数学理卷·2019届湖南省长沙市麓山国际实验学校高二下学期第一次月考（2018-02）

数学理卷·2019届湖南省长沙市麓山国际实验学校高二下学期第一次月考（2018-02）

麓山国际2017-2018-2高二第一次月考(理科)数学卷 命题人：高二理科数学组 姓名： 班级： 得分：‎ 一．选择题（共15小题 15*3=45）‎ ‎1．设集合A={x|x+1≤0}，B={x∈Z|x2﹣3＜0}，则（∁RA）∩B=（　　）‎ A．（﹣1，2） B．{﹣1，0，1} C．（﹣1，1） D．{0，1}‎ ‎2．已知复数Z=a+bi（a、b∈R），且满足，则复数Z在复平面内对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．已知直线m，n和平面α，若n⊥α，则“m⊂α”是“n⊥m”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．某四面体三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（　　）‎ A．2 B．4 C． D．‎ ‎5．在（2++）12的展开式中，x5项的系数为（　　）‎ A．252 B．264 C．512 D．528‎ ‎6．某高中在校学生2000人，为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了“元旦”跑步和登山比赛活动．每人都参加而且只参与了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如下表，其中a：b：c=2：3：5，‎ ‎ ‎ 高一级 高二级 高三级 跑步 a b c 登山 x y Z 全校参与登山的人数占总人数的．为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则高二级参与跑步的学生中应抽取（　　）‎ A．36人 B．60人 C．24人 D．30人 ‎7．如图，在三棱锥ABCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是（　　）‎ A． B．﹣ C．﹣ D．‎ ‎8．已知函数y=xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数）．下面四个图象中，y=f（x）的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．若，，，则s1，s2，s3的大小关系为（　　）‎ A．s1＜s2＜s3 B．s2＜s1＜s3 C．s2＜s3＜s1 D．s3＜s2＜s1‎ ‎10．下列命题中，真命题是（　　）‎ A．∃x∈R，使得sinx+cosx=2 B．∀x∈（0，π），有sinx＞cosx C．∃x∈R，使得x2+x=﹣2 D．∀x∈（0，+∞），有ex＞1+x ‎11．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别为△A2B2C2的三个内角的正弦值，则△A1B1C1一定是锐角三角形，△A2B2C2一定是（　　）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 ‎12．设P是双曲线上的点，F1，F2是其焦点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积是1，且a+b=3，则双曲线的离心率为（　　）‎ A．.2 B． C． D．‎ ‎13．若函数f（x）满足f′（x）﹣f（x）=2xex（e为自然对数的底数），f（0）=1，其中f′（x）为f（x）的导函数，则当x＞0时，的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，2] B．（0，2] C．（1，2] D．（2，3]‎ ‎14．箱中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖，现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎15．已知A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2（k1k2≠0），若椭圆的离心率为，则|k1|+|k2|的最小值为（　　）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎　‎ 二．