【数学】2020届一轮复习苏教版专题三第一讲小题考法——解析几何中的基本问题学案
[江苏卷 5 年考情分析]
小题考情分析 大题考情分析
常考点
1.直线与圆、圆与圆的位置关系(5
年 4 考)
2.圆锥曲线的方程及几何性质(5
年 5 考)
偶考点 直线的方程、圆的方程
主要考查直线与椭圆(如 2014 年、2015
年、2017 年、2018 年)的位置关系、弦长问
题、面积问题等；有时也考查直线与圆(如
2016 年)，常与向量结合在一起命题.
第一讲 小题考法——解析几何中的基本问题
考点(一) 直线、圆的方程
主要考查圆的方程以及直线方程、圆的基本量的计算.
[题组练透]
1．已知点 P(3,2)与点 Q(1,4)关于直线 l 对称，则直线 l 的方程为____________．
解析：由题意知直线 l 与直线 PQ 垂直，所以 kl＝－ 1
kPQ＝1.又直线 l 经过 PQ 的中点(2,3)，
所以直线 l 的方程为 y－3＝x－2，即 x－y＋1＝0.
答案：x－y＋1＝0
2．(2018·南通一模)已知圆 C 过点(2， 3)，且与直线 x－ 3y＋3＝0 相切于点(0，
3)，则圆 C 的方程为____________．
解析：设圆心为(a，b)，
则Error!
解得 a＝1，b＝0，r＝2.
即所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.
答案：(x－1)2＋y2＝4
3．(2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)在平面直角坐标系 xOy 中，
若动圆 C 上的点都在不等式组Error!，表示的平面区域内，则面积最大的圆 C 的标准方程
为____________．
解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，面积最大
的圆 C 即为可行域三角形的内切圆．由对称性可知，圆 C 的圆心在 x 轴上，设半径为 r，则圆心
C(3－r,0)，且它与直线 x－ 3y＋3＝0 相切，所以|3－r＋3|
1＋3
＝r，解得 r＝2，所以面积最大的
圆 C 的标准方程为(x－1)2＋y2＝4.
答案：(x－1)2＋y2＝4
[方法技巧]
1．求直线方程的两种方法
直接法 选用恰当的直线方程的形式，由题设条件直接求出方程中系数，写出结果
待定
系数法
先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有待定系数，再由题
设条件构建方程，求出待定系数
2.圆的方程的两种求法
几何法 通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程
代数法 用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程
考点(二) 直线与圆、圆与圆的位置关系 主要考查直线与圆、圆与圆的位置关系，
以及根据直线与圆的位置关系求相关的最值
与范围问题.
[典例感悟]
[典例] (1)(2018·无锡期末)过圆 x 2＋y2＝16 内一点 P(－2,3)作两条相互垂直的弦 AB
和 CD，且 AB＝CD，则四边形 ACBD 的面积为________．
(2)(2018·南通、泰州一调)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(－4,0)，B(0,4)，从直线
AB 上一点 P 向圆 x2＋y2＝4 引两条切线 PC，PD，切点分别为 C，D.设线段 CD 的中点为
M，则线段 AM 长的最大值为________．
[解析] (1)设 O 到 AB 的距离为 d1，O 到 CD 的距离为 d2，则由垂径定理可得 d21＝r2－
(AB
2 )2，d22＝r2－(CD
2 )2，由于 AB＝CD，故 d1＝d2，且 d1＝d2＝ 2
2 OP＝ 26
2 ，所以
(AB
2 )2＝r2－d21＝16－13
2 ＝19
2 ，得 AB＝ 38，从而四边形 ACBD 的面积为 S＝1
2AB×CD＝
1
2× 38× 38＝19.
(2)法一：(几何法) 因为直线 AB 的方程为 y＝x＋4，所以可设 P(a，a＋4)，C(x1，y1)，
D(x2，y2)，所以 PC 的方程为 x1x＋y1y＝4，PD 的方程为 x2x＋y2y＝4，将 P(a，a＋4)分别代
入 PC，PD 的方程，得Error!则直线 CD 的方程为 ax＋(a＋4)y＝4，即 a(x＋y)＝4－4y，所
以直线 CD 过定点 N(－1,1)，
又因为 OM⊥CD，所以点 M 在以 ON 为直径的圆上(除去原点)．又因为以 ON 为直径的
圆的方程为 (x＋1
2 )2＋(y－1
2 )2＝1
2，所以 AM 的最大值为 (－4＋1
2)2＋(1
2 )2＋ 2
2 ＝3
2.
