河北省沧州市第一中学2020年高三数学寒假作业8

河北省沧州市第一中学2020年高三数学寒假作业8

1 河北省沧州市第一中学 2020 年高三数学寒假作业 8 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 已知集合 3， ，集合 ，若 ，则实数 m 的取值集合为 A. B. C. D. 2. 设 i 是虚数单位，若复数 ，则复数 z 的模为 A. 1 B. C. D. 3. 设命题 p： ， ，则 为 A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 近年来．随着计划生育政策效果的逐步显现以及老龄化的加剧，我国经济发展的“人口 红利”在逐渐消退，在当前形势下，很多二线城市开始了“抢人大战”，自 2018 年起， 像西安、南京等二线城市人才引进与落户等政策放宽力度空前，至 2019 年发布各种人 才引进与落户等政策的城市已经有 16 个．某二线城市与 2018 年初制定人才引进与落户 新政 即放宽政策，以下简称新政 ：硕士研究生及以上可直接落户并享有当地政府依法 给与的住房补贴，本科学历毕业生可以直接落户，专科学历毕业生在当地工作两年以上 可以落户．高中及以下学历人员在当地工作 10 年以上可以落户．新政执行一年，2018 年全年新增落户人口较 2017 年全年增加了一倍，为了深入了解新增落户人口结构及变 化情况，相关部门统计了该市新政执行前一年 即 2017 年 与新政执行一年 即 2018 年 新增落户人口学历构成比例，得到如饼图：则下面结论中错误的是 A. 新政实施后，新增落户人员中本科生已经超过半数 B. 新政实施后，高中及以下学历人员新增落户人口减少 C. 新政对硕士研究生及以上的新增落户人口数量暂时未产生影响 D. 新政对专科生在该市落实起到了积极的影响 5. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏．在某种玩法中，用 表示解下 个圆环所需的移动最少次数， 满足 ，且 ，则解 下 4 个圆环所需的最少移动次数为 A. 7 B. 10 C. 12 D. 22 6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积 A. B. C. D. 2 7. 当点 到直线 的距离最大值时，m 的值为 A. B. 0 C. D. 1 8. 某次测量发现一组数据 具有较强的相关性，并计算得 ，其中数据 因 书写不清楚，只记得 ，是 上的一个值，则该数据对应的残差 残差 真实值 预测 值 的绝对值不大于 的概率为 A. B. C. D. 9. 函数 的图象大致是 A. B. C. D. 10. 在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 为锐角三角形，且满足， ，则等式成立的是 A. B. C. D. 11. 已知抛物线 C： 的焦点为 F，过点 F 分别作两条直线 ， ，直线 与抛物线 C 交 于A，B 两点，直线 与抛物线C 交于M，N 点，若 与直线 的斜率的乘积为 ，则 的最小值为 A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 12. 已知函数 为自然对数的底数 ， 若存在实数 ， ，使 得 ，且 ，则实数 a 的最大值为 A. B. C. D. 1 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 某篮球运动员罚篮命中率为 ，在一次罚篮训练中连续投篮 50 次，X 表示投进的次 数，则 ______． 14. 为正整数 的展开式中各项的二项式系数之和为 128，则其展开式中含 x 项的 系数是______． 15. ， 均为单位向量，且它们的夹角为 ，设 ， 满足 ， ，则 的最小值为______． 16. 