【数学】2019届一轮复习北师大版 空间向量与立体几何 学案

【数学】2019届一轮复习北师大版 空间向量与立体几何 学案

‎ ‎ 高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率 利用空间向量求线面角 从近三年高考情况来看，利用空间向量证明平行与垂直，以及求空间角是高考的热点．高考主要考查空间向量的坐标运算，以及平面的法向量等，难度属于中等偏上，主要为解答题，解题时应熟练掌握空间向量的坐标表示和坐标运算，把空间立体几何问题转化为空间向量问题.‎ ‎2017新课标全国II 19‎ ‎2015新课标全国Ⅱ 19‎ ‎2016新课标全国III 19[ 学 ]‎ ‎2015新课标全国Ⅰ 18 ‎ ‎★★★★★‎ 利用空间向量求二面角 ‎2017新课标全国Ⅰ 18‎ ‎2017新课标全国Ⅱ 19‎ ‎2017新课标全国III 19‎ ‎2016新课标全国Ⅰ 18‎ ‎2016新课标全国Ⅱ 19‎ ‎★★★★★‎ 考点1 利用空间向量证明平行与垂直 调研1 如图，在直三棱柱ADE−BCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点．运用向量方法证明 ‎ ‎(1)OM∥平面BCF；‎ ‎(2)平面MDF⊥平面EFCD．‎ ‎【答案】(1)见解析；(2)见解析.学 ‎ ‎【解析】由题意，得AB，AD，AE两两垂直，以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 设正方形边长为1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，F(1，0，1)，M，O.‎ ‎(1)因为=，=(−1，0，0)，‎ 所以·=0，‎ 所以⊥.‎ 因为棱柱ADE−BCF是直三棱柱，‎ 所以AB⊥平面BCF，学 ‎ 所以是平面BCF的一个法向量，且OM⊄平面BCF，‎ 所以OM∥平面BCF.‎ ‎(2)设平面MDF与平面EFCD的法向量分别为n1=(x1，y1， 1)，n2=(x2，y2， 2)．‎ 因为=(1，−1，1)，=，=(1，0，0)，=(0，−1，1)，‎ 由n1·=n1·=0，得解得 令x1=1，则n1=.‎ 同理可得n2=(0，1，1)．‎ 因为n1·n2=0，‎ 所以平面MDF⊥平面EFCD．‎ ‎☆技巧点拨☆‎ 直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量判定方法 设直线l的方向向量为a=(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为μ=(a2，b2，c2)，v=(a3，b3，c3)，则 ‎(1)线面平行 l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ=0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2=0；‎ ‎(2)线面垂直 l⊥α⇔a∥μ⇔a= μ⇔a1= a2，b1= b2，c1= c2；‎ ‎(3)面面平行 α∥β⇔μ∥v⇔μ=λv⇔a2=λa3，b2=λb3，c2=λc3；‎ ‎(4)面面垂直 α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v=0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3=0.‎ 注意 用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a∥b，只需证明向量a=λb（λ∈R）即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.‎ 考点2 求空间角 题组一 求异面直线所成的角 调研1 如图所示，在三棱锥P–ABC中，PA⊥平面ABC，D是棱PB的中点，已知PA=BC=2，AB=4，CB⊥AB，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为 A．− B．− C． D． ‎【答案】D ‎【解析】因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥BC．过点A作AE∥CB，又CB⊥AB，则AP，AB，AE两两垂直．如图，以A为坐标原点，分别以AB，AE，AP所在直线为x轴，y轴， 轴建立空间直角坐标系，学 ‎ 则A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(4，0，0)，C(4，−2，0)．因为D为PB的中点，所以D(2，0，1)．‎ 故=(−4，2，2)，=(2，0，1)．所以cos〈，〉===−.‎ 设异面直线PC，AD所成的角为θ，则cos θ=|cos〈，〉|=.‎ ‎☆技巧点拨☆‎ 利用向量求异面直线所成的角 一是几何法 作—证—算；‎ 二是向量法 把角的求解转化为向量运算，应注意体会两种方法的特点，“转化”是求异面直线所成角的关键，一般地，异面直线AC，BD的夹角β的余弦值为cos β=.‎ 注意 两条异面直线所成的角α不一定是两直线的方向向量的夹角β，即cos α=|cos β|.