2018-2019学年江苏省南通市如皋市高二上学期教学质量调研（三）数学（理科）试题 解析版

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绝密★启用前 江苏省南通市如皋2018-2019学年高二上学期教学质量调研（三)数学（理科)试题 评卷人 得分 一、填空题 ‎1．已知，若为实数，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的乘法运算化简，利用复数的相关概念即可求解.‎ ‎【详解】‎ 因为 ，‎ 又知为实数，‎ 所以，即.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复数的运算，复数的概念，属于中档题.‎ ‎2．焦点在轴上的椭圆的离心率为，则实数的值为__________．‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆的焦点在y轴可知，，求出，由离心率即可解出m.‎ ‎【详解】‎ 因为椭圆的焦点在y轴可知，，‎ 所以，‎ 由可知.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的方程及椭圆的简单几何性质，属于中档题.‎ ‎3．若复数满足（是虚数单位），是的共轭复数，则为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎ 由题意得，复数满足，所以，‎ 所以。‎ ‎4．在直角坐标系中，双曲线的右准线为，则以为准线的抛物线的标准方程是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的方程，可写出右准线方程为，又知为抛物线准线，故，即可写出抛物线的标准方程.‎ ‎【详解】‎ 由双曲线可得，‎ 故,,‎ 所以右准线方程为，‎ 又知为抛物线准线，所以，‎ 故所求抛物线方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线的方程，抛物线的方程，及其简单几何性质，属于中档题.‎ ‎5．已知椭圆的左、右焦点分别为，过作直线交椭圆于两点，则的周长为__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆的定义可知,因此的周长为.‎ ‎【详解】‎ 由椭圆知即，‎ 因为直线过作直线交椭圆于，‎ 所以，‎ 因此的周长为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的方程及椭圆的定义，属于中档题.‎ ‎6．下列关于直线和平面的四个命题中：‎ ‎（1）若，，则；（2）若，，，则；‎ ‎（3）若，，，则；（4）若，，则.‎ 所有正确命题的序号为__________．‎ ‎【答案】⑵⑶‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 逐项分析即可.‎ ‎【详解】‎ 选项（1）若，，可能 ，所以推不出，故错误；选项（2）若，，，可推出，故正确；选项（3）若，，，满足直线与平面平行的判定定理，则，故正确；选项（4）若，，可能 ，也可能，推不出，故错误.综上可知正确的为⑵⑶.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了线面垂直，线面平行，面面平行，面面垂直，属于中档题.‎ ‎7．一个圆锥的侧面积等于底面积的2倍，若圆锥底面半径为，则圆锥的体积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆锥侧面积，圆锥底面积可得，可求出圆锥高，利用体积公式计算即可.‎ ‎【详解】‎ 因为圆锥的侧面积等于底面积的2倍，‎ 所以，即，‎ 又，，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了圆锥的侧面积，圆锥的体积，属于中档题.‎ ‎8．若，则__________．‎ ‎【答案】120‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，是含有项的系数，故利用二项展开式求展开式中含的项的系数即可.‎ ‎【详解】‎ 的通项公式为，令，解得，，‎ 令，解得，，‎ 所以展开式中含项为，‎ 故.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二项展开式，二项展开式的通项，属于中档题.‎ ‎9．叙利亚内战接近尾声，中国红十字会相应国际号召，支持叙利亚人民战后重建，为解决现阶段叙利亚人民急需的医疗保障，现拟从北京某知名医院的专职教授的医生6人（其中男医生3人，女医生3人），护士8人（其中男护士2人，女护士6人）中选派医生、护士各三人组成卫生医疗对，要求男医生至少两人，男护士至少一人，则这样的选派方案共有__________种．（请用数字作答）‎ ‎【答案】360‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意先选医生，从6人中任选2男医生1女医生，或从6人中任选3男医生，共有种选法，再选护士，8人中任选3人，去掉从6名护士中选3人的情况，共有，根据乘法原理即可求出.‎ ‎【详解】‎ 由题意先选医生，从6人中任选2男医生1女医生，或从6人中任选3男医生，共有种选法种，护士8人中任选3人，去掉从6名护士中选3人的情况，共有种选法，根据乘法原理，选派方案共有种．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了组合的应用，乘法原理，属于中档题.‎ ‎10．过抛物线上任意一点作轴的垂线，垂足为，动点在直线上，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 延长PQ与抛物线的准线交于H,则，根据抛物线的定义转化为,则,根据图象可知当在一条直线上时，‎ 有最小值，过F作交于,交抛物线于P，当M与重合时，‎ 最小.‎ ‎【详解】‎ 延长PQ与抛物线的准线交于H,如图：‎ 则，‎ 根据抛物线定义得：,‎ 所以，‎ 由图象可知当在一条直线上时，有最小值，‎ 因此过F作交于,交抛物线于P，当M与重合时，最小，‎ 且 ，‎ 根据点到直线的距离公式可得，‎ 所以 .‎ 即所求最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抛物线的方程，抛物线的定义，及抛物线的简单几何性质，属于中档题.‎ ‎11．从1,3,5,7中任取2个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，一共可以组成__________个没有重复数字的四位数．