2020届二轮复习微专题6　隐性圆问题课件（15张）（江苏专用）

2020届二轮复习微专题6　隐性圆问题课件（15张）（江苏专用）

微专题 6 隐性圆问题 微专题6　隐性圆问题 题型一　与圆的切线有关的隐性圆 例1 　已知圆 O : x 2 + y 2 =1,直线 l : ax + y =3,若直线 l 上存在点 P ,过点 P 作圆 O 的两条 切线,切点为 A , B ,使得∠ APB =60 ° ,则实数 a 的取值范围是 　　　　　         . 答案        ∪   解析 　由∠ APB =60 ° ,得∠ APO =30 ° , PO =2 OA =2,则点 P 的轨迹是以点 O 为圆 心,2为半径的圆,方程为 x 2 + y 2 =4.又直线 l 上存在点 P ,所以直线 l : ax + y =3与圆 x 2 + y 2 =4相切或相交,则   ≤ 2.解得 a ≤ -   或 a ≥   . 【方法归纳】　与圆的切线相关的问题,一般连接圆心与切点,在直角三角形 中利用边角关系转化,最终求出动点的轨迹方程(即隐性圆),将问题转化为直 线与圆、圆与圆的位置关系求解. 1-1 　已知圆 O : x 2 + y 2 =1,直线 l : ax + y =3,若直线 l 上存在点 P ,过点 P 作圆 O 的两条 切线,切点为 A , B ,使得四边形 OAPB 为正方形,则实数 a 的取值范围是 　　　     　　　　     . 答案        ∪   解析 　由四边形 OAPB 为正方形,得∠ APB =90 ° ,所以∠ APO =45 ° , PO =   OA =   ,所以点 P 的轨迹是以点 O 为圆心,   为半径的圆,方程为 x 2 + y 2 =2.又直线 l 上 存在点 P ,所以直线 l : ax + y =3与圆 x 2 + y 2 =2相切或相交,则   ≤   ,解得 a ≤ -   或 a ≥   . 题型二　与相交弦有关的隐性圆 例2     (2019南通通州、海门联考,13)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A (1,1), B , C 为圆 O : x 2 + y 2 =4上的两动点,且 BC =2   ,若圆 O 上存在点 P ,使得   +   = m   , m >0,则正数 m 的取值范围为 　　　　　     . 答案 　[   -1,   +1] 解析　 如图,取 BC 的中点 M ,连接 OM . ∵ BC =2   ,∴ O 到 BC 的距离 OM =1, 设 M ( x 0 , y 0 ), P ( x 1 , y 1 ),有   +   =1, 由   +   = m   知: 2   = m   ,即2( x 0 -1, y 0 -1)= m ( x 1 , y 1 ), ∴   ∵ P 点在圆 O 上, ∴   +   =4, ∴( x 0 -1) 2 +( y 0 -1) 2 = m 2 , 说明 M 点既在圆( x -1) 2 +( y -1) 2 = m 2 上, 又在圆   +   =1上, 则两圆有公共点, ∴| m -1| ≤   ≤ m +1,又 m >0, ∴   -1 ≤ m ≤   +1. 【方法归纳】　当直线与圆相交时,特征三角形(由弦心距、半弦、半径构 成)的应用是最普遍的,在特征三角形中应用边角关系求出动点的条件是解题 的关键. 2-1　 已知 A , B 是圆 O : x 2 + y 2 =1上的动点,满足 AB =   , P 是圆 C :( x -3) 2 +( y -4) 2 =1上 的动点,则|   +   |的取值范围是 　　　     . 答案 　[7,13] 解析　 设 AB 的中点为 Q ,则 OQ =   ,点 Q 的轨迹方程是 x 2 + y 2 =   ,所以|   +   |=2|   |.又点 P 在圆 C 上, OC =5,所以|   |∈   .所以|   +   |∈[7,13]. 2-2　 已知 A , B 是圆 O : x 2 + y 2 =9上的动点,且直线 AB 过定点 M (2,0), P 是圆 C :( x -3) 2 + ( y -4) 2 =1上的动点,则|   +   |的取值范围是 　　　　　　　     . 答案 　[4   -4,4   +4] 解析 　设 AB 的中点为 Q ,连接 OQ ,则 OQ ⊥ QM ,即点 Q 在以 OM 为直径的圆上, 点 Q 的轨迹方程是( x -1) 2 + y 2 =1.所以|   +   |=2|   |.又点 P 在圆 C 上,以 OM 为直 径的圆与圆 C 的圆心距为2   ,则|   |∈[2   -2,2   +2].所以|   +   |∈[4   -4, 4   +4]. 2-3     (2018泰州中学高三月考)已知动直线 y = kx +4-3 k 与函数 f ( x )=   的图象 交于 A , B 两点,点 P ( x , y ) 是平面上的动点,且满足|   +   |=2,则 x 2 + y 2 的取值范 围为 　　　     . 答案 　[16,36] 解析 　函数 f ( x )的图象关于点 C (3,4)对称,直线 y = k ( x -3)+4也经过点 C (3,4),所以 A , B 两点关于点 C 对称,|   +   |=2|   |=2,|   |=1,即点 P 的轨迹是以 C 为圆心、 1为半径的圆,圆心 C 到原点的距离是5.所以圆 C 上的点到原点的距离   ∈[4,6],则 x 2 + y 2 ∈[16,36]. 1.(2018扬州中学高三模拟)若直线 kx - y - k +2=0与直线 x + ky -2 k -3=0交于点 P ,则 OP 长度的最大值为 　　　     . 答案 　2   +1 解析 　直线 kx - y - k +2=0恒过点 A (1,2),直线 x + ky -2 k -3=0恒过点 B (3,2),且两直线 垂直,则它们的交点 P 的轨迹是以 AB 为直径的圆,方程是( x -2) 2 +( y -2) 2 =1.又圆心 (2,2)到原点 O 的距离为2   ,所以 OP 长度的最大值为2   +1. 2.(2019宿迁期末,10)已知点 A (-1,0), B (1,0),若圆( x - a +1) 2 +( y - a -2) 2 =1上存在点 M 满足   ·   =3,则实数 a 的取值范围是 　　　     . 答案 　[-2,1] 解析 　设 M ( x , y ),因为   ·   =3,所以点 M 的轨迹方程为(-1- x ,- y )·(1- x ,- y )=3,即 x 2 + y 2 =4, 又因为点 M 在圆( x - a +1) 2 +( y - a -2) 2 =1上, 则两圆有交点,所以2-1 ≤   ≤ 1+2, 即 a 2 + a -2 ≤ 0, a 2 + a +2 ≥ 0, 解得-2 ≤ a ≤ 1. 3.(2018南京、盐城一模,12)在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 y = k ( x -3   )上存 在一点 P ,圆 x 2 +( y -1) 2 =1上存在一点 Q ,满足   =3   ,则实数 k 的最小值为 　         . 答案 　-   解析 　设点 P ( x , y ),由   =3   ,可得 Q   . 因为 Q 在圆 x 2 +( y -1) 2 =1上,所以   +   =1, 即 x 2 +( y -3) 2 =9,所以 P 在圆 x 2 +( y -3) 2 =9上, 又 P 在直线 y = k ( x -3   )上,所以直线与圆有交点. 所以圆心(0,3)到直线 y = k ( x -3   )的距离 d =   ≤ 3,解得-   ≤ k ≤ 0,所以 k 的最小值为-   .