‎ 题组二 求线面角 调研2 如图，四棱锥P–ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°，AD∥BC，AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，DA=AB=2，BC=AD，E是线段AB的中点．‎ ‎(1)求证 PE⊥CD；‎ ‎(2)求PC与平面PDE所成角的正弦值．‎ ‎【答案】(1)见解析；(2) .‎ ‎【解析】(1)因为AD⊥侧面PAB，PE⊂平面PAB，‎ 所以AD⊥PE. 学 ‎ 又因为△PAB是等边三角形，E是线段AB的中点，‎ 所以PE⊥AB．‎ 因为AD∩AB=A，‎ 所以PE⊥平面ABCD，‎ 而CD⊂平面ABCD，所以PE⊥CD．‎ ‎(2)以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系E−xy .‎ 则E(0，0，0)，C(1，−1，0)，D(2，1，0)，P(0，0，)．‎ 所以=(2，1，0)，=(0，0，)，=(1，−1，−)．‎ 设n=(x，y， )为平面PDE的法向量．‎ 由，得令x=1，可得n=(1，−2，0)．‎ 设PC与平面PDE所成的角为θ，则sin θ=|cos〈，n〉|==.‎ 所以PC与平面PDE所成角的正弦值为.学 ‎ ‎☆技巧点拨☆‎ 利用向量求直线与平面所成的角 ‎①分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；‎ ‎②‎ 通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．‎ 注意 直线和平面所成的角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，即注意函数名称的变化．‎ 直线与平面的夹角计算 设直线l的方向向量为a=(a1，b1，c1)，平面α的法向量为μ=(a3，b3，c3)，直线l与平面α的夹角为θ，则sin θ==|cos〈a，μ〉|.‎ 题组三 求二面角 调研3 如图(1)，在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD=60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥DC，如图(2)．‎ ‎(1)求证 A1E⊥平面BCDE.‎ ‎(2)求二面角E −A1B −C的余弦值．‎ ‎(3)判断在线段EB上是否存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】(1)见解析；(2) −；(3)在线段EB上不存在点P，使得平面A1DP⊥平面A1BC．‎ ‎【解析】(1)∵DE⊥BE，BE∥DC，‎ ‎∴DE⊥DC．学 ‎ 又∵A1D⊥DC，A1D∩DE=D，‎ ‎∴DC⊥平面A1DE，‎ ‎∴DC⊥A1E.‎ 又∵A1E⊥DE，DC∩DE=D，‎ ‎∴A1E⊥平面BCDE.‎ ‎(2)∵A1E⊥平面BCDE，DE⊥BE，‎ ‎∴以EB，ED，EA1所在直线分别为x轴，y轴和 轴，建立空间直角坐标系（如图）．‎ 易知DE=2，则A1(0，0，2)，B(2，0，0)，C(4，2，0)，D(0，2，0)，‎ ‎∴=(−2，0，2)，=(2，2，0)，‎ 易知平面A1BE的一个法向量为n=(0，1，0)．‎ 设平面A1BC的法向量为m=(x，y， )，‎ 由·m=0，·m=0，得令y=1，得m=(−，1，−)，‎ ‎∴cos〈m，n〉===.‎ 由图得二面角E −A1B −C为钝二面角，‎ ‎∴二面角E −A1B −C的余弦值为−.‎ ‎(3)假设在线段EB上存在一点P，使得平面A1DP⊥平面A1BC．‎ 设P(t，0，0)(0≤t≤2)，则=(t，0，−2)，=(0，2，−2)，‎ 设平面A1DP的法向量为p=(x1，y1， 1)，‎ 由得令x1=2，得p=.‎ ‎∵平面A1DP⊥平面A1BC，‎ ‎∴m·p=0，即2−＋t=0，解得t=−3.‎ ‎∵0≤t≤2，学 ‎ ‎∴在线段EB上不存在点P，使得平面A1DP⊥平面A1BC．‎ ‎☆技巧点拨☆‎ 利用向量求二面角 求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．‎ 注意 两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能为两法向量夹角的补角．‎ 运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤 ‎(1)建立恰当的空间直角坐标系；‎ ‎(2)求出相关点的坐标；‎ ‎(3)写出向量坐标；‎ ‎(4)结合公式进行论证、计算；‎ ‎(5)转化为几何结论．‎ 平面与平面的夹角计算公式 设平面α，β的法向量分别为μ=(a3，b3，c3)，v=(a4，b4，c4)，平面α，β的夹角为θ(0≤θ≤π)，则|cos θ|==|cos〈μ，v〉|.‎ 题组四 解决探索性问题 调研4 如图，在五面体ABCDPE中，PD⊥平面ABCD，∠ADC=∠BAD=90°，F为棱PA的中点，PD=BC=，AB=AD=1，且四边形CDPE为平行四边形．‎ ‎(1)判断AC与平面DEF的位置关系，并给予证明；‎ ‎(2)在线段EF上是否存在一点Q，使得BQ与平面PBC所成角的正弦值为？