【数学】2019届一轮复习苏教版（文科数学）集合的含义与表示学案

【数学】2019届一轮复习苏教版（文科数学）集合的含义与表示学案

第一章 集合与函数的概念 ‎ 第1课时 集合的含义与表示 ‎【双向目标】‎ 课程目标 A理解集合的概念及其三要素，理解用描述法表示集合的特点 B判断元素与集合间的“属于”与“不属于”关系，利用互异性判断元素的值 C. 能用集合语言表示一些实际生活中的集体性问题，会利用集合对实际生活的问题进行分类 a数学抽象：数学集合概念的理解、描述法表示集合的方法 b逻辑推理：集合的互异性的辨析与应用 c数学运算：集合相等时的参数计算，集合的描述法转化为列举法时的运算 d 直观想象：利用数轴表示数集、集合的图形表示 e 数学建模：用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类 ‎【课标知识】‎ 知识提炼 基础过关 知识1：元素与集合的概念 ‎1.元素：一般地，我们把研究的对象称为元素.‎ ‎2.集合：把一些元素组成的总体统叫作集合（简称为集）‎ ‎3.集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.集合中元素的特征：确定性、无序性、互异性。‎ 知识2：元素与集合的关系 集合通常用大写字母表示，如A,B,C,…,元素用小写字母表示，如a,b,c,…,元素和集合之间的专用符号是属于（∈）或不属于（）,‎ 知识3．常用数集及表示符号 自然数集（或非负整数集），记作：N；‎ ‎（注意：0是自然数）‎ 正整数集，记作：N+或N 。‎ 整数集，记作： ；‎ 理数集，记作：Q；‎ 称实数集，记作：R。‎ 知识4：集合常用的表示法有 ‎ (1) 列举法:在大括号内把集合的元素一一列举出来，特点是适用于元素的个数较少的集合；‎ ‎（2）描述法：用集合元素的属性表示集合，其一般形式是{x|x所具有的属性}；‎ ‎（3）图形法：用韦恩图或数轴表示集合， ‎ A 如 ‎1下列对象能组成集合的是(　　)‎ A．中央电视台著名节目主持人 B．我市跑得快的汽车 C．上海市所有的中学生 D．香港的高楼 ‎2. 若且 ‎,则 ‎ ‎3. 若一个集合中的三个元素a,b，c是△ABC的三边长， 则此三角形一定不是（ ） ‎ A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 ‎4.下列说法中:①集合N与集合N＋是同一个集合　②集合N中的元素都是集合 中的元素　③集合Q中的元素都是集合 中的元素　④集合Q中的元素都是集合R中的元素 其中正确的有________．‎ ‎5.已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值 ．‎ ‎6.已知x∈N，则方程x2＋x－2＝0的解集用列举法可表示为________．‎ ‎ 基础过关参考答案：‎ ‎1. 【解析】对A，“著名”无明确标准；对B，“快”的标准不确定；对D，“高”的标准不确定，因而A、B、D均不能组成集合．而对C，上海市的中学生是确定的，能组成集合． ‎ ‎【答案】C ‎2.【解析】 ：因为，所以，又，所以 ‎【答案】1‎ ‎3.【解析】：根据集合中元素的互异性可知，一定不是等腰三角形．‎ ‎【答案】D ‎【答案】{1}‎ ‎【能力素养】‎ 探究一 集合含义的考查 集合是由元素构成的，因而分析集合问题，常常从元素入手。 ‎ 例1．判断下列表述是否正确，并说明理由．‎ ‎（1）某个班级中年龄较小的男生组成一个集合；‎ ‎（2） ={全体整数}；‎ ‎（3）集合{1，2}与{2，1}相等；‎ ‎（4）集合{（1，2）}与{1，2}相等.‎ ‎【分析】根据集合的有关概念进行判断.学 . ‎ ‎【解析】（1）不正确，年龄较小的标准不明确，所以某个班级中年龄较小的男生不能组成一个集合.‎ ‎（2）不正确，“{}”就包含了所有的含义，应写成 ={整数}.‎ ‎（3）正确，根据集合中元素的无序性，可知集合{1，2}与{2，1}相等.‎ ‎（4）不正确，集合{（1，2）}表示直角坐标平面上的一个点（1，2），而{1，2}是1，2的集合，它们是不可能相等的.‎ ‎【点评】（1）确定性是判断一组对象能否组成集合的标准.‎ ‎（2）判断集合中的元素个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个，即集合中的元素满足互异性.‎ ‎（3）集合符号“{}”已包含“所有”的意思，因而大括号内的文字描述不应再用“全体”“所有”“全部”或“集”等词语.‎ ‎【变式训练】‎ ‎1.