如图所示，正方体 的棱长为 1，M，N 为线段 BC， 上的动点，过点 ，M，N 的平面截该正方体的截面记为 S， 则下列命题正确的是______ 当 且 时，S 为等腰梯形； 当 M，N 分别为 BC， 的中点时，几何体 的体积为 3 ； 当 M 为 BC 中点且 时，S 与 的交点为 R，满足 ； 当 M 为 BC 中点且 时，S 为五边形； 当 且 时，S 的面积 ． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. 已知数列 是公比为 的正项等比数列， 是公差 d 为负数的等差数列，满足 ， ， ． 求数列 的公比 q 与数列 的通项公式； 求数列 的前 10 项和 ． 18. 伴随着科技的迅速发展，国民对“5G”一词越来越熟悉，“5G”全称是第五代移动电话 行动通信标准，也称第五代移动通信技术．2017 年 12 月 10 日，工信部正式对外公布， 已向中国电倌、中国移动、中国联通发放了 5G 系统中低频率使用许可．2019 年 2 月 18 日上海虹桥火车站正式启动 5G 网络建设．为了了解某市市民对“5G”的关注情况，通 过问卷调查等方式研究市民对该市 300 万人口进行统计分析，数据分析结果显示：约 的市民“掌握一定 5G 知识 即问卷调查分数在 80 分以上 ”将这部分市民称为“5G 爱好者” 某机构在“5G 爱好者”中随机抽取了年龄在 岁之间的 100 人按照年龄 分布 如图所示 ，其分组区间为： ， ， ， ， ， ． 4 求频率直方图中的 a 的值； 估计全市居民中 35 岁以上的“5G 爱好者”的人数； 若该市政府制定政策：按照年龄从小到大，选拔 的“5G 爱好者”进行 5G 的专 业知识深度培养，将当选者称成按照上述政策及频率分布直方图，估计该市“5G 达人” 的年龄上限． 19. 如图，在多面体 ABCDEF 中，平面 平面 四边形 ADEF 为正方形，四边形 ABCD 为梯形，且 ， 是边长为 1 的等边三角形，M 为线段 BD 中点， ． 求证： ； 求直线 MF 与平面 CDE 所成角的正弦值； 线段 BD 上是否存在点 N，使得直线 平面 AFN？若存在，求 的值；若不存在， 请说明理由． 5 20. 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 的上顶点为 A，左、右焦点分别为 ， ，直线 的斜率为 ，点 P，Q 在椭圆 E 上，其中 P 是椭圆上一动点，Q 点坐 标为 ． 求椭圆 E 的标准方程； 作直线 l 与 x 轴垂直，交椭圆于 H，K 两点 K 两点均不与 P 点重合 ，直线 PH，PK 与 x 轴分别交于点 M， 求 的最小值及取得最小值时点 P 的坐标． 21. 已知函数 ． 讨论 的单调性； 令 ，当 ， 时，证明： ． 22. 在直角坐标系 xOy 中， ， ，以 O 为极点，x 轴的正半轴建立极坐标系，曲 线 C 的极坐标方程为： 求曲线 C 的直角坐标方程； 动点 P 是曲线 C 在第一象限的点，当四边形 OAPB 的面积最大时，求点 P 的直角坐标． 6 23. 已知函数 ． 若 ，求 x 的取值范围； 在 的条件下，求 的最大值． 7 答案和解析 1.【答案】C 【解析】【分析】 本题主要考查了集合的包含关系的简单应用，属于基础试题． 若 ，则 ，即可求解满足条件的 m 【解答】 解： 3， ， ， 若 ， 则 或 实数 m 的取值集合为 故选：C． 2.【答案】D 【解析】【分析】 本题考查复数模的求法，是基础题． 直接利用复数模的计算公式求解． 【解答】 解： ， ． 故选 D． 3.【答案】D 【解析】【分析】 本题考查含有一个量词的命题的否定．是基本知识的考查． 全称命题的否定是特称命题，写出结果即可． 【解答】 解：由全称命题的否定是特称命题．可知命题 p： ， ，则 是： ： ， ． 故选：D． 4.【答案】B 【解析】【分析】 本题考查了对图表信息的处理及简单的合情推理，属中档题． 先对图表信息进行处理，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解． 