法二：(参数法) 因为直线 AB 的方程为 y＝x＋4，所以可设 P(a，a＋4)，同法一可知直
线 CD 的方程为 ax＋(a＋4)y＝4，即 a(x＋y)＝4－4y，得 a＝4－4y
x＋y .又因为 O，P，M 三点共
线，所以 ay－(a＋4)x＝0，得 a＝ 4x
y－x.因为 a＝4－4y
x＋y ＝ 4x
y－x，所以点 M 的轨迹方程为 (x＋1
2 )
2＋(y－1
2 )2＝1
2(除去原点)，所以 AM 的最大值为 (－4＋1
2)2＋(1
2 )2＋ 2
2 ＝3 2.
[答案] (1)19 (2)3 2
[方法技巧]
解决关于直线与圆、圆与圆相关问题的策略
(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻
找解题途径，减少运算量．
(2)解决直线与圆相关的最值问题：一是利用几何性质，如两边之和大于第三边、斜边
大于直角边等来处理最值；二是建立函数或利用基本不等式求解．
(3)对于直线与圆中的存在性问题，可以利用所给几何条件和等式，得出动点轨迹，转
化为直线与圆、圆与圆的位置关系．
[演练冲关]
1．已知圆 M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线 l：x＋y－6＝0，A 为直线 l 上一点，若圆 M
上存在两点 B，C，使得∠BAC＝60°，则点 A 的横坐标的取值范围是________．
解析：由题意知，直线 l 与圆 M 相离，所以点 A 在圆 M 外．设 AP，AQ 分别与圆 M 相
切于点 P，Q，则∠PAQ≥∠BAC＝60°，从而∠MAQ≥30°.因为 MQ＝2，所以 MA≤4.设
A(x0,6－x0)，则 MA2＝(x0－1)2＋(6－x0－1)2≤16，解得 1≤x0≤5.
答案：[1,5]
2．(2018·苏北四市期末)在平面直角坐标系 xOy 中，若圆 C 1：x2＋(y－1)2＝r2(r>0)上存
在点 P，且点 P 关于直线 x－y＝0 的对称点 Q 在圆 C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1 上，则 r 的取值
范围是________．
解析：设圆 C1 上存在点 P(x0，y0)满足题意，点 P 关于直线 x－y＝0 的对称点 Q(y 0，x0)，
则Error!故只需圆 x2＋(y－1)2＝r2 与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1 有交点即可，所以|r－1|≤
(1－0)2＋(2－1)2≤r＋1，解得 2－1≤r≤ 2＋1.
答案：[ 2－1， 2＋1]
3．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P(3,0)在圆 C：x2＋y2－2mx－4y＋m2－28＝0 内，
动直线 AB 过点 P 且交圆 C 于 A，B 两点，若△ABC 的面积的最大值为 16，则实数 m 的取
值范围为________.
解析：圆 C 的标准方程为(x－m)2＋(y－2)2＝32，圆心为 C(m,2)，半径为 4 2，当△ABC
的面积的最大值为 16 时，∠ACB＝90°，此时 C 到 AB 的距离为 4，所以 4≤CP＜4 2，即
16≤(m－3)2＋(0－2)2＜32，解得 2 3≤|m－3|＜2 7，即 m∈(3－2 7，3－2 3]∪[3＋2 3，
3＋2 7)．
答案：(3－2 7，3－2 3 ]∪[3＋2 3，3＋2 7)
4．(2018·南京、盐城、连云港二模)在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A，B 为圆 C：(x＋
4)2＋(y－a)2＝16 上的两个动点，且 AB＝2 11.若直线 l：y＝2x 上存在唯一的一个点 P，使
得 PA
―→
＋ PB
―→
＝ OC
―→
，则实数 a 的值为________．
解析：法一：设 AB 的中点为 M(x0，y0)，P(x，y)，则由 AB＝2 11，得 CM＝ 16－11
＝ 5，即点 M 的轨迹为(x0＋4)2＋(y0－a)2＝5.又因为 PA
―→
＋ PB
―→
＝ OC
―→
，所以 PM
―→
＝1
2
OC
―→
，即(x0－x，y0－y)＝(－2，a
2)，从而Error!则动点 P 的轨迹方程为(x＋2)2＋(y－a
2 )2＝
5，又因为直线 l 上存在唯一的一个点 P，所以直线 l 和动点 P 的轨迹(圆)相切，则
|－4－a
2|
22＋(－1)2
＝ 5，解得 a＝2 或 a＝－18.