填空题（共5小题 5*3=15）‎ ‎16．如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是　 　．‎ ‎17．在流程框图如图中，若记y=f（x），且x0满足f（f（x0））=2，求x0=　 　．‎ ‎18．已知[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]=3‎ S1=‎ S2=‎ S3=，…‎ 依此规律，那么S10=　 　．‎ ‎19．设函数f（x）=x2﹣1，对任意x∈[3，+∞），f（）﹣4m2f（x）≤f（x﹣1）+4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是　 　．‎ ‎20．在双曲线4x2﹣y2=1的两条渐近线上分别取点A和B，使得|OA|•|OB|=15，其中O为双曲线的中心，则AB中点的轨迹方程是　 　．‎ ‎　‎ 三．解答题（共5小题 5*12=60）‎ ‎21．已知命题α：x1和x2是方程的两个实根，不等式a2﹣a﹣3≤|x1﹣x2|对任意实数m∈[﹣1，1]恒成立；命题β：不等式ax2+2x﹣1＞0有解．‎ ‎（Ⅰ）若命题α是真命题，求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若命题α是真命题且命题β是假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎22．在一次抽奖活动中，有甲、乙等6人获得抽奖的机会．抽奖规则如下：主办方先从6人中随机抽取两人均获奖1000元，再从余下的4人中随机抽取1人获奖600元，最后还从这4人中随机抽取1人获奖400元．‎ ‎（1）求甲和乙都不获奖的概率；‎ ‎（2）设X是甲获奖的金额，求X的分布列和数学期望．‎ ‎23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．‎ ‎（1）求证：PD⊥PB；‎ ‎（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；‎ ‎（3）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由．‎ ‎　24．设A，B分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右顶点和上顶点，椭圆的长轴为4，且点（1，）在椭圆上，斜率为的直线l交椭圆C于P，Q两点（A，B位于直线l的两侧）．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求四边形APBQ的面积的最大值．‎ ‎25．已知二次函数f（x）=x2+ax+m+1，关于x的不等式f（x）＜（2m﹣1）x+1﹣m2的解集为（m，m+1），其中m为非零常数．设．‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）k（k∈R）如何取值时，函数φ（x）=g（x）﹣kln（x﹣1）存在极值点，并求出极值点；‎ ‎（3）若m=1，且x＞0，求证：[g（x+1）]n﹣g（xn+1）≥2n﹣2（n∈N*）．‎ ‎　‎ 麓山国际2017-2018-2高二第一次月考(理科)数学卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共15小题）‎ ‎1．设集合A={x|x+1≤0}，B={x∈Z|x2﹣3＜0}，则（∁RA）∩B=（　　）‎ A．（﹣1，2） B．{﹣1，0， 1} C．（﹣1，1） D．{0，1}‎ ‎【解答】解：A={x|x+1≤0}={x|x≤﹣1}，B={x∈Z|x2﹣3＜0}={﹣1，0，1}，‎ 则（∁RA）∩B={x|x＞﹣1}∩{﹣1，0，1}={0，1}，‎ 故选：D ‎　‎ ‎2．已知复数Z=a+bi（a、b∈R），且满足，则复数Z在复平面内对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【解答】解：∵，∴=，‎ 即 + i=，∴=，=﹣，‎ ‎∴a=7，b=﹣10，故复数Z在复平面内对应的点是（7，﹣10），‎ 故选 D．‎ ‎　‎ ‎3．已知直线m，n和平面α，若n⊥α，则“m⊂α”是“n⊥m”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【解答】解：∵n⊥α，若“m⊂α”，则“n⊥m”．反之不成立，可能m∥α．