【解答】 解：由该市新政执行前一年 即 2017 年 与新政执行一年 即 2018 年 新增落户人口学历构成 比例的饼图可知： 选项 A，C，D 正确， 对于选项 B，设 2017 年全国落户 m 人，则 2018 年全国落户 2m 人， 则 2017 年高中及以下学历人员落户 人，2018 年高中及以下学历人员落户 人， 故新政实施后，高中及以下学历人员新增落户人口增加， 8 故选项 B 错误， 故选：B． 5.【答案】A 【解析】【分析】 本题考查递推式的应用，属于基础题． 本题可根据递推式逐步计算． 【解答】 解：由题意，可知： ， ， ． 故选 A． 6.【答案】D 【解析】解：由三视图知，该几何体是由半径为 1 高为 1 的圆柱与一个 半圆柱组成的几何体， 表面积为 ． 故选：D． 通过三视图判断几何体的形状，利用三视图的数据直接求解几何体的表 面积即可． 本题考查三视图与几何体的直观图的关系，几何体的表面积的求法，考查计算能力与空间想 象能力． 7.【答案】C 【解析】解：直线 可化为 ， 由直线点斜式方程可知直线恒过定点 且斜率为 m， 结合图象可知当 PQ 与直线 垂直时，点到直线距离最大， 此时 ，解得 ， 故选：C． 可得直线过定点， ，结合图象可知当 PQ 与直线垂直时，点到直线距离最大，由直线 的垂直关系可得 m． 本题考查点到直线的距离公式，得出垂直时点到直线距离最大是解决问题的关键，属基础题． 8.【答案】C 【解析】解：由题意，其预估值为 ， 该数据对应的残差的绝对值不大于 时， ， 其概率可由几何概型求得， 即该数据对应的残差的绝对值不大于 的概率 ． 故选：C． 求出预测值，再求出该数据对应的残差的绝对值不大于 1 时 的取值范围，用几何概型解答． 9 本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题． 9.【答案】A 【解析】【分析】 本题考查函数的图象与图象变换，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 由函数为偶函数排除 C，再由指数函数的性质排除 B，D，则答案可求． 【解答】 解：由 ，得 ， 可得 为偶函数，排除 C； 当 时， ， ， ， 结合“指数爆炸”可得 ，排除 B，D． 故选：A． 10.【答案】B 【解析】【分析】 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想， 属于基础题． 利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知等式可得 ，即可得解． 【解答】 解： 为锐角三角形，且 ， ， ， ， ， ． 故选：B． 11.【答案】B 【解析】【分析】 本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的关系，属中档题． 设直线 的方程为： ，将其代入 可得： ，根据韦达定理 以及抛物线的定义可求得 ，同理可求得 ，然后相加利用基本不等式可得最小值． 【解答】 解：因为 ， 由题意可设直线 的方程为： ， 将其代入 可得： ， 设 ， ， ， ， ， 与 的斜率的乘积为 ， 的斜率为 ， 10 同理可得 ， ． 当且仅当 时取等号． 故选：B． 12.【答案】A 【解析】【分析】 本题考查利用函数求导研究参数的范围问题，属于较难题． 本题关键点是先求出 ，确定 的范围，再利用参数分离法求出 a 的最大值． 【解答】 解：显然函数 是单调递增函数， ，故 ， 又 ，且 ，所以 ， 因为 ， 令 ， ， 由 ，得 ，即 ， 设 ， ， 对于 在 上递减函数，最大值为 ，所以 ， 单调递减， ，所以 a 的最大值为 ． 故选 A． 13.【答案】 或 【解析】【分析】 本题考查了二项分布期望、方差的计算问题，是基础题． 根据题意知随机变量 ，计算 即可． 【解答】 解：由题意知，随机变量 ， 则 ． 故答案为： 或 14.【答案】 11 【解析】解：由 为正整数 的展开式中各项的二项式系数之和为 128， 所以 ， 所以 ， 则 的展开式中含 x 项为 ， 即其展开式中含 x 项的系数是 ， 故答案为： ． 