法二：由题意，圆心 C 到直线 AB 的距离 d＝ 16－11＝ 5，则
AB 中点 M 的轨迹方程为(x＋4)2＋(y－a)2＝5.由 PA
―→
＋ PB
―→
＝ OC
―→
，
得 2 PM
―→
＝ OC
―→
，所以PM
―→
∥ OC
―→
.如图，连结 CM 并延长交 l 于点
N，则 CN＝2CM＝2 5.故问题转化为直线 l 上存在唯一的一个点 N，使
得 CN＝2 5，所以点 C 到直线 l 的距离为|2 × (－4)－a|
22＋(－1)2
＝2 5，解得 a＝2 或 a＝－18.
答案：2 或－18
考点(三)
圆锥曲线的方程及几何性质 主要考查三种圆锥曲线的定义、方程及
几何性质，在小题中以考查椭圆和双曲线的
几何性质为主.
[题组练透]
1．(2018·南通、泰州一调)在平面直角坐标系 xOy 中，已知 F 为抛物线 y2＝8x 的焦点，
则点 F 到双曲线x2
16－y2
9＝1 的渐近线的距离为________．
解析：抛物线的焦点 F(2,0)，双曲线的渐近线方程为 y＝±3
4x，不妨取 y＝3
4x，即 3x－4y
＝0，所以焦点 F 到渐近线的距离为 |6|
32＋(－4)2
＝6
5.
答案：6
5
2．(2018·苏北四市期中)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A，B1，
B2 分别为椭圆 C：x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)的右、下、上顶点，F 是椭圆 C 的右
焦点．若 B2F⊥AB1，则椭圆 C 的离心率是________．
解析：由题意得，A(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)，F(c,0)，所以 B2F
―→
＝(c，－b)， AB1―→
＝(－a，－b)，因为 B2F⊥AB1，所以 B2F
―→
· AB1―→
＝0，即 b2＝ac，所以 c2＋ac－a2＝0，e2＋
e－1＝0，又椭圆的离心率 e∈(0,1)，所以 e＝ 5－1
2 .
答案： 5－1
2
3．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线x2
3－y2＝1 的右准线与它的两条渐
近线分别交于点 P，Q，其焦点是 F1，F2，则四边形 F1PF2Q 的面积是________．
解析：由题意得，双曲线的右准线 x＝ 3
2与两条渐近线 y＝±
3
3 x 的交点坐标为
(3
2， ±
3
2 ).
不妨设双曲线的左、右焦点分别为 F1，F2，
则 F1(－2,0)，F2(2,0)，
故四边形 F1PF2Q 的面积是
1
2|F1F2|·|PQ|＝1
2×4× 3＝2 3.
答案：2 3
4．(2018·常州期末)在平面直角坐标系 xOy 中，设直线 l：x＋y＋1＝0 与双曲线 C：x2
a2－
y2
b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线都相交且交点都在 y 轴左侧，则双曲线 C 的离心率 e 的取值
范围是________．
解析：双曲线的渐近线分别为 y＝b
ax，y＝－b
ax，依题意有－b
a>－1，即 b
1，所以 e 的取值范围是(1， 2)．
答案：(1， 2)
[方法技巧]
应用圆锥曲线的性质的两个注意点
(1)明确圆锥曲线中 a，b，c，e 各量之间的关系是求解问题的关键．
(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出 c 和 a 的值，而是根据题目给出
的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数 c，a，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式
求得离心率的值或范围．
[必备知能·自主补缺]
(一) 主干知识要记牢
1．直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 与直线 l2：A2x＋B2y＋C2＝0 的位置关系
(1)平行⇔A1B2－A2B1＝0 且 B1C2－B2C1≠0；
(2)重合⇔A1B2－A2B1＝0 且 B1C2－B2C1＝0；
(3)相交⇔A1B2－A2B1≠0；
(4)垂直⇔A1A2＋B1B2＝0.
2．直线与圆相交
(1)几何法
由弦心距 d、半径 r 和弦长的一半构成直角三角形，计算弦长|AB|＝2 r2－d2.
