江西省吉安市遂川中学2019-2020学年高一实验班上学期第一次月考数学试题

江西省吉安市遂川中学2019-2020学年高一实验班上学期第一次月考数学试题

www.ks5u.com 数学试题 一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.是( )‎ A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，可知，所以角和角表示终边相同的角，即可得到答案．‎ ‎【详解】由题意，可知，所以角和角表示终边相同的角，‎ 又由表示第三象限角，所以是第三象限角，故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了象限角的表示和终边相同角的表示，其中解答中熟记终边相同角的表示是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．‎ ‎2.已知函数的定义域是，则函数的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 函数有意义，则：，求解不等式有：，‎ 据此可知函数的定义域为.‎ 本题选择A选项.‎ ‎3.函数的零点所在的大致区间是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 函数为单调增函数，且图象是连续的，‎ 又，‎ ‎∴零点所在的大致区间是 故选C ‎4.设如果且那么符合条件的集合的个数是（ ）‎ A. 4 B. 10 C. 11 D. 12‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎,根据A={1，2，3，4}，S⊆A，可得S={4}，{2}，{1，2 }，{1，4}，{2，3 }，{2，4}，{3，4}，{1，2，,3 }，{1，2，4}，{1，3，4}，（2，3，4），{1，2，3，4}，由此可得结论．‎ ‎【详解】∵A={1，2，3，4}，S⊆A ∴S={4}，{2}，{1，2 }，{1，4}，{2，3 }，{2，4}，{3，4}，{1，2，,3 }，{1，2，4}，{1，3，4}，（2，3，4），{1，2，3，4} 故满足S⊆A且S∩B≠ϕ的集合S的个数为12个 故答案为D ‎【点睛】本题考查集合的包含关系，考查子集的含义，正确运用子集的含义是关键．‎ ‎5.设扇形的周长为,则扇形的圆心角的弧度数是2，则扇形的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设扇形的弧长为l，半径为r，由其周长c＝l+2r可求r，l，利用扇形的面积公式即可计算得解．‎ ‎【详解】解：设扇形的弧长为l，半径为r，‎ ‎∵扇形圆心角的弧度数是2，‎ ‎∴l＝2r，‎ ‎∵l+2r＝2r+2r＝4r＝4，‎ ‎∴解得：r＝1，l＝2，‎ ‎∵S扇lr1×2＝1．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查扇形面积公式，关键在于掌握弧长公式，扇形面积公式及其应用，属于基础题．‎ ‎6.今有一组实验数据如下表所示：‎ 则体现这些数据关系的最佳函数模型是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出散点图，观察点的分布情况，即可判断.‎ ‎【详解】画出散点图如图所示，根据点的分布特征，选项C, 更能体现这些的数据关系.故答案选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数模型的应用，掌握基本初等函数的图象，能根据散点图的分布选择合适的函数模型，着重考查数形结合的能力，属于基础题.‎ ‎7.若则 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用三角函数的诱导公式和同角三角函数的基本关系式，化简求解，即可得到答案．‎ ‎【详解】由题意，利用三角函数的诱导公式和同角三角函数的基本关系式，‎ 化简得，‎ 又由，则，‎ 所以，故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数式的化简与运算，其中解答中合理应用三角函数的诱导公式和同角三角函数的基本关系式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．‎ ‎8.函数的零点是和，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由韦达定理得到，再由两角和的正切公式得到结果.‎ ‎【详解】因为的零点是和，所以，是方程的两个根，根据韦达定理得到 ‎,再由两角和的正切公式得到:.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了二次方程的根，以及韦达定理的应用，涉及正切函数的两角和的公式的应用，属于基础题.‎ ‎9.的部分图象大致为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断函数的奇偶性以及对称性，结合函数值的符号是否一致进行排除即可．‎ ‎【详解】f（﹣x）＝f（x），则函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，D，‎ f（π）＝lnπ﹣cosπ＝lnπ+1＞0，排除C，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及特殊值的符号进行排除是解决本题的关键．