由二项式定理及展开式的项得： 的展开式中含 x 项为 ，得解． 本题考查了二项式定理及展开式的项，属中档题． 15.【答案】 【解析】【分析】 本题考查了向量模的几何意义及点的轨迹，属中档题． 由向量模的几何意义及点的轨迹得： 在平面中所对应的点 A 在以 为圆心， 为半径的 圆上运动， 在平面中所对应的点 B 在直线 上运动，则 的几何意义为点 A 到点 B 的 距离，则 的最小值为 ，得解． 【解答】 解：建立如图所示的平面直角坐标系， 由 ， 均为单位向量，且它们的夹角为 ， 则设 ， ， 又 满足 ，则 在平面中所对应的点 A 在以 为圆心， 为半径的圆上运动， 又 ，则 在平面中所对应的点 B 在直线 上运动， 则 的几何意义为点 A 到点 B 的距离， 12 由图可知 ， 即 的最小值为 ， 故答案为： ． 16.【答案】 【解析】【分析】 本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属中档题． 利用空间直线的位置关系，作辅助线，以及柱体，锥体的体积和表面积公式进行计算，对选 项逐一分析，利用命题真假进行判断即可． 【解答】 解：对于 ，如图 1 所示， 当 且 时，由面面平行的性质定理可得， 交线 ，且 ， ， 所以截面 S 为等腰梯形， 正确； 对于 ，如图 2，取 的中点为 H，连接 NH． ， 则 ， 即几何体 的体积为 ； 当 时，延长 ，MN 交于 G，连接 AG 交 于 R，如图， 13 由 ∽ ，可得 ， 由 ∽ ，故可得 ，故 错误； 当 M 为 BC 中点 时，N 与 重合，取 AB 中点为 E，如图： 此时的截面形状为 ，显然为四边形，故 错误； 当 且 时，取 ，则 如图： 当 时，N 与 重合， 可知截面为 即为截面且为等腰梯形，故其面积为 ，故 错误； 故选： ． 17.【答案】解： 是公差 d 为负数的等差数列， 且 ，得 ，则 ． 又 ， ， 解得： 或 舍 ， 14 于是 ， 又 是公比为 q 的等比数列，故 ， ， 舍 或 ， ， ； 设 的前 n 项和为 ； 令 ，即 ，得 ， 于是， ， 当 时， ， ． ． 【解析】本题是等差数列与等比数列的综合题，考查等差数列与等比数列的通项公式及前 n 项和，是中档题． 由已知结合等差数列 的性质列式求得 与公差，则数列 的通项公式可求，再由等 比数列的性质及 求得数列 的公比 q； 设 的前 n 项和为 ，令 ，即 ，得 ，求得 ，再求出 的值，则答案可求． 18.【答案】解： 依题意： 所以， ； 根据题意全市“5G 爱好者” 万人 由样本频率直方图分布可知，35 岁以上“5G 爱好者”的频率为 ， 据此可估计全市 35 岁以上“5G 爱好者”的人数 万人 样本频率分布直方图中前两组的频率之和为 前 3 组频率之和为 所以，年龄在 之间，不妨设年龄上限为 m， 由 ， 得 ， 所以，估计该市“5G 达人”的年龄上限为 28 岁． 【解析】本题主要考查频率分布直方图、分层抽样、对立事件概率计算公式等基础知识，考 查运算求解能力，属于中档题． 由频率直方图的性质能求出 a 的值． 根据题意全市“5G 爱好者”有 180 万人，由样本频率直方图分布可知，35 岁以上“5G 爱好者”的频率为 ，据此可估计全市 35 岁以上“5G 爱好者”的人数为 万人． 样本频率分布直方图中前两组的频率之和为 前 3 组频率之和为 ，年 龄在 之间，不妨设年龄上限为 m，由 ，能求出 ，估计该 市“5G 达人”的年龄上限为 28 岁． 15 19.【答案】 证明：因为 ADEF 为正方形，所以 ． 又因为平面 平面 ABCD，且平面 平面 ， 平面 ADEF， 所以 平面 又 平面 ABCD，所以 ． 解：取 AD 中点 O，EF 中点 K，连接 OB，OK． 于是在等边 中， ，在正方 ADEF 中 ， 又平面 平面 ABCD，平面 平面 ， 故 平面 AFEF， 平面 AFEF，所以 ， 即 OB，OD，OK 两两垂直． 