(2)代数法
设直线 y＝kx＋m 与圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 相交于点 M，N，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
将直线方程代入圆方程中，消去 y 得关于 x 的一元二次方程，求出 x1＋x2 和 x1·x2，则|MN|＝
1＋k2· (x1＋x2)2－4x1·x2.
3．判断两圆位置关系时常用几何法
即通过判断两圆心距离 O1O2 与两圆半径 R，r(R>r)的关系来判断两圆位置关系．
(1)外离：O1O2>R＋r；
(2)外切：O1O2＝R＋r；
(3)相交：R－r0，b>0)的渐近线方程为 y＝±b
ax.注意离心率 e 与渐近线的斜率的
关系．
(二) 二级结论要用好
1．过圆 O：x2＋y2＝r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程是 x0x＋y0y＝r2.
2.过圆 C 外一点 P 做圆 C 的切线，切点分别为 A，B(求切线时要注意
斜率不存在的情况)如图所示，则
(1)P，B，C，A 四点共圆，且该圆的直径为 PC；
(2)该四边形是有两个全等的直角三角形组成；
(3)cos
∠BCA
2 ＝sin
∠BPA
2 ＝ r
PC；
(4)直线 AB 的方程可以转化为圆 C 与以 PC 为直径的圆的公共弦，且 P(x0，y0)时，直线
AB 的方程为 x0x＋y0y＝r2.
3．椭圆焦点三角形的 3 个规律
设椭圆方程是x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)，焦点 F1(－c,0)，F2(c,0)，点 P 的坐标是(x0，y0)．
(1)三角形的三个边长是 PF1＝a＋ex0，PF2＝a－ex0，|F1F2|＝2c，e 为椭圆的离心率．
(2)如果△PF1F2 中∠F1PF2＝α，则这个三角形的面积 S△PF1F2＝c|y0|＝b2tan α
2.
(3)椭圆的离心率 e＝ sin∠F1PF2
sin∠F1F2P＋sin∠F2F1P.
4．双曲线焦点三角形的 2 个结论
P(x0，y0)为双曲线x2
a2－y2
b2＝1(a>0，b>0)上的点，△PF1F2 为焦点三角形．
(1)面积公式
S＝c|y0|＝1
2r1r2sin θ＝ b2
tan θ
2
(其中 PF1＝r1，PF2＝r2，∠F1PF2＝θ)．
(2)焦半径
若 P 在右支上，PF1＝ex0＋a，PF2＝ex0－a；若 P 在左支上，PF1＝－ex0－a，PF2＝－
ex0＋a.
5．抛物线 y2＝2px(p>0)焦点弦 AB 的 3 个结论
(1)xA·xB＝p2
4 ；
(2)yA·yB＝－p2；
(3)AB＝xA＋xB＋p.
[课时达标训练]
A 组——抓牢中档小题
1．若直线 l1：mx＋y＋8＝0 与 l2：4x＋(m－5)y＋2m＝0 垂直，则 m＝________.
解析：∵l1⊥l2，∴4m＋(m－5)＝0，∴m＝1.
答案：1
2．已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0， 5)在圆 C 上，且圆心到直线 2x－y＝
0 的距离为4 5
5 ，则圆 C 的方程为____________．
解析：因为圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，设 C(a,0)，且 a＞0，所以圆心到直线 2x－y
＝0 的距离 d＝ 2a
5
＝4 5
5 ，解得 a＝2，所以圆 C 的半径 r＝|CM|＝ 22＋( 5)2＝3，所以圆
C 的方程为(x－2)2＋y2＝9.
答案：(x－2)2＋y2＝9
3．(2018·镇江期末)已知双曲线x2
a2－y2＝1 的左焦点与抛物线 y2＝－12x 的焦点重合，则
双曲线的右准线方程为________．
解析：因为抛物线的焦点为(－3,0)，即为双曲线的左焦点，所以 a2＝9－1＝8，所以双
曲线的右准线方程为 x＝8
3.
