2020年高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 4

2020年高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 4

‎4.2 用数学归纳法证明不等式 A级　基础巩固 一、选择题 ‎1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N)，第一步应验证(　　)‎ A．n＝1　　　　　　 B．n＝2‎ C．n＝3 D．n＝4‎ 解析：由题意n≥3知应验证n＝3.‎ 答案：C ‎2．用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋＜n，(n∈N＋，n＞1)”时，由n＝k(k＞1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是(　　)‎ A．2k－1 B．2k－1‎ C．2k D．2k＋1‎ 解析：增加的项数为(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k＋1－2k＝2k.故选C.‎ 答案：C ‎3．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3，f(32)＞，观察上述结果，可推测出的一般结论为(　　)‎ A．f(2n)＞(n＞1，n∈N*)‎ B．f(n2)＞(n＞1，n∈N*)‎ C．f(2n)＞(n＞1，n∈N*)‎ D．以上都不对 解析：f(2)＝，f(4)＝f(22)＞，‎ f(8)＝f(23)＞，f(16)＝f(24)＞，‎ f(32)＝f(25)＞，…，‎ 依此类推可知f(2n)＞(n＞1，n∈N*)．‎ 5‎ 答案：C ‎4．设f(x)是定义在正整数集上的函数，有f(k)满足：当“f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么下列命题总成立的是(　　)‎ A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立 B．若f(5)≥25成立，则当k＜5时，均有f(k)≥k2成立 C．若f(7)＜49成立，则当k≥8时，均有f(k)＜k2成立 D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立 解析：由“f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，因此，对于A，k＝1，2时不一定成立，对于B，C，显然错误．对于D，因为f(4)＝25＞42，因此对于任意的k≥4，均有f(k)≥k2成立．‎ 答案：D ‎5．若不等式＋＋…＋＞对大于1的一切自然数n都成立，则自然数m的最大值为(　　)‎ A．12 B．13‎ C．14 D．不存在 解析：令f(n)＝＋＋…＋，取n＝2，3，4，5等值发现f(n)是单调递减的，所以[f(n)]max＞，‎ 所以由f(2)＞，求得m的值．故应选B.‎ 答案：B 二、填空题 ‎6．用数学归纳法证明2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N＋)时，第一步的验证为________．‎ 解析：当n＝1时，21＋1≥12＋1＋2，即4≥4成立．‎ 答案：21＋1≥12＋1＋2‎ ‎7．在△ABC中，不等式＋＋≥成立；在四边形ABCD中，不等式＋＋＋≥成立；在五边形ABCDE中，不等式＋＋＋＋≥成立．猜想在n边形A1A2…An中，类似成立的不等式为________．‎ 解析：由题中已知不等式可猜想：‎ ＋＋…＋≥(n≥3且n∈N*)．‎ 答案：＋＋…＋≥(n≥3且n∈N*)‎ 5‎ ‎8．在应用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋＜(n∈N*)”时，从n＝k到n＝k＋1，不等式左边增加的项是________．‎ 解析：解决此题的关键是看清不等式的左边每一项的分母的变化，一看“头”，从12开始；二看“尾”，当n＝k时，尾项的分母为(k＋1)2，n＝k＋1时尾项的分母为(k＋2)2；三看中间，如果忽略平方，1，2，3，…，(n＋1)这些数都是连续相差1时．因此，从n＝k到n＝k＋1只增加了一项，即(k∈N＋)．‎ 答案： 三、解答题 ‎9．试证明：1＋＋＋…＋＜2(n∈N＋)．‎ 证明：(1)当n＝1时，不等式成立．‎ ‎(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，不等式成立，即 ‎1＋＋＋…＋＜2.‎ 那么n＝k＋1时，‎ ＋ ‎＜2＋ ‎＝ ‎＜ ‎＝2.‎ 这就是说，n＝k＋1时，不等式也成立．‎ 根据(1)(2)可知不等式对n∈N＋成立．‎ ‎10．已知函数f(x)＝x3－x，数列{an}满足条件：a1≥1，且an＋1≥f′(an＋1)，证明：an≥2n－1(n∈N*)．‎ 证明：由f(x)＝x3－x，‎ 得f′(x)＝x2－1.‎ 因此an＋1≥f′(an＋1)＝(an＋1)2－1＝an(an＋2)，‎ ‎(1)当n＝1时，a1≥1＝21－1，不等式成立．‎ ‎(2)假设当n＝k时，不等式成立，即ak≥2k－1，‎ 5‎ 当n＝k＋1时，‎ ak＋1≥ak(ak＋2)≥(2k－1)(2k－1＋2)＝22k－1.‎ 又k≥1，所以22k≥2k＋1，所以n＝k＋1时，ak＋1≥2k＋1－1，不等式成立．‎ 根据(1)和(2)知，对任意n∈N＋，an≥2n－1成立．‎ B级　能力提升 ‎1．对于正整数n，下列不等式不正确的是(　　)‎ A．3n≥1＋2n B．0.9n≥1－0.1n C．0.9n≤1－0.1n D．0.1n≤1－0.9n 解析：排除法，取n＝2，只有C不成立．‎ 答案：C ‎2．利用数学归纳法证明＜时，n的最小取值n0应为________．‎ 解析：n0＝1时不成立，n0＝2时，＜，再用数学归纳法证明，故n0＝2.‎ 答案：2‎ ‎3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝，an＋2SnSn－1＝0(n≥2)．‎ ‎(1)判断是否为等差数列，并证明你的结论；‎ ‎(2)证明：S＋S＋…＋S≤－.‎ ‎(1)解：S1＝a1＝，所以＝2.‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，即Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，‎ 所以－＝2.‎ 故是以2为首项、2为公差的等差数列．‎ ‎(2)证明：①当n＝1时，S＝＝－，不等式成立．‎ ‎②假设n＝k(k≥1，且k∈N＋)时，不等式成立，即S＋S＋…＋S≤－成立，‎ 则当n＝k＋1时，S＋S＋…＋S＋S≤－＋＝－＝－·＜－·＝－.‎ 即当n＝k＋1时，不等式成立．‎ 5‎ 根据①②可知对任意n∈N＋不等式成立．‎ 5‎