‎ ‎∴n⊥α，则“m⊂α”是“n⊥m”的充分不必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．某四面体三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（　　）‎ A．2 B．4 C． D．‎ ‎【解答】解：由三视图可得原几何体如图，‎ ‎∵PO⊥底面ABC，∴平面PAC⊥底面ABC，‎ 而BC⊥AC，‎ ‎∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AC．‎ 该几何体的高PO=2，底面ABC为边长为2的等腰直角三角形，∠ACB为直角．‎ 所以该几何体中，直角三角形是底面ABC和侧面PBC．‎ PC=，‎ ‎∴，，‎ ‎∴该四面体的四个面中，直角三角形的面积和．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．在（2++）12的展开式中，x5项的系数为（　　）‎ A．252 B．264 C．512 D．528‎ ‎【解答】解：，‎ 要出现x5项，则r=0，，‎ ‎∴x5项的系数为．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．某高中在校学生2000人．为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了“元旦”跑步和登山比赛活动．每人都参加而且只参与了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如下表，其中a：b：c=2：3：5，‎ ‎ ‎ 高一级 高二级 高三级 跑步 a b c 登山 x y Z 全校参与登山的人数占总人数的．为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则高二级参与跑步的学生中应抽取（　　）‎ A．36人 B．60人 C．24人 D．30人 ‎【解答】解：全校参与跑步有2000×=1200人，高二级参与跑步的学生=1200××=36．‎ 故选A ‎　‎ ‎7．如图，在三棱锥ABCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是（　　）‎ A． B．﹣ C．﹣ D．‎ ‎【解答】解：由题意：三棱锥ABCD中，连结ND，取ND 的中点为E，连结ME，则ME∥AN，异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC．‎ ‎∵AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别为AD，BC的中点，‎ ‎∴AN=，ME=EN=，MC=2，‎ 又∵EN⊥NC，∴EC==；‎ cos∠EMC===．‎ ‎∴异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎8．已知函数y=xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数）．下面四个图象中，y=f（x）的图象大致是（　　）‎ A． B． C．‎ ‎ D．‎ ‎【解答】解：由函数y=xf′（x）的图象可知：‎ 当x＜﹣1时，xf′（x）＜0，∴f′（x）＞0，此时f（x）增 当﹣1＜x＜0时，xf′（x）＞0，∴f′（x）＜0，此时f（x）减 当0＜x＜1时，xf′（x）＜0，∴f′（x）＜0，此时f（x）减 当x＞1时，xf′（x）＞0，f′（x）＞0，此时f（x）增．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．若，，，则s1，s2，s3的大小关系为（　　）‎ A．s1＜s2＜s3 B．s2＜s1＜s3 C．s2＜s3＜s1 D．s3＜s2＜s1‎ ‎【解答】解：由于=x3|=，‎ ‎=lnx|=ln2，‎ ‎=ex|=e2﹣e．‎ 且ln2＜＜e2﹣e，则S2＜S1＜S3‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎10．下列命题中，真命题是（　　）‎ A．∃x∈R，使得sinx+cosx=2 B．∀x∈（0，π），有sinx＞cosx C．∃x∈R，使得x2+x=﹣2 D．