答案：x＝8
3
4．已知直线 l 过点 P(1,2)且与圆 C：x2＋y2＝2 相交于 A，B 两点，△ABC 的面积为 1，
则直线 l 的方程为________．
解析：当直线斜率存在时，设直线的方程为 y＝k(x－1)＋2，即 kx－y－k＋2＝0.因为 S△
ABC＝1
2CA·CB·sin∠ACB＝1，所以 1
2× 2× 2×sin∠ACB＝1，所以 sin∠ACB＝1，即∠ACB
＝90°，所以圆心 C 到直线 AB 的距离为 1，所以|－k＋2|
k2＋1
＝1，解得 k＝3
4，所以直线方程为 3x
－4y＋5＝0；当直线斜率不存在时，直线方程为 x＝1，经检验符合题意．综上所述，直线 l
的方程为 3x－4y＋5＝0 或 x＝1.
答案：3x－4y＋5＝0 或 x＝1
5．已知椭圆 C：x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为 F1，F2，离心率为 3
3 ，过 F2 的直
线 l 交 C 于 A，B 两点．若△AF1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为__________．
解析：因为△AF1B 的周长为 4 3，所以|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝
4a＝4 3，所以 a＝ 3.又因为椭圆的离心率 e＝c
a＝ 3
3 ，所以 c＝1，b2＝a2－c2＝3－1＝2，
所以椭圆 C 的方程为x2
3＋y2
2＝1.
答案：x2
3＋y2
2＝1
6．(2018·南京学情调研)在平面直角坐标系 xOy 中，若圆(x－2)2＋(y－2)2＝1 上存在点 M，
使得点 M 关于 x 轴的对称点 N 在直线 kx＋y＋3＝0 上，则实数 k 的最小值为________．
解析：圆(x－2)2＋(y－2)2＝1 关于 x 轴的对称圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1，由题意得，
圆心(2，－2)到直线 kx＋y＋3＝0 的距离 d＝|2k－2＋3|
k2＋1
≤1，解得－4
3≤k≤0，所以实数 k 的
最小值为－4
3.
答案：－4
3
7．已知以椭圆的右焦点 F2 为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点 M，N，椭圆的
左焦点为 F1，且直线 MF1 与此圆相切，则椭圆的离心率 e＝________.
解析：因为圆的半径 r＝c，在 Rt△F1F2M 中，|F1F2|＝2c，|F2M|＝c，|F1M|＝ 3c，所
以 2a＝|F1M|＋|F2M|＝( 3＋1)c，离心率 e＝2c
2a＝ 2c
3c＋c
＝ 3－1.
答案： 3－1
8．(2018·南京学情调研)在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 ax＋y－2＝0 与圆心为 C 的
圆(x－1)2＋(y－a)2＝16 相交于 A，B 两点，且△ABC 为直角三角形，则实数 a 的值是________．
解析：由题意知△ABC 为等腰直角三角形，且 AC＝BC＝4，AB＝4 2，
∴圆心 C 到直线 ax＋y－2＝0 的距离 d＝ 42－(2 2)2＝2 2，
∴|a＋a－2|
a2＋1
＝2 2，解得 a＝－1.
答案：－1
9．(2018·扬州期末)在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线x2
a2－y2
b2＝1(a>0，b>0)的渐近线
与圆 x2＋y2－6y＋5＝0 没有交点，则双曲线离心率的取值范围是________．
解析：由圆 x2＋y2－6y＋5＝0，得圆的标准方程为 x2＋(y－3)2＝4，所以圆心 C(0,3)，半
径 r＝2.因为双曲线x2
a2－y2
b2＝1(a>0，b>0)的渐近线 bx±ay＝0 与该圆没有公共点，则圆心到直
线的距离应大于半径，即|b × 0 ± a × 3|
b2＋a2 >2，即 3a>2c，即 e＝c
a<3
2，又 e>1，故双曲线离心
率的取值范围是(1，3
2 ).
答案：(1，3
2 )
10．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：x2＋(y－3)2＝2，点 A 是 x 轴上的一个动点，
AP，AQ 分别切圆 C 于 P，Q 两点，则线段 PQ 长的取值范围是________．
解析：设∠PCA＝θ，所以 PQ＝2 2sin θ.又 cos θ＝ 2
AC，AC∈[3，＋∞)，所以 cos θ∈
(0， 2
3 ]，所以 cos2θ∈(0，2
9 ]，sin2θ＝1－cos2θ∈[7
9，1 )，所以 sin θ∈[ 7
3 ，1)，所以 PQ
∈[2 14
3 ，2 2).
