专题59 求知路上能走多远----探索性问题-备战2018年高考高三数学一轮热点难点一网打尽

专题59 求知路上能走多远----探索性问题-备战2018年高考高三数学一轮热点难点一网打尽

‎ 考纲要求:‎ ‎1.圆锥曲线 ‎(1)了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.‎ ‎(2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.‎ ‎(3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质.‎ ‎(4)了解圆锥曲线的简单应用.‎ ‎(5)理解数形结合的思想.‎ ‎2.曲线与方程 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.‎ 基础知识回顾:‎ 探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的题型．探索性问题一般有三种类型：（1）条件探索性问题；（2）结论探索性问题；（3）探索存在性问题．条件探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目；结论探索型问题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目．‎ 从近几年高考命题看，考查频率较高的是探索存在型问题.‎ 应用举例:‎ 类型一　结论探索性问题 ‎【例1】【2018届广西桂林市第十八中学高三上第三次月考】已知椭圆的左，右焦点分别为.点在椭圆上，直线过坐标原点，若， .‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2） 设椭圆在点处的切线记为直线，点在上的射影分别为，过作的垂线交轴于点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎（2）由（1）知，直线的方程为： ‎ 即： ，所以 ‎∴.‎ ‎∵，∴的方程为，令，可得，∴‎ ‎（几何法）‎ 当不在轴时，不妨令在第一象限，直线的方程为，令 ‎∴， ， ‎ ‎∵与垂直，∴， ‎ 令，∴‎ ‎∴‎ 当在轴时， ， ‎ ‎【例2】【2015高考新课标2，理20】已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．‎ ‎ (Ⅰ)证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；‎ ‎（Ⅱ）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．‎ ‎【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）能，或．‎ ‎ 或时，四边形为平行四边形．‎ ‎【例3】【2015高考福建，理18】已知椭圆E：过点，且离心率为．‎ ‎(Ⅰ)求椭圆E的方程； ‎ ‎(Ⅱ)设直线交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ) G在以AB为直径的圆外．‎ 解法二：(Ⅰ)同解法一.‎ ‎(Ⅱ)设点，则 由所以 从而 ‎ ‎ 所以不共线，所以为锐角.‎ 故点G在以AB为直径的圆外．‎ 点评：这类试题给出命题的条件，要求考生探索命题的结论，并加以证明．其基本思路是，应用综合法从已知条件推出可知，再推出可知，逐步推出正确的结论或通过观察，想象、比较、归纳，作出猜想，然后证明猜想．这是一个不断地由未知转化为已知的探索性思维的过程．‎ 类型二 存在性问题 ‎【例4】【2017届广东深圳市4月模拟】已知圆，一动圆与直线相切且与圆外切.‎ ‎（1）求动圆圆心的轨迹的方程；‎ ‎（2）若经过定点的直线与曲线交于两点， 是线段的中点，过作轴的平行线与曲线相交于点，试问是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程，若不存 在，说明理由.‎ ‎【答案】(1) ;(2) 存在直线或，使得.‎ ‎（2）设，‎ 由题意可知，当直线与轴垂直时，显然不符合题意，‎ 故可设直线的方程为，‎ 联立和并消去，可得，‎ 显然，由韦达定理可知，①‎ ‎【例5】【2018届湖南省邵阳市洞口县第一中学高三上第一次月考】在 中，顶点 所对三边分别是 已知 ,且 成等差数列.‎ ‎(I )求顶点 的轨迹方程；‎ ‎(II) 设顶点A的轨迹与直线 相交于不同的两点 ，如果存在过点的直线,使得点 关于对称，求实数 的取值范围 ‎【答案】（1） （2）当 时， 的取值范围为 ；当 时， 的取值范围为( )．‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(I ) 由 成等差数列，可得 ；结合椭圆的定义可求得 的轨迹方程为 ‎；(II)将 与椭圆方程联立，判别式大于得 . （II）由 ‎ 消去整理得,‎ ‎∴ ，整理得： …①.‎ 令 ，则 .‎ 设 的中点 ，则 .‎ i)当 时，由题知， ．‎ ii)当 时，直线方程为 ，‎ 由 在直线l上，得，得…②‎ 把②式代入①中可得 ，解得 .‎ 又由②得 ，解得 ，∴．‎ 验证：当 在 上时，得 代入②得 ， 无解．即 不会过椭圆左顶点. ‎ 同理可验证 不过右顶点．∴ 的取值范围为)． ‎ 综上，当 时，m的取值范围为；当 时，m的取值范围为．‎ ‎【例6】【2015高考湖北，理21】一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子在滑槽AB内作往复运动时，带动绕转动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线记为．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与曲线有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．‎ ‎ ‎x D O M N y 第21题图2‎ 第21题图1‎ ‎ ‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在最小值8.‎ 由原点到直线的距离为和，可得 ‎. ②‎ 将①代入②得，. ‎ 当时，；‎ 当时，.‎ 因，则，，所以，‎ 当且仅当时取等号.‎ 所以当时，的最小值为8. ‎ 综合（1）（2）可知，当直线与椭圆在四个顶点处相切时，的面积取得最小值8. ‎ 点评：此类试题是探求符合题设条件的数学对象是否存在．其解法是：先假设所需探求的对象存在或结论成立，以此假设为前提运用所学知识进行运算或推理，找出数学对象存在的条件，从而确定数学对象的存在，否则不存在．．‎ 方法、规律归纳:‎ 探索型问题具有较强的综合性，因而解决此类问题往往综合运用所学数学知识．经常用到的知识是：二元二（一）次方程组、几何图形的某些特殊性质等．因此复习中既要重视基础知识的复习，又要加强变式训练和数学思想方法的研究，切实提高分析问题、解决问题的能力．‎ 实战演练:‎ ‎1.【2015高考四川，理10】设直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎ 2.