【新教材】2020-2021学年高中人教A版数学必修第二册习题：6-4-3　第4课时　余弦定理、正弦定理应用举例

【新教材】2020-2021学年高中人教A版数学必修第二册习题：6-4-3　第4课时　余弦定理、正弦定理应用举例

第4课时　余弦定理、正弦定理应用举例 课后篇巩固提升 ‎　　 　　　　　　　　　　　　　　‎ 基础达标练 ‎1.‎ 如图,要测量某湖泊两侧A,B两点间的距离,若给出下列数据,则其中不能唯一确定A,B两点间的距离的是(　　)‎ A.角A,B和边AC B.角A,B和边BC C.边BC,AC和角C D.边BC,AC和角A 解析根据正弦定理,可知当已知两边和其中一边的对角时,解三角形得出的结果不一定唯一,故选D.‎ 答案D ‎2.如图,在河岸一侧取A,B两点,在河岸另一侧取一点C,若AB=12 m,借助测角仪测得∠CAB=45°,∠CBA=60°,则C处河面宽CD为(　　)‎ A.6(3+)m B.6(3-)m C.6(3+2)m D.6(3-2)m 解析由⇒AB=AD+BD=CD=12⇒CD=6(3-)m,故选B.‎ 答案B ‎3.如图,D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得点A的仰角分别是β,α(α<β),则点A离地面的高度AB等于(　　)‎ A. B.‎ C. D.‎ 解析在△ADC中,∠DAC=β-α.‎ 由正弦定理,得,‎ ‎∴AC=,‎ ‎∴AB=ACsin β=.‎ 答案A ‎4.一艘船上午9:30在A处,测得灯塔S在它的北偏东30°的方向,且与它相距8 n mile, 之后它继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向,则此船的航速是(　　)‎ A.8()n mile/h B.8()n mile/h C.16()n mile/h D.16()n mile/h 解析由题意,得在△SAB中,∠BAS=30°,∠SBA=180°-75°=105°,∠BSA=45°.‎ 由正弦定理,得,‎ 即,‎ 解得AB=8(),‎ 故此船的航速为=16()(n mile/h).‎ 答案D ‎5.如图,地平面上有一根旗杆OP,为了测得它的高度h,在地面上取一基线AB,AB=20 m,在A处测得点P的仰角∠OAP=30°,在B处测得点P的仰角∠OBP=45°,又测得∠AOB=60°,则旗杆的高度为(　　)‎ A.20()m B. m C. m D.10()m 解析由已知,得AO=h,BO=h,则在△ABO中,由余弦定理,得AB2=AO2+BO2-2AO·BO·cos 60°,‎ 即400=3h2+h2-h2,‎ 解得h=(m).‎ 答案C ‎6.如图所示,位于A处的信息中心获悉,在其正东方向相距40 n mile 的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°,相距20 n mile 的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援,则cos θ等于(　　)‎ A. B.‎ C. D.‎ 解析在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°.‎ 由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°=2 800,所以BC=20.‎ 由正弦定理,得sin∠ACB=·sin∠BAC=.‎ 由∠BAC=120°,得∠ACB为锐角,故cos∠ACB=.故cos θ=cos(∠ACB+30°)=cos∠ACBcos 30°-sin∠ACBsin 30°=.‎ 答案B ‎7.某船在岸边A处向正东方向航行x海里后到达B处,然后朝南偏西60°方向航行3海里到达C处,若A处与C处的距离为 n mile,则x的值为　. ‎ 解析在△ABC中,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B,‎ 即x2+9-2·x·3cos 30°=()2,‎ 即x2-3x+6=0,‎ 解得x=2或x=.‎ 答案或2‎ ‎8.