∀x∈（0，+∞），有ex＞1+x ‎【解答】解：∵sinx+cosx=sin（x+）∈[，]，2∉[，]，故A“∃x∈R，使得sinx+cosx=2”不正确；‎ 当x=时，sinx＜cosx，故B“∀x∈（0，π），有sinx＞cosx”，不正确；‎ ‎∵方程x2+x=﹣2无解，故C“∃x∈R，使得x2+x=﹣2”，不正确；‎ 令f（x）=ex﹣x﹣1，则f′（x）=ex﹣1，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，即f（x）=ex﹣x﹣1在区间（0，+∞）上为增函数，‎ 又∵f（0）=ex﹣x﹣1=0，∴D“∀x∈（0，+∞），有ex＞1+x”正确；‎ 故选D ‎　‎ ‎11．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别为△A2B2C2的三个内角的正弦值，则△A1B1C1一定是锐角三角形，△A2B2C2一定是（　　）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 ‎【解答】解：因为三角形内角的正弦均为正值，‎ 故△A1B1C1的三个内角的余弦值均为正，‎ 所以△A1B1C1为锐角三角形．‎ 由于，，，‎ 若△A2B2C2是锐角三角形，‎ 则，与三角形内角和为π弧度矛盾；‎ 若△A2B2C2是直角三角形，不妨令A2=，则cosA1=sinA2=1，故A1=0，与△A1B1C1为锐角三角形矛盾；‎ 故△A2B2C2是钝角三角形，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．设P是双曲线上的点，F1，F2是其焦点，且PF1⊥PF2，若△‎ PF1F2的面积是1，且a+b=3，则双曲线的离心率为（　　）‎ A．.2 B． C． D．‎ ‎【解答】解：方法一：设|PF1|=m，|PF2|=n，由题意得 由PF1⊥PF2，△PF1F2的面积是1，则mn=1，得mn=2，‎ ‎∵Rt△PF1F2中，根据勾股定理得m2+n2=4c2‎ ‎∴（m﹣n）2=m2+n2﹣2mn=4c2﹣4，‎ 结合双曲线定义，得（m﹣n）2=4a2，‎ ‎∴4c2﹣4=4a2，化简整理得c2﹣a2=1，即b2=1，‎ 则b=1，由a+b=3，得a=2，所以c==，‎ ‎∴该双曲线的离心率为e==，‎ 故选C．‎ 方法二：由双曲线的焦点三角形的面积公式S=，∠F1PF2=θ，‎ 由PF1⊥PF2，则∠F1PF2=90°，‎ 则△PF1F2的面积S==b2=1，由a+b=3，得a=2，所以c==，‎ ‎∴该双曲线的离心率为e==，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎13．若函数f（x）满足f′（x）﹣f（x）=2xex（e为自然对数的底数），f（0）=1，其中f′（x）为f（x）的导函数，则当x＞0时，的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，2] B．（0，2] C．（1，2] D．（2，3]‎ ‎【解答】解：由题意，（）′=2x，‎ ‎∴=x2+b，‎ ‎∴f（x）=（x2+b）ex，‎ ‎∵f（0）=1，∴b=1，‎ ‎∴f（x）=（x2+1）ex，‎ f′（x）=（x+1）2ex，‎ ‎∴当x＞0时，=1+≤2，当且仅当x=1时取等号，‎ ‎∴当x＞0时，的最大值为2，‎ x→+∞时，=1+→1，‎ 故1＜≤2，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎14．箱中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖，现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：由题意知首先做出摸一次中奖的概率，‎ 从6个球中摸出2个，共有C62=15种结果，‎ 两个球的号码之积是4的倍数，‎ 共有（1，4）（3，4），（2，4）（2，6）（4，5）（4，6），‎ ‎∴摸一次中奖的概率是=，‎ ‎4个人摸奖．相当于发生4次试验，且每一次发生的概率是，‎ ‎∴有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是×（）3×=，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎15．已知A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2（k1k2≠0），若椭圆的离心率为，则|k1|+|k2|的最小值为（　　）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎【解答】解：设M（t，s），N（t，﹣s），t∈[0，a]，s∈[0，b]，A（﹣a，0），B（a，0），‎ k1=，k2=﹣‎ ‎|k1|+|k2|=||+|﹣|≥2=2‎ 当且仅当=﹣，即t=0时等号成立．