【2017届辽宁庄河市高级中学高三12月月考】 已知抛物线的方程为抛物线上一点，为抛物线的焦点.‎ ‎（I）求；‎ ‎（II）设直线与抛物线有唯一公共点，且与直线相交于点，试问，在坐标平面内是否存在点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】(I)；(II)存在，.‎ ‎ ，直线的方程为，‎ 令得，点坐标为，， ‎ 点在以为直径的圆上，‎ 要使方程恒成立，必须有，解得.‎ 在坐标平面内存在点，使得以为直径的圆恒过点，其坐标为... ‎ 法2：设点，由与曲线有唯一公共点知，直线与相切，‎ 由得.直线的方程为，‎ ‎ 3.【2018届河南省名校联盟高三第一次段考】椭圆（）的上下左右四个顶点分别为，，，，轴正半轴上的某点满足，.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程以及点的坐标；‎ ‎（2）过点作倾斜角为锐角的直线交椭圆于点，过点作直线交椭圆于点，，且，是否存在这样的直线，使得，，的面积相等？若存在，请求出直线的斜率；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）椭圆标准方程为，点坐标为；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用已知条件求出的值，得到椭圆方程；（2）假设存在，设直线，由、的面积相等，求出，再算出 的面积，‎ 得出相等，故存在。‎ ‎ 4.【2015高考北京，理19】已知椭圆：的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；‎ ‎（Ⅱ）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】(1),,(2)存在点 ‎【解析】（Ⅰ）由于椭圆：过点且离心率为，‎ ‎，，椭圆的方程为.‎ ‎,直线的方程为：，令，；‎ ‎ 5.【2017届贵州省遵义市第四中学高三下第一次月考】已知椭圆，过点作直线交椭圆于两点， 是坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）求中点的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）求的面积的最大值，并求此时直线的方程．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 此时， ．‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）利用点差法，结合中点坐标公式，即可求中点的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）令代入，利用韦达定理，表示出面积，利用函数的单调性，即可求面积的最大值，及此时直线的方程．‎ 试题解析：‎ 法二：‎ 设， ， ‎ 则 ‎（1）-（2）得： ‎ ‎ ‎ ‎6．【2015高考四川，理20】如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0,1）的动直线与椭圆相交于A，B两点，当直线平行与轴时，直线被椭圆E截得的线段长为.‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）存在，Q点的坐标为.‎ ‎（2）当直线与轴平行时，设直线与椭圆相交于C、D两点.‎ 如果存在定点Q满足条件，则，即.‎ 所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为.‎ 当直线与轴垂直时，设直线与椭圆相交于M、N两点.‎ 则，‎ 由，有，解得或.‎ 所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点的坐标只可能为.‎ 下面证明：对任意的直线，均有.‎ 当直线的斜率不存在时，由上可知，结论成立.‎ 当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，A、B的坐标分别为.‎ 联立得.‎ 其判别式，‎ ‎ ‎ ‎7．【2017届陕西省咸阳市二模】已知动点到定点和定直线的距离之比为，设动点的轨迹为曲线．‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）过点作斜率不为0的任意一条直线与曲线交于两点，试问在轴上是否存在一点（与点不重合），使得，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（I）;（Ⅱ）存在点. ‎ ‎【解析】试题分析：（I）设点坐标为直接找出关于的方程,这就是曲线的轨迹方程. （Ⅱ） 可知直线与倾斜角互补,则,设带入式,得到的方程,求出的值.‎ ‎ 8．【2018届湖北省华中师范大学第一附属中学高三上期中】已知椭圆的离心率为，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线相切（为常数）.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）如图，若椭圆的左、右焦点分别为，过作直线与椭圆分别交于两点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎（2）①若直线斜率不存在，则可得轴，方程为，‎ ‎，故.‎ ‎②若直线斜率存在，设直线的方程为，‎ 由消去得，‎ 设，则.‎ ‎，‎ 则 代入韦达定理可得 由可得，结合当不存在时的情况，得.‎ ‎9．【2015高考新课标1，理20】在直角坐标系中，曲线C：y=与直线(＞0)交与M,N两点，‎ ‎（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）存在 ‎（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：‎ ‎ 设P（0，b）为复合题意得点，，，直线PM，PN的斜率分别为.‎ ‎ 将代入C得方程整理得.‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴==.‎ ‎ 当时，有=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，‎ ‎ 故∠OPM=∠OPN，所以符合题意. ……12分 ‎ ‎10、【2016年高考四川理数】已知椭圆E：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线与椭圆E有且只有一个公共点T.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；‎ ‎（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l’平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数，使得，并求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ），点T坐标为（2,1）；（Ⅱ）.‎ ‎ ‎ 方程②的判别式为，由，解得.‎ 由②得.‎ 所以 ，‎ 同理，‎ 所以 ‎.‎ 故存在常数，使得.‎ ‎ ‎