（用数字作答）‎ ‎【答案】1296‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 从0,2,4,6,8中任取2个数字分两类考虑，若取不到0时，偶数有 种取法，此时可组成个没有重复数字的四位数，若取到0时，偶数有种取法，0不放到首位，可组成个没有重复数字的四位数,根据分类加法计数原理即可求出.‎ ‎【详解】‎ 根据题意，按偶数取不取0分两类，‎ 若取不到0时，偶数有种取法，此时可组成个没有重复数字的四位数，‎ 若取到0时，偶数有种取法，0不放到首位，可组成个没有重复数字的四位数，根据分类加法计数原理可知，共组成个没有重复数字的四位数.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分类加法计数原理，排列与组合，属于中档题.‎ ‎12．在正三棱柱中，点在上，且，设三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连接交AP于点M，根据相似三角形知,故三棱锥与三棱锥有相同的底面，且高之比为3:1所以可得体积比.‎ ‎【详解】‎ 连接交AP于点M，‎ 因为，∥,根据相似三角形知,故三棱锥与三棱锥 有相同的底面，且高之比为3:1,所以,即.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了棱锥的体积，涉及相似三角形及等体积法，属于中档题.‎ ‎13．已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分别为椭圆的左、右顶点，过点的直线与轴交于点（异于原点），在线段上取点，使得，连接并延长交于点，且，则椭圆的离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用MF∥OE,可得三角形相似，利用相似比及，即可建立关系，求出离心率.‎ ‎【详解】‎ 如图：‎ 因为MF∥OE，‎ 所以，‎ 又∥MF,‎ 所以，‎ 又，故,‎ 所以 ‎ 化简得，所以 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的方程及椭圆的简单性质，相似三角形，离心率，属于中档题.‎ ‎14．已知直线与椭圆交于两点（直线的斜率大于0），且，若的面积为，则直线的方程为__________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设直线为，联立椭圆方程，利用，可得，计算原点到直线的距离及弦长，利用面积公式可得，，即可解得，写出直线方程即可.‎ ‎【详解】‎ 设直线为，联立椭圆方程,消元得：，当时， ，‎ 因为，‎ 所以，整理得 ①，‎ 又原点到直线的距离， ，‎ 所以，‎ 结合①得,解得或，当 时，，‎ 因为，所以，当时，，即，经检验满足，所以所求直线方程为或.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，弦长公式，点到直线的距离，属于难题.‎ 评卷人 得分 二、解答题 ‎15．在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，分别为曲线与轴、轴的交点.‎ ‎（1）求以线段为直径的圆的极坐标方程；‎ ‎（2）设的中点为，求直线的极坐标方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）写出曲线C的直角坐标方程，求出N点坐标，写出为直径的圆的方程，化为极坐标方程即可（2）求出P点坐标，根据OP的倾斜角即极角写出极坐标方程.‎ ‎【详解】‎ 由 得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（1）以为直径的圆的方程为 即 ‎ ‎ 或 经检验： ‎ ‎（2）由 ， 且P是中点得，因为直线OP倾斜角为，‎ 所以：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了圆的极坐标方程与普通方程的互化，属于中档题.‎ ‎16．已知直线过点，曲线（为参数），直线与曲线相交于两点.‎ ‎（1）若直线的倾斜角为，求线段的长；‎ ‎（2）求的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）写出直线的参数方程，代入曲线的方程，利用参数的几何意义求解（2）根据直线参数方程代入C方程得，根据参数意义可知，求最值即可.‎ ‎【详解】‎ 曲线 ‎ ‎（1）参数方程为：（为参数）代入曲线的方程得：‎ 则， ‎ ‎（由普通方程求弦长给分）‎ ‎（2）参数方程为：（为参数）代入曲线的方程得：‎ ‎ ‎ 当时，的最小值为。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线的参数方程，参数的几何意义，属于中档题.‎ ‎17．在平行六面体中，，平面底面，点是线段的中点，点是线段的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取的中点，连接、，可证明四边形为平行四边形，得即可证明（2）根据，平面⊥底面即可证明平面，故 又得证.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）取的中点，连接、‎ 在中，‎ ‎ 为线段的中点 ； 为线段的中点 ‎ ‎ 在平行六面体中 ‎ ‎ 又点是线段的中点 ‎ ‎ ‎ ‎ 四边形为平行四边形 ‎ ‎ 平面 平面 ‎ //平面;‎ ‎（2）在中， ，点是线段的中点 ‎ 又平面⊥底面，平面 底面，平面 ‎ 平面，平面 ‎ ‎ 在平行六面体中， ‎ ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与平面平行，面面垂直的性质，线面垂直，属于中档题.‎ ‎18．在公园游园活动中，有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球和2个黑球，乙箱子里装有1个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同.每次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖.（每次游戏结束后将球放回原箱）‎ ‎（1）求在每一次游戏中获奖的概率；‎ ‎（2）在三次游戏中，记获奖次数为，求的概率分布和数学期望.‎ ‎【答案】（1）；（2）2.1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意两箱子随机各摸出2个球共有种取法，其中摸出白球不少于2个有三类共种摸法，即可求出（2）所有可能的取值为0，1，2，3，由题意可知是二项分布，写出概率分布及期望即可.