‎ 因为A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，M（t，s），N（t，﹣s），即s=b ‎∴|k1|+|k2|的最小值为，‎ ‎∵椭圆的离心率为，∴，‎ ‎∴a=2b ‎∴|k1|+|k2|的最小值为1‎ 故选A．‎ ‎　‎ 二．填空题（共5小题）‎ ‎16．如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是　　．‎ ‎【解答】解：如图，设两个半圆的交点为C，且以AO为直径的半圆以D为圆心，连结OC、CD 设OA=OB=2，则弓形OMC的面积为 S弓形OMC=S扇形OCD﹣SRt△DCO=•π•12﹣×1×1=﹣‎ 所以空白部分面积为S空白=2（S半圆AO﹣2S弓形OMC）=2[•π•12﹣（﹣1）]=2‎ 因此，两块阴影部分面积之和为S阴影=S扇形OAB﹣S空白=π•22﹣2=π﹣2‎ 可得在扇形OAB内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为P===．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎17．在流程框图如图中，若记y=f（x），且x0满足f（f（x0））=2，求x0=　　．‎ ‎【解答】解：由已知中的流程图可得，‎ 该程序的功能是计算分段函数 y=f（x）=的函数值，‎ 若f（f（x0））=2‎ 则f（x0）=﹣‎ 则2cosx0=﹣‎ 解得x0=‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎18．已知[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]=3‎ S1=‎ S2=‎ S3=，…‎ 依此规律，那么S10=　210　．‎ ‎【解答】解：[x]表示不超过x的最大整数，‎ S1==1×3‎ S2==2×5‎ S3==3×7，‎ ‎…‎ ‎∴Sn=[]+[]+…+[]+[]=n×（2n+1），‎ ‎∴S10=10×21=210，‎ 故答案为：210‎ ‎　‎ ‎19．设函数f（x）=x2﹣1，对任意x∈[3，+∞），f（）﹣4m2f（x）≤f（x﹣1）+4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是　　．‎ ‎【解答】解：由题意，对任意x∈[3，+∞），f（）﹣4m2f（x）≤f（x﹣1）+4f（m）恒成立，‎ 即﹣1﹣4m2•（x2﹣1）≤（x﹣1）2﹣1+4m2﹣4恒成立，‎ ‎∴≤﹣在[3，+∞）上恒成立．‎ ‎∵﹣=﹣3，‎ ‎∴当x=3时，﹣取得最小值0，‎ ‎∴，‎ 解得：m或m．‎ 故答案为：．‎ ‎20．在双曲线4x2﹣y2=1的两条渐近线上分别取点A和B，使得|OA|•|OB|=15，其中O为双曲线的中心，则AB中点的轨迹方程是　﹣=±1　．‎ ‎【解答】解：∵双曲线4x2﹣y2=1，∴a2=，b2=1‎ ‎∴渐近线y=2x，y=﹣2x，‎ 设A（m，2m），B（n，﹣2n），由于|OA|•|OB|=15，‎ ‎∴|OA|2•|OB|2=225，‎ ‎∴（m2+4m2）（n2+4n2）=225‎ ‎∴m2n2=9，‎ 设AB中点M（x，y）‎ x=（m+n），y=m﹣n，‎ ‎∴（2x）2﹣y2=（m+n）2﹣（m﹣n）2‎ ‎4x2﹣y2=4mn ‎（4x2﹣y2）2=16m2n2=16×9，‎ ‎∴4x2﹣y2=±12，即﹣=±1，‎ 故答案为：﹣=±1．‎ ‎　‎ 三．解答题（共5小题）‎ ‎21．已知命题α：x1和x2是方程的两个实根，不等式a2﹣a﹣3≤|x1﹣x2|对任意实数m∈[﹣1，1]恒成立；命题β：不等式ax2+2x﹣1＞0有解．