答案：[2 14
3 ，2 2)
11．(2018·南京、盐城、连云港二模)在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C：x2－y2
b2
＝1(b＞0) 的两条渐近线与圆 O：x2＋y2＝2 的四个交点依次为 A，B，C，D.若矩形 ABCD
的面积为 b，则 b 的值为________．
解析：由题意知，双曲线 C 的渐近线方程为 y＝±bx，如图所示，两
条渐近线与圆 O 的四个交点为 A，B，C，D.不妨设点 B 的坐标为(m，
n)，则Error!解得 m2＝ 2
b2＋1，而矩形 ABCD 的面积为 2m×2n＝4mn＝
4bm2＝4b × 2
b2＋1 ＝b，解得 b＝ 7.
答案： 7
12．(2018·苏锡常镇调研)已知直线 l：x－y＋2＝0 与 x 轴交于点 A，点 P 在直线 l 上．圆
C：(x－2) 2＋y2＝2 上有且仅有一个点 B 满足 AB⊥BP，则点 P 的横坐标的取值集合为
________．
解析：法一：由 AB⊥BP，得点 B 在以 AP 为直径的圆 D 上，所以圆 D 与圆 C 相切．
由题意得 A(－2,0)，C(2,0)．若圆 D 与圆 C 外切，则 DC－DA＝ 2；若圆 D 与圆 C 内
切，则 DA－DC＝ 2.所以圆心 D 在以 A，C 为焦点的双曲线x2
1
2
－y2
7
2
＝1 上，即 14x2－2y2＝
7.又点 D 在直线 l 上，由Error!得 12x2－8x－15＝0，解得 xD＝3
2或 xD＝－5
6.所以 xP＝2xD－xA
＝2xD＋2＝5 或 xP＝1
3.
法二：由题意可得 A(－2,0)，设 P(a，a＋2)，则 AP 的中点 M (a－2
2 ，a＋2
2 )，AP＝
2(a＋2)2，故以 AP 为直径的圆 M 的方程为 (x－a－2
2 )2＋(y－a＋2
2 )2＝(|a＋2|
2 )2.由题意得
圆 C 与圆 M 相切(内切和外切)，故 (a－2
2 －2)2＋(a＋2
2 )2＝| 2 ± |a＋2|
2 |，解得 a＝1
3或
a＝5.故点 P 的横坐标的取值集合为{1
3，5 }.
答案：{1
3，5 }
13．已知椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的左焦点为 F，直线 x＝m 与椭圆相交于 A，B 两点．若△
FAB 的周长最大时，△FAB 的面积为 ab，则椭圆的离心率为________．
解析：设直线 x＝m 与 x 轴交于点 H，椭圆的右焦点为 F1，由椭圆的对称性可知△FAB
的周长为 2(FA＋AH)＝2(2a－F1A＋AH)，因为 F1A≥AH，故当 F1A＝AH 时，△FAB 的周长
最大，此时直线 AB 经过右焦点，从而点 A，B 坐标分别为(c，b2
a )，(c，－b2
a )，所以△FAB
的面积为1
2·2c· 2b2
a ，由条件得1
2·2c· 2b2
a ＝ab，即 b2＋c2＝2bc，b＝c，从而椭圆的离心率为 e＝
2
2 .
答案： 2
2
14．已知 A，B 是圆 C1：x2＋y2＝1 上的动点，AB＝ 3，P 是圆 C2：(x－3)2＋(y－4)2＝
1 上的动点，则| PA
―→
＋ PB
―→
|的取值范围为________．
解析：因为 A，B 是圆 C1：x2＋y2＝1 上的动点，AB＝ 3，所以
线段 AB 的中点 H 在圆 O：x2＋y2＝1
4上，且| PA
―→
＋ PB
―→
|＝2| PH
―→
|.