‎ ‎10.设函数，若对任意的实数都成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 若f（x）≥mx对任意的实数x≥2都成立，则m≤x4对任意的实数x≥2都成立，由对勾函数的图象和性质，可得答案．‎ ‎【详解】解：若f（x）≥mx对任意的实数x≥2都成立，‎ 则m≤x4对任意的实数x≥2都成立，‎ 由对勾函数的图象和性质，可得 y＝x，（x≥2）在x＝2时，取最小值，‎ 故m4，‎ 即实数m的取值范围是（﹣∞，]，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是函数恒成立问题，对勾函数的图象和性质，熟练掌握对勾函数的图象和性质，是解答的关键．‎ ‎11.若对于任意都有，则函数的图象的对称中心为（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎∵对任意x∈R，都有f（x）+2f（–x）=3cosx–sinx①，用–x代替x，得f（–x）+2f（x）=‎ ‎3cos（–x）–sin（–x），即f（–x）+2f（x）=3cosx+sinx②；①②联立，解得f（x）=sinx+cosx，所以函数y=f（2x）–cos2x=sin2x+cos2x–cos2x=sin2x，图象的对称中心为（，0），k∈Z，故选D．‎ ‎12.已知的最大值为，若存在实数、，使得对任意实数总有成立，则的最小值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简，得，根据题意即求半个周期的A倍．‎ ‎【详解】解：依题意 ‎,‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 的最小值为，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了正弦型三角函数的图像与性质，考查三角函数恒等变换，属中档题．‎ 二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：将非特殊角化为特殊角的和与差，是求三角函数值的一个有效方法.‎ 考点：两角和的正弦 ‎14.已知函数，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数表达式得到函数的周期，得到，进而得到结果.‎ ‎【详解】依题意可得，其最小正周期，且，故.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】这给题目考查了正弦函数的周期的求法和应用，属于基础题.‎ ‎15.如果，那么 的大小为________．(用号连接).‎ ‎【答案】c＞a＞b ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用有理指数幂与对数的运算性质及三角函数的值进行大小比较．‎ ‎【详解】解：∵1＞a＝sin2＞sin，‎ b＝，‎ c＝，‎ ‎∴c＞a＞b．‎ 故答案为：c＞a＞b ‎【点睛】本题考查对数值的大小比较，考查有理指数幂与对数的运算性质，考查三角函数值的求法，是基础题．‎ ‎16.已知函数，给出下列结论:‎ ‎（1）若对任意，且，都有，则为R上的减函数；‎ ‎（2）若为R上的偶函数，且在内是减函数，，则解集为；‎ ‎（3）若为R上的奇函数，则也是R上的奇函数；‎ ‎（4）为常数，若对任意的,都有则关于对称.‎ 其中所有正确的结论序号为_________‎ ‎【答案】(1) （2）(3)(4)‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】对于（1），若对于任意且，都有，即当时，，当时，，则为上的减函数，则（1）对；对于（2）若为上的偶函数，且在内是减函数，则在上递增，，则即为，即有，解得或，则（2）对；对于（3），若为上的奇函数，则，即有，也是上的奇函数，则（3）对；对于（4），若任意的都有，则是偶函数，的图象关于 轴对称，，的图象平移个单位可得到的图象，所以 关于直线对称，则（4）对，故答案为（1）（2）（3）（4）.‎ ‎【 方法点睛】本题主要通过对多个命题真假判断，主要综合考查函数的单调性、函数的奇偶性、函数的图象与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，‎ 然后集中精力突破较难的命题.‎ 三、 解答题（17题10分，其余每题12分，共70分 ）‎ ‎17.已知，求下列各式的值.‎ ‎（1） ；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，代入求解即可 ‎（2）原式分母化为，进而分子分母同时除以化简为关于的代数式，代入求解即可.‎ ‎【详解】解：（1）；‎ ‎（2）‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了齐次式的运用，将分母1化为是解题的关键.‎ ‎18.已知函数是定义在(-1，1)上的奇函数，且.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)求的值域.‎ ‎【答案】(1)，； (2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据函数的奇偶性和对应的函数值求出的值； （2）问题转化为这个方程一定有解，根据二次函数的性质求出y的范围即可．