若存在，请求出QE的长；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】(1) AC∥平面DEF，证明见解析；(2) 在线段EF上存在一点Q，使得BQ与平面PBC所成角的正弦值为，此时QE=.学 ‎ ‎【解析】(1)AC∥平面DEF.理由如下 ‎ 设线段PC交DE于点N，连接FN，如图所示，‎ 因为四边形PDCE为平行四边形，所以点N为PC的中点，‎ 又点F为PA的中点，所以FN∥AC，‎ 因为FN⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，所以AC∥平面DEF.‎ ‎(2)假设在线段EF上存在一点Q，使得BQ与平面PBC所成角的正弦值为，设=λ(0≤λ≤1)，如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴， 轴，建立空间直角坐标系．‎ 因为PD=BC=，AB=AD=1，所以CD=2，所以P(0,0，)，B(1,1,0)，C(0,2,0)，A(1,0,0)，所以=(1,1，−)，=(−1,1,0)．‎ 设平面PBC的法向量为m=(x，y， )，‎ 则，即解得令x=1，得平面PBC的一个法向量为m=(1,1，)．‎ 假设存在点Q满足条件．由F，E(0,2，)，可得=.‎ 由=λ(0≤λ≤1)，整理得，则=，‎ 因为直线BQ与平面PBC所成角的正弦值为，‎ 所以|cos〈，m〉|===，得14λ2－5λ－1=0，‎ 又0≤λ≤1，所以λ=，学 ‎ 故在线段EF上存在一点Q，使得BQ与平面PBC所成角的正弦值为，‎ 且QE==.‎ ‎☆技巧点拨☆‎ 用向量解决探索性问题的方法 ‎1．确定点在线段上的位置时，通常利用向量共线来求．‎ ‎2．确定点在平面内的位置时，充分利用平面向量基本定理表示出有关向量的坐标而不是直接设出点的坐标．‎ ‎3．解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题．‎ ‎1．（百校联盟 TOP20一月联考）如图所示，四棱锥中，底面为菱形，，侧面为等边三角形且垂直于底面，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【名师点睛】空间向量的引入为求空间角带来了方便，解题时只需通过代数运算便可达到解题的目的，由于两向量夹角的范围为，因此向量的夹角不一定等于所求的空间角，因此在解题时求得两向量的夹角（或其余弦值）后还要分析向量的夹角和空间角大小间的关系．解题时要根据所求的角的类型得到空间角的范围，并在此范围下确定出所求角（或其三角函数值）．学 ‎ ‎2．（陕西省渭南市 高三教学质量检测（I））二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知，，，，则该二面角的大小为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎3．（浙江省嘉兴一中、杭州高级中学、宁波效实中学等2017届高三下学期五校联考）正方体中，点在上运动（包括端点），则与所成角的取值范围是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎4．（湖南省株洲市 高三教学质量统一检测（一））已知直三棱柱的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱分别交于三点，若为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为 A． B．3 ‎ C． D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】建立直角坐标系如下图 ‎ 点M在侧棱上，设M，点N在上，设，点在上，设，则，因为为直角三角形，所以所以，斜边 ‎，当时取等号.故答案为.故选C．学 ‎ ‎5．（天一大联考2017—2018学年高中毕业班阶段性测试（四））棱台的三视图与直观图如图所示.‎ ‎（1）求证 平面平面；‎ ‎（2）在线段上是否存在一点，使与平面所成的角的正弦值为？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）存在，点在的中点位置，理由见解析.‎ ‎（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，‎ 根据三视图可知四边形为边长为2的正方形，四边形为边长为1的正方形，平面，且.所以，，，，.学 ‎ 令，可得，所以.‎ 设与平面所成的角为，‎ 所以.‎ 所以，即点在的中点位置.‎ ‎【思路点拨】（1）首先根据三视图特征可得平面，四边形为正方形，所以.再由即可得线面垂直，从而得出面面垂直；学 ‎ ‎（2）直接建立空间直角坐标系写出各点坐标求出法向量，再根据向量的夹角公式列等式求出.‎ ‎6．（江西省重点中学协作体 高三下学期第一次联考）如图，四棱锥中，，底面是梯形，AB∥CD，，AB=PD=4，CD=2，，M为CD的中点，N为PB上一点，且.‎ ‎（1）若MN∥平面PAD；‎ ‎（2）若直线AN与平面PBC所成角的正弦值为，求异面直线AD与直线CN所成角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）如图所示，过点D作DHAB于H，则DHCD．以D为坐标原点建立空间直角坐标系D−xy ．