分别以 OB，OD，OK 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 如图 ， 于是， ， ， ， ， 所以 ， 设平面 CDE 的一个法向量为 y， ， 则 ，令 ，则 ，则 ． 设直线 MF 与平面 CDE 所成角为 ， 则直线 MF 与平面 CDE 所成角的正弦值为 ． 解：要使直线 平面 AFN，只需 ， 设 ， 则 ， ，则 ， 又 ， 16 所以 ， 又 所以 ， 解得 ， 所以线段 BD 上存在点 N，使得直线 平面 AFN，且 ． 【解析】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查满足条件的点是否存 在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能 力，是中档题． 推导出 从而 平面 由此能证明 ． 取 AD 中点 O，EF 中点 K，连接 OB， 则 ， ，从而 平面 AFEF，进而 ， 分别以 OB，OD，OK 为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 MF 与 平面 CDE 所成角的正弦值． 要使直线 平面 AFN，只需 ，利用向量法能求出线段 BD 上存在点 N，使得直线 平面 AFN，且 ． 20.【答案】解： 由直线 的斜率为 可知直线的倾斜角为 ． 在 中， ，于是 ， 设椭圆 ，将 代入得 ， 解得： ． 椭圆 E 的标准方程为 ； 设点 ， ， 于是，直线 ，令 ， ， 直线 ，令 ， ． 则 ． 又 ， ， 17 代入上式并化简 ． 即 ． 当 即 时取得最小值． 由 ，化简得 ， 根据题意： ，若 亦与题意不符， ，此时 或 ． 由 ，化简得 ， 将 ， 代入并化简得： ． 根据题意： ，若 ，则 ，而 ， ， 不成立，即 不成立． 综上， 或 ， 故点 P 的坐标为 或 ． 【解析】 由已知直线 的斜率为 可知直线的倾斜角为 在 中，得 ，可设椭圆 ，将 Q 坐标代入求得 c，则椭圆方程可求； 设点 ， ， 分别写出直线 PH，PK 的方程，求出两直线在 x 轴上的 截距，利用基本不等式求 的最小值，然后分类求解 取最小值时点 P 的 坐标． 本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值， 考查计算能力，属难题． 21.【答案】解： 的定义域 ， 当 时， ，则 在 上单调递减； 当 时，令 ，可得 ； 令 可得 ； 则 在 上单调递增，在 上单调递减． 当 时，要证明 成立， 即证： 令 ， ， 令 0'/>， ， ， 所以， 在 单调递增；在 递减． 又由已知 ，可知 在 上为减函数 18 故 ， 即 ． 令 ， 当 单调递减； 当 ， ， 单调递增． 故 ， 即 ， ． 【解析】 先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出， 原不等式等价于 ，构造函数 ，利 用导数求出函数的最值，即可得到 再构造函数 ，再利用导数求出函数的最值，即可证明． 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想， 是一道综合题． 22.【答案】解： 由 可得， ，整理得 ， 即曲线 C 的直角坐标方程 ； 由动点 P 是曲线 C 在第一象限的点可设点 ， 设四边形 OAPB 的面积为 S， 则 ， 所以当 时，S 最大，此时 P 点 ． 【解析】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题． 利用互化公式可得曲线 C 的直角坐标方程； 根据椭圆的参数方程设 ，根据 S 可得点 P 的直角坐标． 23.【答案】解： 由已知得， ，即 ，即 ， 即 x 的取值范围为 ． 由 可得 由柯西不等式，得 ． 当且仅当 ，即 时， 的最大值为 ． 19 【解析】 去掉绝对值符号，转化求解不等式的解集即可． 利用柯西不等式转化求解函数的最大值即可． 本题考查不等式的解法柯西不等式在最值中的应用，考查转化思想以及计算能力．