下列所给的对象能构成集合的是 ‎ ‎①所有的正三角形；‎ ‎②比较接近1的数的全体；‎ ‎③某校高一年级所有16岁以下的学生；‎ ‎④平面直角坐标系内到原点距离等于1的点的集合；‎ ‎⑤所有参加2012年伦敦奥运会的年轻运动员；‎ ‎⑥的近似值的全体.‎ ‎【答案】①③④‎ ‎2.下列各组对象能组成一个集合吗？请判断并说明理由.‎ ‎（1）所有很大的实数；‎ ‎（2）好心的人；‎ ‎（3）方程在实数范围内的解；‎ ‎（4）中国古代的四大发明；‎ ‎（5）小于18的既是奇数又是质数的正实数；‎ ‎（6）高一新生中数学成绩较好的同学；‎ ‎（7）立方接近零的正数；‎ ‎（8）2012年伦敦奥运会的所有比赛项目.‎ ‎【解析】一组对象能否组成集合主要看这组对象是否能确定，只要研究对象是确定的，就可以构成集合，否则就不能组成集合.‎ 探究二 元素与集合之间的关系的应用 元素与集合间的关系有两种关系即；属于“”和不属于“”，分析时需准确把握集合中所含的元素。‎ 例2：设集合．‎ ‎（1）试判断元素1和2与集合的关系；‎ ‎（2）用列举法表示集合 ‎【分析】（1）令，，判断是否成立，从而判断，是否成立．（2）令分别取自然数，代入逐一确定的值，得集合．‎ ‎【解析】（1）当时，，当时，，∴，．‎ ‎（2）令，1，2，3，4，代入检验，可得．‎ ‎【点评】（1）判断所给元素是否属于给定集合时，若在集合内，则用符号“”；若不在集合内，则用符号“”．（2）对于所给集合是常见的数集时，要注意符号的书写规范．‎ ‎【变式训练】‎ ‎1.设集合，．若,，试判断与A，B的关系．‎ ‎【解析】∵，∴．‎ ‎∵，∴．‎ ‎∴．‎ 又∵，∴．‎ 从而．‎ ‎【答案】，‎ ‎2.若，则实数的取值范围是 ．‎ ‎【解析】因为，所以2不满足不等式，即2满足不等式，所以，．所以实数的取值范围是．‎ ‎【答案】‎ 探究三 元素互异性的应用 集合中元素的互异性（即集合中的元素各不相同），它是分析集合问题的一个重要切入口。‎ 例3：为集合的四个元素，那么以为边长构成的四边形可能是（ ）‎ A．矩形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形 ‎【分析】欲判断四边形的形状，需判断四边形的四条边之间的关系．‎ ‎【解析】由于集合中的元素具有“互异性”，故四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等． ‎ ‎【答案】D ‎【点评】解答本题应抓住集合的元素具有“互异性”这一特征，由互异转化为四边形的四条边互不相等．‎ ‎【变式训练】‎ ‎1．给出下列说法，其中正确的个数为（ ）‎ ‎（1）由1，，，，这些数组成的集合有5个元素；‎ ‎（2）方程的解组成的集合有3个元素；‎ ‎（3）由一条边为2，一个内角为的等腰三角形组成的集合中含有4个元素；‎ ‎（4）由，，组成的三元素集合中含有，则的值是0或．‎ A．1 B． 2 C．3 D． 4‎ 合中有4个元素．‎ ‎（4）不正确．当时，三个数分别为，0，，组成的集合中只有两个元素，不合题意；当时，三个数分别为，，，符合题意，即只能取．学 ‎ ‎【答案】A ‎2．含有两个元素的集合A可以表示为，求实数的取值范围．‎ ‎【解析】根据题意可知，由集合中元素的互异性，可得，所以．即实数 的取值范围为．‎ ‎【答案】‎ 探究四 集合的表示方法 集合作为一种数学语言，需要对它的三种表示方法充分熟悉，特别是描述法应能准确解读。‎ 例4：用适当的方法表示下列集合：‎ ‎（1）方程组的解集；‎ ‎（2）1000以内被3除余2的正整数组成的集合；‎ ‎（3）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；‎ ‎（4）所有的正方形组成的集合．‎ ‎【分析】‎ 根据集合的特点确定表示方法 ‎（1）宜用列举法 ‎（2）（3）（4）宜用描述法 ‎【点评】所谓适当的表示方法，就是较简单、较明了的表示方法，用描述法表示集合时，若需要多层次描述属性，可选用“且”与“或”等词连接；若描述部分出现代表元素以外的字母，要说明新字母的含义或指出其取值范围．‎ ‎【变式训练】‎ ‎1．判断：（正确的打“√”，错误的打“×”）‎ ‎（1）任何一个集合都可以用列举法表示．（ ）‎ ‎（2）由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}．（ ）‎ ‎（3）{0,1}和{(0,1)}是相同的集合．（ ）‎ ‎【答案】× × ×‎ ‎2．用另一种方法表示下列集合：‎ ‎（1）{绝对值不大于2的整数}；‎ ‎（2）{能被3整除且小于10的正数}；‎ ‎（3）；‎ ‎（4）；‎ ‎（5）；‎ ‎（6）{自然数中六个最小数的平方}；‎ ‎（7）；‎ ‎（8）．‎ ‎（6）；‎ ‎（7）；‎ ‎（8）．