‎ 则D（0，0，0），M（0，1，0），C（0，2，0），B（2，2，0），A（2，−2，0），P（0，0，4），‎ ‎∴，‎ ‎．学 ‎ ‎【名师点睛】（1）利用向量法求线面角的方法 ‎ ‎①‎ 分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(锐角或直角时)或其补角(钝角时)；‎ ‎②通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线与平面所成的角．‎ ‎（2）利用直线的方向向量求异面直线所成的角时，要注意直线方向向量的夹角和异面直线所成角的区别，不要得到错误的结论．‎ ‎【思路点拨】（1）由题意在PA上取点E，使得，连接EN，DE，结合条件可得四边形DMNE是平行四边形，故得MN∥DE，由线面平行的判定可得结论成立；‎ ‎（2）过点D作DHAB于H，则DHCD，建立空间直角坐标系，利用直线AN的方向向量与平面PBC的法向量并结合条件可得，然后根据两向量的夹角可得异面直线所成角的余弦值．学 ‎ ‎7．（江苏省南通市 高三上学期第一次调研测试）如图，在四棱锥中，，，两两垂直，，且，.‎ ‎（1）求二面角的余弦值；‎ ‎（2）已知点为线段上异于的点，且，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎（2）由题意可知，，，设，‎ 则，‎ 因为，所以，化简得，‎ 所以或.‎ 又因为点异于点，‎ 所以，即.‎ ‎【名师点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破” ‎ 第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；‎ 第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；‎ 第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；‎ 第四，破“应用公式关”.‎ ‎【思路点拨】（1）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解得各平面法向量，利用向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系求结果；‎ ‎（2）设，根据向量坐标表示距离，再根据距离相等解得，即为的值.‎ ‎8．（衡水金卷2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷）如图，在三棱柱中，侧棱底面，且，是棱的中点，点在侧棱上运动.‎ ‎（1）当是棱的中点时，求证 平面；‎ ‎（2）当直线与平面所成的角的正切值为时，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ 又为的中点，‎ ‎∴，且.‎ ‎∴，且.‎ ‎∴四边形是平行四边形.‎ ‎∴.‎ 又平面平面，‎ ‎∴平面.‎ 又平面的一个法向量为，‎ ‎∴，‎ 又二面角的平面角为钝角，‎ ‎∴二面角的余弦值为.‎ ‎【思路点拨】（1）取线段的中点，连接，可得四边形是平行四边形，，即可证明平面；‎ ‎（2）以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值.‎ ‎9．（山西省晋城市 高三上学期第一次模拟考试）如图，在四棱锥中， ，且．‎ ‎（1）当时，证明 平面平面；‎ ‎（2）当四棱锥的体积为，且二面角为钝角时，求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎∴四边形为矩形，∴，‎ 在中，，，，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴平面，‎ ‎∵平面，∴平面平面．‎ 如图，以为坐标原点，以所在直线分别为，轴，在平面内过点作垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，‎ 由题意可知，，，，， ，‎ 设平面的一个法向量为，则，得，令，则，∴，‎ 又，设直线与平面所成的角为，‎ ‎∴．‎ 则直线与平面所成角的正弦值为．‎ ‎【思路点拨】（1）取的中点，连接，由正三角形的性质可得，由勾股定理可得，根据线面垂直的判定定理可得平面，从而根据面面垂直的判定定理可得平面平面；‎ ‎（2）根据四棱锥的体积为，可得，，以为坐标原点，以为轴，轴，在平面内过点作垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，算出直线的方向向量与平面的法向量，根据空间向量夹角的余弦公式可得结果.‎ ‎ ‎ ‎1．（2017新课标全国Ⅲ理 ）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论 ‎ ‎①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；‎ ‎②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；‎ ‎③直线AB与a所成角的最小值为45°；‎ ‎④直线AB与a所成角的最大值为60°.‎ 其中正确的是________(填写所有正确结论的编号)‎ ‎【答案】②③‎ ‎ ‎ ‎2．