个正数的和为常数时 , 它们的积有最大值 ;(2) 两个正数的积为常数时 , 它们的和有最小值 . 可简记为 “ 和定积最大 , 积定和最小 ” . 2 . 应用上述结论时要注意以下三点 :(1) 各项或各因式均为正 ;(2) 和或积为定值 ;(3) 各项或各因式能取得相等的值 . 即一正二定三相等 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 已知 x> 0, y> 0 . (1) 若 xy= 4, 则 x+y 的最小值是 　　　　　 ;   (2) 若 x+y= 4, 则 xy 的最大值是 　　　　　 .   ∴ xy ≤ 4, 当且仅当 x=y= 2 时 , 等号成立 , ∴ xy 的最大值为 4 . 答案 : (1 )4 　 ( 2)4 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 对基本不等式的理解 例 1 下列命题正确的是 ( 　　 ) 答案 : B 　 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 应用基本不等式时要注意以下三点 (1) 各项或各因式均为正 ; (2) 和或积为定值 ; (3) 各项或各因式能取得相等的值 . 即 “ 一正二定三相等 ” . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 1 下列结论不成立的是 ( 　　 ) A. 若 a , b ∈ R , 则 a 10 +b 10 ≥ 2 a 5 b 5 D. 若 a ∈ R , 则有 a 2 + 9 ≥ 6 a 答案 : C 　 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 利用基本不等式证明 不等式 分析 (1) 不等式的左边是和式 , 右边是带根号的积式之和 , 用基本不等式 , 将和变积 , 并证得不等式 . (2) 不等式右边的数字为 8, 使我们联想到对左边因式分别使用基本不等式 , 可得三个 “2” 连乘 ; 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 利用基本不等式证明不等式的注意 事项 (1) 利用基本不等式证明不等式 , 关键是所证不等式中必须有和式或积式 , 通过将和式转化为积式或将积式转化为和式 , 从而达到放缩的目的 . (2) 注意多次运用基本不等式时等号能否取到 . (3) 解题时要注意技巧 , 当不能直接利用基本不等式时 , 可将原不等式进行组合、构造 , 以满足能使用基本不等式的形式 . (4) 在证明不等式的过程中 , 注意充分利用 “1” 的代换 , 即把常数 1 替换为已知的式子 , 然后经过整理后再利用基本不等式进行证明 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 2 (1) 已知 a , b , c , d 都是正数 , 求证 :( ab+cd )( ac+bd ) ≥ 4 abcd . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 利用基本不等式求最值 例 3 (1) 已知 x> 0, 则 + x 的最小值为 ( 　　 ) A.6 B.5 C.4 D.3 (2) 已知 a> 0, b> 0, 且 ab= 1, 则 a+ 4 b 的最小值为 　　　　 .   答案 : (1) A 　 (2)4 　 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 例题第 (2) 问 , 改为 “ 已知 a> 0, b> 0, 且 a+ 4 b= 4”, 求 ab 的最大值 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 一题多解 —— 利用基本不等式求最 值 解 : ( 方法 一 ) 已知条件从形式上认为是两项之和 , 问题的类型是求最小值 , 所以根据基本不等式的结构特点 , 需要寻找乘积是定值的条件 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 ( 方法 二 ) 用基本不等式求最值的题目很多是以双变元条件下的最值的形式呈现的 , 采用消元将问题转化为单变量问题 . 在此基础上 , 或直接求最值 , 或换元法后求最值 , 都可以将难度有效降低 . 方法点睛 根据已知的条件形式 , 合理地选择方法 , 简洁准确地求解 , 是解决问题的重点和目标 , 需要总结、反思和积累 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 答案 : D 　 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 A. 最小值 12 B. 最大值 12 C. 最小值 144 D. 最大值 144 答案 : C 　 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 答案 : 4 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测