‎ ‎【详解】‎ 记“在每一次游戏中获奖”为事件 ‎（1） ‎ ‎（2）所有可能的取值为0，1，2，3 ‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎= ‎ ‎ ==2.1 ‎ 答: 每一次游戏中获奖的概率为，的数学期望为2.1‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了古典概型，二项分布，期望，属于中档题.‎ ‎19．已知椭圆：的左右焦点分别为，离心率为，点与椭圆上点的最远距离为，过且斜率为的直线与椭圆交于两点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据离心率可得a,b的关系，设出椭圆方程，设椭圆上任意一点，求出，利用二次函数求最值为6即可得出（2）设椭圆上点，则三角形面积为，利用椭圆第二定义求出，代入椭圆方程求即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由离心率为，得，‎ 设椭圆的方程为 ‎ 设椭圆上任意一点则 ‎==， ‎ 当，即时，在时取最大值 得： ， ； ‎ 当，即时，在时取最大值 得： ， (舍去)‎ 椭圆的方程为。‎ ‎（2）设椭圆上点,则设点到右准线的距离为，由椭圆的第二定义得：‎ 则，代入椭圆得 ,‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的方程及椭圆的定义，二次函数求最值，属于中档题.‎ ‎20．某探险队分为四个小组探险甲、乙、丙三个区域，若每个小组只能探险一个区域，且每个小组选择任何一个区域是等可能的.‎ ‎（1）求恰有2个小组探险甲区域的概率；‎ ‎（2）求被探险区域的个数的概率分布列和数学期望.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）每个小组有三个探险区域，所以总的探险不同安排方法有种，恰有2个小组探险甲区域的安排方法，先取两个小组探测甲区域，再安排另外两小组探测区域，共有种，求概率即可（2）由题意所有可能的取值为0，1，2，3，分别计算对应的概率即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）记“恰有2各小组探索甲区域”为事件 ‎ ‎ ‎（2）所有可能的取值为0，1，2，3 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 答：恰有2各小组探索甲区域的概率为，的数学期望为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了离散型随机变量的概率，期望，属于中档题.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）当时，求展开式中系数的最大项；‎ ‎（2）化简；‎ ‎（3）定义：，化简：.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意展开式中系数的最大项就是二项式系数最大的项，，中间项为第5项，其系数最大（2）根据，令，即可求值(3)原式添加，利用倒序相加，化简即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 系数最大的项即为二项式系数最大的项 ‎（2）‎ 原式 ‎（3） ①‎ ‎ ②‎ 在①、②添加，则得 ‎1+ ③‎ ‎1+ ④‎ ‎③+④得：‎ ‎2（1+）‎ ‎ =‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二项式定理，二项式系数，倒序相加法，赋值法，属于中档题.‎ ‎22．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左右顶点分别是，为直线上一点（点在轴的上方），直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.‎ ‎（1）若的面积是的面积的，求直线的方程；‎ ‎（2）设直线与直线的斜率分别为，求证：为定值；‎ ‎（3）若的延长线交直线于点，求线段长度的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）的面积是的面积的，可得为的中点，求出C后可计算，即可写出直线方程（2）设直线的方程，可联立椭圆得C点坐标，进而得P点坐标，写出PB方程得M坐标，即可求出，证明为定值（3）写出，得CB直线方程，联立得Q坐标，即可求出，利用均值不等式求最值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1） , ,即为的中点。‎ ‎，代入椭圆方程得：‎ ‎，直线方程为： ‎ ‎（2）由 得：‎ 由得， ‎ 得，‎ ‎ 得：‎ 得： ‎ ‎.‎ ‎（3）‎ ‎ 得 ‎ ，当且仅当时取最小值。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的方程,直线与椭圆的位置关系，定值问题，均值不等，属于难题.‎ ‎23．如图所示，抛物线的焦点为.‎ ‎（1）求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）过的两条直线分别与抛物线交于点，与，（点，在轴的上方）.‎ ‎①若，求直线的斜率；‎ ‎②设直线的斜率为，直线的斜率为，若，求证：直线过定点.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据焦点可确定p,即可写出方程（2）①设，，利用向量关系得，代入抛物线方程，可得,，结合F(1,0)即可求出斜率. ②根据可得 ，当存在时，设直线：，联立抛物线方程，得，根据可得，代入直线方程即可求出定点，当当不存在时，检验过定点即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，所以p=2,‎ 所以方程为 ‎（2）法一：，，‎ 得 代入得，则，,‎ 法二:由 ①‎ 得，代入①求，‎ 而，得 法三:利用抛物线的定义转化为到准线的距离，得 ‎ ‎（3），得 ‎，同理 ①‎ 代入①得 ‎,又有 ‎ 而 ‎ ‎ 当存在时，设直线：‎ ‎ 得：‎ 得 过定点 ‎ 当不存在时，检验得过定点。‎ 综上所述，直线过定点。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抛物线的方程及直线与抛物线的位置关系，涉及直线斜率及直线过定点问题，属于难题.‎