（2017新课标全国I理 ）如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且.‎ ‎（1）证明 平面PAB⊥平面PAD；‎ ‎（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A−PB−C的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ 由（1）及已知可得，，，.‎ 所以，，，.‎ 设是平面的法向量，则 即 可取.‎ 设是平面的法向量，则 即可取.‎ 则，‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎【思路点拨】（1）根据题设条件可以得出AB⊥AP，CD⊥PD．而AB//CD，就可证明出AB⊥平面PAD．‎ 进而证明出平面PAB⊥平面PAD．‎ ‎（2）先找出AD中点，找出相互垂直的线，建立以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长的空间直角坐标系，列出所需要的点的坐标，设是平面的法向量，是平面的法向量，根据垂直关系，求出和，利用数量积公式可求出二面角的平面角.‎ ‎ 3．（2017新课标全国ⅠⅠ理 ）如图，四棱锥P−ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中点．‎ ‎（1）证明 直线平面PAB；‎ ‎（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为，求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）．‎ 则，，，，，，‎ 设，则，‎ 因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而是底面ABCD的法向量，‎ 所以，，即． ①‎ 又M在棱PC上，设，则 ． ②‎ 由①②解得(舍去)，．‎ 所以，从而．‎ 设是平面ABM的法向量，则即 所以可取．于是 ，‎ 因此二面角的余弦值为．‎ ‎【思路点拨】（1）取的中点，连接，，由题意证得∥，利用线面平行的判断定理即可证得结论；‎ ‎（2）建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量 ，，然后利用空间向量的相关结论可求得二面角的余弦值为．‎ ‎ ‎ ‎4．（2017新课标全国Ⅲ理 ）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．‎ ‎（1）证明 平面ACD⊥平面ABC；‎ ‎（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎（2）由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为 轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.则.‎ ‎【思路分析】（1）利用题意证得二面角的平面角为90°，则可得到面面垂直；‎ ‎（2）利用题意求得两个半平面的法向量，然后利用二面角的夹角公式可求得二面角D–AE–C的余弦值为.‎ ‎【名师点睛】（1）求解本题要注意两点 一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算时，要认真细心，准确计算.‎ ‎（2）设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与互补或相等，且 ‎.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.‎ ‎5．（2016新课标全国Ⅰ理 ）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，，且二面角DAFE与二面角CBEF都是．‎ ‎（1）证明 平面ABEF平面EFDC；‎ ‎（2）求二面角EBCA的余弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）．‎ 所以，，，．‎ 设是平面的法向量，则 ‎，即，‎ 所以可取．‎ 设是平面的法向量，则，‎ 同理可取．则．‎ 故二面角EBCA的余弦值为．‎ ‎【思路分析】（1）证明平面，结合平面，可得平面平面．（2）建立空间坐标系，利用向量求解.‎ ‎【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明，空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系，其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理，注意防止步骤不完整或考虑不全致推理片面，该类题目难度不大，以中档题为主.第二问一般考查角度问题，多用空间向量法解决.‎ ‎6．（2015新课标全国Ⅰ理 ）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC．‎ ‎（1）证明 平面AEC⊥平面AFC；‎ ‎（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎ ‎