因为点 P 是圆 C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1 上的动点，所以 5－3
2≤| PH
―→
|≤5 ＋ 3
2，即 7
2≤| PH
―→
|≤13
2 ，所 以 7≤2| PH
―→
|≤13 ，从 而 | PA
―→
＋ PB
―→
| 的 取 值 范 围 是
[7,13]．
答案：[7,13]
B 组——力争难度小题
1．已知点 P 是圆 C：x2＋y2＋4x－6y－3＝0 上的一点，直线 l：3x－4y－5＝0.若点 P 到
直线 l 的距离为 2，则符合题意的点 P 有________个．
解析：由题意知圆 C 的标准方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝16，所以圆心(－2,3)到直线 l 的距
离 d＝|－6－12－5|
5 ＝23
5 ∈(4,5)，故满足题意的点 P 有 2 个．
答案：2
2．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线 C：x2
a2－y2
b2＝1(a>0，b>0)的右顶点为 A，以 A 为圆心，b
为半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M，N 两点．若∠MAN＝60°，则 C 的离
心率为________．
解析：双曲线的右顶点为 A(a,0)，一条渐近线的方程为 y＝b
ax，即 bx－ay＝0，则圆心 A
到此渐近线的距离 d＝|ba－a × 0|
b2＋a2 ＝ab
c .又因为∠MAN＝60°，圆的半径为 b，所以 b·sin 60°＝
ab
c ，即 3b
2 ＝ab
c ，所以 e＝ 2
3
＝2 3
3 .
答案：2 3
3
3．(2018·南京、盐城一模)在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 y＝k(x－3 3)上存在一点
P，圆 x2＋(y－1)2＝1 上存在一点 Q，满足 OP
―→
＝3 OQ
―→
，则实数 k 的最小值为________．
解析：设点 P(x，y)，由 OP
―→
＝3 OQ
―→
，可得 Q(x
3，y
3 ).又点 Q 在圆 x2＋(y－1)2＝1 上，
可得 (x
3 )2＋(y
3－1 )2＝1，即 x2＋(y－3)2＝9，所以点 P 既在圆 x2＋(y－3)2＝9 上，又在
直线 y＝k(x－3 3)上，即直线与圆有交点，所以圆心到直线距离 d＝
|－3－3 3k|
1＋k2 ≤3，解
得－ 3≤k≤0.
答案：－ 3
4．(2017·山东高考)在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线x2
a2－y2
b2＝1(a>0，b>0)的右支与焦
点为 F 的抛物线 x2＝2py(p>0)交于 A，B 两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方
程为________．
解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知
|AF|＝y1＋p
2，|BF|＝y2＋p
2，|OF|＝p
2，
由|AF|＋|BF|＝y1＋p
2＋y2＋p
2＝y1＋y2＋p＝4|OF|＝2p，得 y1＋y2＝p.
联立Error!消去 x，得 a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，
所以 y1＋y2＝2pb2
a2 ，所以2pb2
a2 ＝p，
即b2
a2＝1
2，故b
a＝ 2
2 ，
所以双曲线的渐近线方程为 y＝±
2
2 x.
答案：y＝±
2
2 x
5．设椭圆 C：x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)恒过定点 A(1,2)，则椭圆的中心到准线的距离的最小值
是________.
解析：由已知得1
a2＋ 4
b2＝1，因为准线方程为 x＝a2
c ，所以椭圆的中心到准线的距离为 d＝
a2
c ，即 d2＝a4
c2＝ a4
a2－b2＝ a4
a2－ 4a2
a2－1
＝a4－a2
a2－5 ＝
(a2－5)2＋9(a2－5)＋20
a2－5 ＝a2－5＋ 20
a2－5＋9≥2
20＋9＝4 5＋9＝( 5＋2)2，当且仅当 a2＝5＋2 5时取等号．所以 d≥ 5＋2，即 dmin＝
5＋2.
答案： 5＋2
6．已知圆 C：(x－2)2＋y2＝4，线段 EF 在直线 l：y＝x＋1 上运动，点 P 为线段 EF 上
任意一点，若圆 C 上存在两点 A，B，使得 PA
―→
· PB
―→
≤0，则线段 EF 长度的最大值是
________．
解析：过点 C 作 CH⊥l 于 H，因为 C 到 l 的距离 CH＝ 3
2
＝3 2
2 >2＝r，所以直线 l 与
圆 C 相离，故点 P 在圆 C 外．因为 PA
―→
· PB
―→
＝| PA
―→
|| PB
―→
|cos∠APB≤0，所以 cos∠
APB≤0，所以π
2≤∠APB<π，圆 C 上存在两点 A，B 使得∠APB∈[π
2，π )，由于点 P 在圆 C
外，故当 PA，PB 都与圆 C 相切时，∠APB 最大，此时若∠APB＝π
2，则 PC＝ 2r＝2 2，
所以 PH＝ PC2－CH2＝ (2 2)2－(3 2
2 )2＝ 14
2 ，由对称性可得 EFmax＝2PH＝ 14.
答案： 14