集合为．‎ ‎ 【课时作业】‎ 课标 素养 数学 抽象 逻辑 推理 数学 运算 直观 想象 数学 建模 数据 分析 A ‎1‎ ‎1,5,7,‎ ‎10,13‎ ‎5‎ ‎1‎ B ‎2,3,6，8‎ ‎9,11,14,15‎ C ‎4‎ ‎12‎ 一、选择题 ‎1.下列对象能构成集合的是（ ）‎ ‎①NBA联盟中所有优秀的篮球运动员 ‎②所有的钝角三角形 ‎③2005年诺贝尔经济学奖得主 ‎④大于等于0的整数 ‎⑤北京师范大学的所有聪明学生 A．①②④ B．②⑤ C．③④⑤ D．②③④ ‎ ‎2.已知集合A中只有一个元素1，若|b|∈A，则b等于（ ）‎ A．1 B．－1 C．±1 D．0‎ ‎【解析】由题意可知|b|＝1，∴b＝±1.‎ ‎【答案】C ‎3.给出下列5个关系：∈R，∈Q，0∈{0}，0∈N，π∈Q，其中正确命题的个数为（ ）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【解析】∈Q，π∈Q不正确．‎ ‎【答案】B ‎4.集合{x∈ |－1＜x＜5}的另一种表示形式是（ ）‎ A．{0，1，2，3，4}　　　　　　　 B．{1，2，3，4}‎ C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5}‎ ‎【解析】集合{x∈ |－1＜x＜5}＝{0，1，2，3，4}．‎ ‎【答案】A ‎5.直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合为（ ）‎ A．{0,1} B．{（0,1）}‎ C．{，0} D．{（，0）} ‎ ‎【解析】把x＝0代入y＝2x＋1得y＝1，∴交点为（0,1），选B.‎ ‎【答案】B ‎6.已知集合M中的元素a、b、c是△ABC的三边，则△ABC一定不是（ ）‎ A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 ‎【解析】因为集合中元素具有互异性，所以a，b，c互不相等，因此选D.‎ ‎【答案】D ‎7.集合M＝{(x，y)|xy>0，x∈R，y∈R}是指（ ）‎ A．第一象限内的点集 B．第三象限内的点集 C．第一、三象限内的点集 D．第二、四象限内的点集 ‎【解析】∵xy>0，∴x、y同号，∴M表示第一、三象限内的点集，选C.‎ ‎【答案】C ‎8.集合A＝{y|y＝x2＋1}，集合B＝{(x，y)|y＝x2＋1}(A，B中x∈R，y∈R)．选项中元素与集合的关系都正确的是（ ）‎ A．2∈A，且2∈B B．(1,2)∈A，且(1,2)∈B C．2∈A，且(3,10)∈B D．(3,10)∈A，且2∈B ‎ ‎【答案】C ‎9.已知集合，则集合中元素的个数是（ ）‎ A．1 B．3 C．5 D．9‎ ‎【解析】用列举法把集合中的元素一一列举出来．‎ 根据集合中元素的互异性知，中元素有0，-1，-2，1，2，共5个.‎ ‎【答案】C 二、填空题 ‎10.已知1∈{m，m2},则实数m= .‎ ‎【解析】当m=1时，m2=1，与元素的互异性矛盾；当m2=1时，m=-1或m=1（舍）.‎ ‎【答案】-1‎ ‎11.设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2＋ax＋3＝0}中所有元素之和为 ．‎ ‎【答案】4‎ ‎12.集合可用列举法表示为 ．‎ ‎【解析】首先依据题意确定的值，则对分类讨论．‎ 由，得，‎ 则有，，，，．‎ 故用列举法表示为．‎ ‎【答案】‎ ‎13.若集合A中有三个元素，x，x＋1,1，集合B中也有三个元素x，x＋x2，x2，且A＝B，则实数x的值为________．‎ ‎【解析】∵A＝B，‎ ‎∴或 解得x＝±1.经检验，x＝1不适合集合元素的互异性，而x＝－1适合．‎ ‎∴x＝－1.‎ ‎【答案】－1‎ ‎14.若集合A中含有三个元素a－3,2a－1，a2－4，且－3∈A，则实数a的值为________．‎ ‎【解析】(1)若a－3＝－3，则a＝0，此时A＝{－3，－1，－4}，满足题意．‎ ‎(2)若2a－1＝－3，则a＝－1，此时A＝{－4，－3，－3}，不满足元素的互异性．‎ ‎(3)若a2－4＝－3，则a＝±1.当a＝1时，A＝{－2,1，－3}，满足题意；当a＝－1时，‎ 由(2)知不合题意．‎ 综上可知：a＝0或a＝1.‎ ‎【答案】0或1‎ 三、解答题 ‎15.已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋1＝0，a∈R}，‎ (1)若1∈A，求a的值；‎ (2)若A为单元素集合，求a的值；‎ (3)若A为双元素集合，求a的范围．‎