‎ ‎（Ⅰ）若命题α是真命题，求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若命题α是真命题且命题β是假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎【解答】（本小题12分）‎ 解：（Ⅰ）∵x1，x2是方程的两个实根，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴当m∈[﹣1，1]时，|x1﹣x2|min=3，‎ 由不等式a2﹣a﹣3≤|x1﹣x2|对任意实数m∈[﹣1，1]恒成立，‎ 可得a2﹣a﹣3≤3，∴﹣2≤a≤3，‎ ‎∴命题α为真命题时，a的取值范围为﹣2≤a≤3；…（5分）‎ ‎（Ⅱ）命题β：不等式ax2+2x﹣1＞0有解，‎ ‎①当a＞0时，显然有解；‎ ‎②当a=0时，2x﹣1＞0有解；‎ ‎③当a＜0时，∵ax2+2x﹣1＞0有解，‎ ‎∴△=4+4a＞0，∴﹣1＜a＜0，‎ 从而命题β：不等式ax2+2x﹣1＞0有解时，a＞﹣1．‎ 又命题β是假命题，∴a≤﹣1．‎ 故命题α是真命题且命题β是假命题时，‎ a的取值范围为﹣2≤a≤﹣1．…（12分）‎ ‎22．在一次抽奖活动中，有甲、乙等6人获得抽奖的机会．抽奖规则如下：主办方先从6人中随机抽取两人均获奖1000元，再从余下的4人中随机抽取1人获奖600元，最后还从这4人中随机抽取1人获奖400元．‎ ‎（1）求甲和乙都不获奖的概率；‎ ‎（2）设X是甲获奖的金额，求X的分布列和数学期望．‎ ‎【解答】（满分12分）‎ 解：（1）设“甲和乙都不获奖”为事件A，…（1分）‎ 则P（A）==，‎ ‎∴甲和乙都不获奖的概率为．…（5分）‎ ‎（2）X的所有可能的取值为0，400，600，1000，…（6分）‎ P（X=0）=，‎ P（X=400）=•=，‎ P（X=600）==，‎ P（X=1000）==，…（10分）‎ ‎∴X的分布列为 X ‎0‎ ‎400‎ ‎600‎ ‎1000‎ P ‎（11分）‎ ‎∴E（X）==500．…（12分）‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．‎ ‎（1）求证：PD⊥PB；‎ ‎（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；‎ ‎（3）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【解答】证明：（1）∵面PAD⊥面ABCD=AD，AB⊥AD，‎ ‎∴AB⊥面PAD，∴PD⊥AB 又∵PD⊥PA，∴PD⊥面PAB，‎ ‎∴PD⊥PB．…（3分）‎ 解：（2）取AD中点为O，连结CO，PO，‎ ‎∵∴CO⊥AD∵PA=PD∴PO⊥AD 以O为原点，OC为x轴，OA为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），‎ 则=（1，1，﹣1），=（0，﹣1，﹣1），=（2，0，﹣1），=（﹣2，﹣1，0）．‎ 设=（x，y，z）为面PDC的法向量，‎ 则，取x=1，得=（1，﹣2，2），‎ 设PB与面PCD所成角为θ，‎ 则sinθ==，‎ ‎∴直线PB与平面PCD所成角的正弦值为．…（7分）‎ ‎（3）假设存在M点使得BM∥面PCD，设，M（0，y'，z'），‎ 由（2）知A（0，1，0），P（0，0，1），，‎ B（1，1，0），，‎ ‎∴，‎ ‎∵BM∥面PCD，为PCD的法向量，∴‎ 即∴‎ 综上所述，存在M点，即当时，M点即为所求．…（12分）‎ ‎　24．设A，B分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右顶点和上顶点，椭圆的长轴为4，且点（1，）在椭圆上，斜率为的直线l交椭圆C于P，Q两点（A，B位于直线l的两侧）．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求四边形APBQ的面积的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）∵椭圆的长轴为4，且点（1，）在椭圆上，‎ ‎∴2a=4，=1，解得a=2，b2=3．‎ ‎∴椭圆的方程为：．‎ ‎（2）设直线l的方程为：+t，P（x1，y1），Q（x2，y2）．‎ 联立，化为+2t2﹣6=0，‎ ‎△＞0，解得t2＜6．‎ ‎∴x1+x2=﹣，x1x2=．‎ ‎∴|PQ|===．‎ A（2，0），B（0，），‎ ‎∴|AB|=，kAB==．‎ ‎∴AB⊥PQ．‎ ‎∴S四边形APBQ=‎ ‎═××‎ ‎==．当且仅当t=0时取等号．‎ ‎∴四边形APBQ的面积的最大值为．‎ ‎　‎ ‎25．已知二次函数f（x）=x2+ax+m+1，关于x的不等式f（x）＜（2m﹣1）x+1﹣m2的解集为（m，m+1），其中m为非零常数．设．‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）k（k∈R）如何取值时，函数φ（x）=g（x）﹣kln（x﹣1）存在极值点，并求出极值点；‎ ‎（3）若m=1，且x＞0，求证：[g（x+1）]n﹣g（xn+1）≥2n﹣2（n∈N*）．‎ ‎【解答】解：（1）∵关于x的不等式f（x）＜（2m﹣1）x+1﹣m2的解集为（m，m+1），‎ 即不等式x2+（a+1﹣2m）x+m2+m＜0的解集为（m，m+1），‎ ‎∴x2+（a+1﹣2m）x+m2+m=（x﹣m）（x﹣m﹣1）．‎ ‎∴x2+（a+1﹣2m）x+m2+m=x2﹣（2m+1）x+m（m+1）．‎ ‎∴a+1﹣2m=﹣（2m+1）．‎ ‎∴a=﹣2．…（2分）‎ ‎（2）解法1：由（1）得=．‎ ‎∴φ（x）=g（x）﹣kln（x﹣1）=﹣kln（x﹣1）的定义域为（1，+∞）．‎ ‎∴φ'（x）=1﹣=．…（3分）‎ 方程x2﹣（2+k）x+k﹣m+1=0（*）的判别式△=（2+k）2﹣4（k﹣m+1）=k2+4m．…（4分）‎ ‎①当m＞0时，△＞0，方程（*）的两个实根为，，…（5分）‎ 则x∈（1，x2）时，φ'（x）＜0；x∈（x2，+∞）时，φ'（x）＞0．‎ ‎∴函数φ（x）在（1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．‎ ‎∴函数φ（x）有极小值点x2．…（6分）‎ ‎②当m＜0时，由△＞0，得或，‎ 若，则，，‎ 故x∈（1，+∞）时，φ'（x）＞0，（苏元高考吧：www．gaokao8．net）‎ ‎∴函数φ（x）在（1，+∞）上单调递增．‎ ‎∴函数φ（x）没有极值点．…（7分）‎ 若时，，，‎ 则x∈（1，x1）时，φ'（x）＞0；x∈（x1，x2）时，φ'（x）＜0；x∈（x2，+∞）时，φ'（x）＞0．‎ ‎∴函数φ（x）在（1，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．‎ ‎∴函数φ（x）有极小值点x2，有极大值点x1．…（8分）‎ 综上所述，当m＞0时，k取任意实数，函数φ（x）有极小值点x2；‎ 当m＜0时，，函数φ（x）有极小值点x2，有极大值点x1．…（9分）‎ ‎（其中，）‎ 解法2：由（1）得=．‎ ‎∴φ（x）=g（x）﹣kln（x﹣1）=﹣kln（x﹣1）的定义域为（1，+∞）．‎ ‎∴φ'（x）=1﹣=．…（3分）‎ 若函数φ（x）=g（x）﹣kln（x﹣1）存在极值点等价于函数φ'（x）有两个不等的零点，且 至少有一个零点在（1，+∞）上．…（4分）‎ 令φ'（x）==0，‎ 得x2﹣（2+k）x+k﹣m+1=0，（*）‎ 则△=（2+k）2﹣4（k﹣m+1）=k2+4m＞0，（**） …（5分）‎ 方程（*）的两个实根为，．‎ 设h（x）=x2﹣（2+k）x+k﹣m+1，‎ ‎①若x1＜1，x2＞1，则h（1）=﹣m＜0，得m＞0，此时，k取任意实数，（**）成立．‎ 则x∈（1，x2）时，φ'（x）＜0；x∈（x2，+∞）时，φ'（x）＞0．‎ ‎∴函数φ（x）在（1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．‎ ‎∴函数φ（x）有极小值点x2．…（6分）‎ ‎②若x1＞1，x2＞1，则得 又由（**）解得或，‎ 故．…（7分）‎ 则x∈（1，x1）时，φ'（x）＞0；x∈（x1，x2）时，φ'（x）＜0；x∈（x2，+∞）时，φ'（x）＞0．‎ ‎∴函数φ（x）在（1，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．‎ ‎∴函数φ（x）有极小值点x2，有极大值点x1．…（8分）‎ 综上所述，当m＞0时，k取任何实数，函数φ（x）有极小值点x2；‎ 当m＜0时，，函数φ（x）有极小值点x2，有极大值点x1．…（9分）‎ ‎（其中，）‎ ‎（3）证法1：∵m=1，∴g（x）=．‎ ‎∴=‎ ‎=．…（10分）‎ 令T=，‎ 则T==．‎ ‎∵x＞0，‎ ‎∴2T=…≥…‎ ‎===2（2n﹣2）．…（11分）‎ ‎∴T≥2n﹣2，即[g（x+1）]n﹣g（xn+1）≥2n﹣2．…（12分）‎ 证法2：下面用数学归纳法证明不等式≥2n﹣2．‎ ‎①当n=1时，左边=，右边=21﹣2=0，不等式成立；‎ ‎…（10分）‎ ‎②假设当n=k（k∈N*）时，不等式成立，即≥2k﹣2，‎ 则 ==…（11分）‎ ‎=2k+1﹣2‎ 也就是说，当n=k+1时，不等式也成立．‎ 由①②可得，对∀n∈N*，[g（x+1）]n﹣g（xn+1）≥2n﹣2都成立．…（12分）‎ ‎　‎