【数学】2018届一轮复习北师大版第一章集合与常用逻辑用语第一节集合教案
第一节 集合
☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆
考纲要求
真题举例
命题角度
1.了解集合的含义，元素与集合的属于关系；能用列举法或描述法表示集合；
2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义；
3.理解并会求并集、交集、补集；能用Venn(韦恩)图表达集合的关系与运算。
2016，全国卷Ⅰ，1,5分(集合的交集)
2016，全国卷Ⅱ，2,5分(集合的并集)
2015，全国卷Ⅱ，1,5分(集合的交集)
2014，全国卷Ⅰ，1,5分(集合的交集)
2014，全国卷Ⅱ，1,5分(集合的交集)
主要考查具体集合(能确定集合中元素)的基本运算，偶尔涉及集合间的关系及新定义问题。
微知识 小题练
自|主|排|查
1．集合的含义与表示方法
(1)集合的含义：研究对象叫做元素，一些元素组成的总体叫做集合。集合中元素的性质：确定性、无序性、互异性。
(2)元素与集合的关系：①属于，记为∈；②不属于，记为∉。
(3)集合的表示方法：列举法、描述法和图示法。
(4)常用数集的记号：自然数集N，正整数集N*或N＋，整数集Z，有理数集Q，实数集R。
2．集合间的基本关系
表示
关系
文字语言
符号语言
记法
基本关系
子集
集合A中的元素都是集合B中的元素
x∈A⇒x∈B
A⊆B
或B⊇A
真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A
A⊆B，且∃x0∈B，x0∉A
AB或
BA
相等
集合A，B的元素完全相同
A⊆B，B⊆A
A＝B
空集
不含任何元素的集合。空集是任何集合A的子集
∀x，x∉∅，∅⊆A
∅
3.集合的基本运算
表示
运算
文字语言
符号语言
图形语言
记法
交集
属于集合A且属于集合B的元素组成的集合
{x|x∈A，且x∈B}
A∩B
并集
属于集合A或属于集合B的元素组成的集合
{x|x∈A，或x∈B}
A∪B
补集
全集U中不属于集合A的元素组成的集合
{x|x∈U，x∉A}
∁UA
微点提醒
1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件。
2．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身。
3．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心。
4．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误。
5．记住以下结论
(1)若集合A中有n个元素，则其子集的个数为2n，真子集的个数为2n－1。
(2)A∪B＝A⇔B⊆A；A∩B＝A⇔A⊆B。
小|题|快|练
一 、走进教材
1．(必修1P12B组T4改编)满足{0,1}⊆A{0,1,2,3}的集合A的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 由题意得A可为{0,1}，{0,1,2}，{0,1,3}。故选C。
【答案】 C
2．(必修1P12B组T1改编)已知集合A＝{0,1,2}，集合B满足A∪B＝{0,1,2}，则集合B有________个。
【解析】 由题意知B⊆A，则集合B有8个。
【答案】 8
二、双基查验
1．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝( )
A．{－1,0,1} B．{－1,0,1,2}
C．{－1,0,2} D．{0,1}
【解析】 M∪N表示属于M或属于N的元素构成的集合，故M∪N＝{－1,0,1,2}。故选B。
【答案】 B
2．设集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2<1，x∈R}，则M∩N＝( )
A．[0,1] B．[0,1)
C．(0,1] D．(0,1)
【解析】 ∵x2<1，∴－1
0}，且1∉A，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0] B．(－∞，1]
C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)
(2)已知集合A＝{x2＋x,4x}，若0∈A，则x＝____。
【解析】 (1)若1∈A，则1－2＋a>0，解得a>1。因为1∉A，所以a≤1。故选B。
(2)由题意，得或
解得x＝－1。
【答案】 (1)B (2)－1
考点二
集合的基本关系…………母题发展
【典例2】 (1)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为( )
A．7 B．8
C．15 D．16
(2)(2017·襄阳模拟)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋10}，若A⊆B，则实数c的取值范围是( )
A．(0,1] B．[1，＋∞)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
【解析】 (1)因为x⊆A，所以B＝{∅，{0}，{1}，{0,1}}，则集合A＝{0,1}是集合B中的元素，所以A∈B。故选D。
(2)解法一：由题意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0,1)，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c)。
由A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1。故选B。
解法二：因为A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0,1)，取c＝1，则B＝(0,1)，所以A⊆B成立，可排除C，D；取c＝2，则B＝(0,2)，所以A⊆B成立，可排除A。故选B。
【答案】 (1)D (2)B
考点三
集合的运算…………多维探究
角度一：两个集合的交集、并集、补集运算
【典例3】 (1)(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝( )
A．{1} B．{1,2}
C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}
(2)(2016·天津高考)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B＝( )
A．{1} B．{4}
C．{1,3} D．{1,4}
(3)设全集U＝R，集合A＝{x|x≥2}，B＝{y|y＝lg(x2＋1)}，则(∁UA)∩B＝( )
A．{x|x≤－1或x≥0}
B．{(x，y)|x≤－1，y≥0}
C．{x|x≥0}
D．{x|x＞－1}
【解析】 (1)由已知可得B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1－1
【解析】 (1)由A∪B＝A得B⊆A，有m∈A，所以有m＝或m＝3，即m＝3或m＝1或m＝0，又由集合中元素的互异性知m≠1。故选B。
(2)∵M＝{x|－1≤x<2}，N＝{y|y－1即可。故选D。
【答案】 (1)B (2)D
角度三：抽象的集合运算
【典例5】 设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的( )
A．充分而不必要的条件
B．必要而不充分的条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要的条件
【解析】 由图可知，若“存在集合C，使得A⊆C，B⊆∁UC”，则一定有“A∩B＝∅”；反过来，若“A∩B＝∅”，则一定能找到集合C，使A⊆C且B⊆∁UC。故选C。
【答案】 C
反思归纳 集合的基本运算的关注点
1.集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提。
2.有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决。
3.注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图。
4.根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后应用数形结合求解。
微考场 新提升
1．(2016·四川高考)设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析 由集合A＝{x|－2≤x≤2}，易知A∩Z＝{－2，－1,0,1,2}。故选C。
答案 C
2．(2016·全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝( )
A. B.
C. D.
解析 由题意得，A＝{x|1}，
则A∩B＝。故选D。
答案 D
3.设全集U是自然数集N，集合A＝{x|x2>4，x∈N}，B＝{0,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是( )
A．{x|x>2，x∈N} B．{x|x≤2，x∈N}
C．{0,2} D．{1,2}
解析 由题图可知，图中阴影部分所表示的集合是B∩(∁UA)，∁UA＝{x|x2≤4，x∈N}＝{x|－2≤x≤2，x∈N}＝{0,1,2}，∵B＝{0,2,3}，∴B∩(∁UA)＝{0,2}。故选C。
答案 C
4．(2016·辽宁五校联考)已知集合M，N，P为全集U的子集，且满足M⊆P⊆N，则下列结论不正确的是( )
A．∁UN⊆∁UP B．∁NP⊆∁NM
C．(∁UP)∩M＝∅ D．(∁UM)∩N＝∅
解析 根据已知条件画出韦恩图结合各选项知，只有D不正确。故选D。
答案 D
5．当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”。对于集合M＝{x|ax2－1＝0，a>0}，N＝{－，，1}，若M与N“相交”，则a＝________。
解析 M＝，由＝，得a＝4；由＝1，得a＝1。
当a＝4时，M＝{－，}，此时M⊆N，不合题意；当a＝1时，M＝{－1,1}，满足题意。
答案 1
微专题 巧突破
集合中新情境型问题
与集合有关的新概念问题属于信息迁移类问题，它是化归思想的具体运用，是近几年高考的热点问题，这类试题的特点是：通过给出的新的数学概念或新的运算法则，在新的情境下完成某种推理证明，或在新的运算法则下进行运算。常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型。解决此类题的关键是理解问题中的新概念、新公式、新运算、新法则等的含义，然后分析题目中的条件，设法进行套用。
1．定义新概念、新公式
【典例1】 设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么k是A的一个“单一元”，给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“单一元”的集合共有________个。
【解析】 符合题意的集合为{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共6个。
【答案】 6
【变式训练1】 若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝{－1,0，，2,3}的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )
A．1 B．3
C．7 D．31
【解析】 具有伙伴关系的元素组是－1，，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，，。故选B。
【答案】 B
2．定义新运算、新法则
【典例2】 设A，B是有限集，定义d(A，B)＝card(A∪B)－card(A∩B)，其中card(A)表示有限集A中的元素个数。
命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d(A，B)>0”的充分必要条件；
命题②：对任意有限集A，B，C，d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)，
A．命题①和命题②都成立
B．命题①和命题②都不成立
C．命题①成立，命题②不成立
D．命题①不成立，命题②成立
【解析】 命题①显然正确，通过如图韦恩图亦可知d(A，C)表示的区域不大于d(A，B)＋d(B，C)的区域，故命题②也正确，故选A。
【答案】 A
【变式训练2】 定义集合的差集运算为A－B＝{x|x∈A且x∉B}，若A＝{y|y＝|x－1|－|x＋1|，x∈R}，B＝{y|y＝－，x∈R}，则A－B＝________。
【解析】 先求出集合A，B，再利用差集的定义求A－B。
依题意知，y＝|x－1|－|x＋1|＝
可知－2≤y≤2，所以A＝[－2,2]。易知y＝－＝
在(1，＋∞)上单调递减，则0<－≤，即0
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