已知甲船在岛B的正南方A处,AB=10 n mile,甲船以4 n mile/h的速度向正北方向的岛B航行,同时乙船自岛B出发以6 n mile/h的速度向北偏东60°的方向航行,当甲、乙两船距离最近时,它们所航行的时间是　　　h. ‎ 解析如图,设甲、乙两船距离最近时航行时间为t h,距离为s n mile,此时甲船到达C处,则甲船距离B岛(10-4t)n mile,乙船距离B岛6t n mile,所以由余弦定理,得cos 120°==-,化简,得s2=28t2-20t+100,所以当t=时,s2取最小值,即当甲、乙两船距离最近时,它们所航行的时间是 h.‎ 答案 ‎9.某人见一建筑物A在正北方向,另一建筑物B在北偏西30°方向.此人沿北偏西70°方向行走了3 km后到达C,则见A在其北偏东56°方向上,B在其北偏东74°方向上,试求这两个建筑物间的距离.‎ 解如图,在△BCO中,∠BOC=70°-30°=40°,∠BCO=(180°-70°)-74°=36°,‎ ‎∴∠CBO=180°-40°-36°=104°.‎ ‎∵OC=3,由正弦定理,得,‎ 则BO=.在△ACO中,∠AOC=70°,∠CAO=56°,则∠ACO=54°.由正弦定理,得,则AO=.在△ABO中,由余弦定理,得AB=≈1.630(km)=1 630(m).故这两个建筑物间的距离约为1 630 m.‎ 能力提升练 ‎1.如图所示,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C相对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100 m 到达B处,又测得C相对于山坡的斜度为45°,若CD=50 m,山坡的坡角为θ,则cos θ=(　　)‎ A. B.-1‎ C.2- D.‎ 解析在△ABC中,由正弦定理,得 BC==50()(m).在△BCD中,由正弦定理,得sin∠BDC=-1.‎ 由题图知cos θ=sin∠ADE=sin∠BDC=-1,故选B.‎ 答案B ‎2.江岸边有一炮台高30 m,江中有两条船,由炮台顶部测得两条船的俯角分别为45°与60°,且两条船与炮台底部的连线成30°角,则两条船之间的距离为　　　m. ‎ 解析设炮台顶部为A,两条船分别为B,C,炮台底部为D(如图),则∠BAD=45°,∠CAD=30°,∠BDC=30°,AD=30 m.‎ 在Rt△ABD与Rt△ACD中,tan 45°=,tan 30°=,‎ 则DB=30 m,DC=10 m.‎ 在△DBC中,由余弦定理,得BC2=DB2+DC2-2DB·DCcos 30°,即BC2=302+(10)2-2×30×10,解得BC=10 m.‎ 答案10‎ ‎3.某海上养殖基地A,接到气象部门预报,位于基地南偏东60°方向相距20(+1)n mile的海面上有一台风中心,影响半径为20 n mile,正以10 n mile/h的速度沿某一方向匀速直线前进,预计台风中心将从基地东北方向刮过且(+1)h后开始影响基地持续2 h.求台风移动的方向.‎ 解如图,设预报时台风中心为B,开始影响基地时台风中心为C,基地刚好不受影响时台风中心为D,则B,C,D在一条直线上,且AD=20 n mile,AC=20 n mile.‎ 由题意,得AB=20(+1)n mile,DC=20 n mile,BC=10+1)n mile.在△ADC中,‎ ‎∵DC2=AD2+AC2,∴∠DAC=90°,∠ADC=45°.‎ 在△ABC中,由余弦定理,得cos∠BAC=.∴∠BAC=30°.∵B位于A的南偏东60°方向,且60°+30°+90°=180°,∴D位于A的正北方向.又∠ADC=45°,∴台风移动的方向为向量的方向,即北偏西45°方向.‎ ‎4.如图,A,B,C,D都在同一个铅垂面内(与水平面垂直的平面),B,D为海岛上两座灯塔的塔顶.测量船于A处测得点B和点D的仰角分别为75°,30°,于C处测得点B和点D的仰角均为60°,AC=1 km,求点B,D间的距离.‎ 解(方法一)在△ACD中,∠ADC=60°-∠DAC=60°-30°=30°.由正弦定理,得AD=.‎ 在△ABC中,∠ABC=75°-60°=15°,∠ACB=60°,‎ 由正弦定理,得AB=.在△ADB中,∠BAD=180°-75°-30°=75°,由余弦定理,得BD=‎ ‎=‎ ‎=.即点B,D间的距离为 km.‎ ‎(方法二)如图,记AD与BC的交点为M.‎ 由外角定理,得∠CDA=∠60°-∠DAC=60°-30°=30°,所以AC=DC.又易知∠MCD=∠MCA=60°,所以△AMC≌△DMC,‎ 所以M为AD的中点,所以BA=BD.‎ 又AB=,所以BD=.‎ 所以点B,D间的距离为 km.‎