‎ ‎【详解】解：（1）由题意得：，‎ ‎，‎ ‎（2）由，‎ 则，即这个方程一定有解，‎ 当时，，‎ 当时：，‎ 且，‎ 综上所述：．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性问题，考查函数的值域以及二次函数的性质，是一道中档题．‎ ‎19.已知函数=的部分图象如图所示．‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求的单调增区间;‎ ‎(3)求在区间上的最大值和最小值．‎ ‎【答案】(1);（2）单调递增区间为(3)时,取得最大值1;时,f(x)取得最小值．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)利用图象的最高点和最低点的纵坐标确定振幅,由相邻对称轴间的距离确定函数的周期和值;‎ ‎(2)利用正弦函数的单调性和整体思想进行求解;‎ ‎(3)利用三角函数的单调性和最值进行求解．‎ 试题解析：‎ ‎(1)由图象知 由图象得函数的最小正周期为=,‎ 则由=得．‎ ‎(2)令 ‎.‎ ‎.‎ 所以f(x)的单调递增区间为 ‎（3）‎ ‎.‎ ‎.‎ 当即时取得最大值1;‎ 当即时,f(x)取得最小值．‎ ‎20.已知函数的图象是由函数的图象经如下变换得到：先将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度.‎ ‎（1）求函数的解析式，并求其图象的对称轴方程；‎ ‎（2）已知关于的方程在内有两个不同的解、，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）f（x）＝2sinx，对称轴方程为x＝k（k∈Z）（2）（，）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得：f（x）＝2sinx，从而可求对称轴方程；‎ ‎（2）由三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得f（x）+g（x）sin（x+φ）（其中sinφ，cosφ），从而可求||＜1，即可得解．‎ ‎【详解】解：（1）将g（x）＝cosx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到y＝2cosx的图象，‎ 再将y＝2cosx的图象向右平移个单位长度后得到y＝2cos（x）的图象，‎ 故f（x）＝2sinx，‎ 从而函数f（x）＝2sinx图象的对称轴方程为x＝k（k∈Z）．‎ ‎（2）f（x）+g（x）＝2sinx+cosx（）sin（x+φ）（其中sinφ，cosφ）‎ 依题意，sin（x+φ）在区间[0，2π）内有两个不同的解α，β，当且仅当||＜1，故m的取值范围是（，）．‎ ‎【点睛】本小题主要考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、分类与整体思想、化归与转化思想、数形结合思想．‎ ‎21.若对定义域内任意，都有（为正常数），则称函数为“距”增函数.‎ ‎（Ⅰ）若，是“距”增函数，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若，，其中，且为“2距”增函数，求的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）根据题干条件得到恒成立，故只需要判别式小于0即可；（II）原题等价于恒成立，恒成立，分和两种情况得结果即可.‎ ‎【详解】（I）.‎ 因为是“距”增函数，所以恒成立，由，‎ 所以.‎ ‎（II）因为，，其中，且为“2距”增函数，即时，‎ 恒成立，所以，当时，即，‎ 当时，，所以.‎ 综上所述，得.‎ ‎【点睛】这个题目考查了恒成立求参问题，恒成立有解求参常见的方法有：变量分离，转化为函数最值问题，或者直接将不等式化为一边为0的式子，使得函数最值大于或者小于0即可.‎ ‎22.如图,在平面直角坐标系中,单位圆上存在两点，满足 均与轴垂直，设∠xOA＝α（α），与面积之和为.‎ ‎(1)若,求的值；‎ ‎(2)若对任意,存在，使得成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）α或（2）m ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）运用三角形的面积公式和三角函数的和差公式，以及特殊角的函数值，可得所求角；‎ ‎（2）由正弦函数的值域可得f（x）的最大值，再由基本不等式可得x（x＜0）的最大值，可得m的范围.‎ ‎【详解】解：（1）依题意f（α）＝S△AOC+S△BODcosαsinαcos（α）sin（α）‎ sin2αsin（2α）sin2α（cos2αsin2α）sin2αcos2α sin（2α），‎ 由f（α），得sin（2α），‎ 即sin（2α）‎ 由α，‎ 可得2α或，‎ 解得α或；‎ ‎（2）由（1）得f（α）sin（2α），‎ α，可得2α∈（，），‎ 从而f（α）max，‎ 当x＜0时，x[（﹣x）]≤﹣2‎ ‎（当且仅当x时，等号成立），‎ 对任意α，存在x＜0，使得f（α）≤x18m成立．‎ 可得f（α）max≤（x）max+18m，‎ 即218m，解得m，‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，以及不等式恒成立，存在性问题解法，考查化简运算能力与转化能力，属于中档题．‎ ‎ ‎