2020年高中数学第五章数系的扩充与复数5

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2020年高中数学第五章数系的扩充与复数5

‎5.1 解方程与数系的扩充 ‎5.2 复数的概念 一、基础达标 ‎1.如果z=m(m+1)+(m2-1)i为纯虚数,则实数m的值为 ‎(  )‎ A.1 B.‎0 ‎‎ C.-1 D.-1或1‎ 答案 B 解析 由题意知,∴m=0.‎ ‎2.(2013·青岛二中期中)设a,b∈R.“a=‎0”‎是“复数a+bi是纯虚数”的 ‎(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 因为a,b∈R.“a=0”时“复数a+bi不一定是纯虚数”.“复数 a+bi是纯虚数”则“a=‎0”‎一定成立.所以a,b∈R.“a=‎0”‎是“复数 a+bi是纯虚数”的必要而不充分条件.‎ ‎3.以-+2i的虚部为实部,以i+2i2的实部为虚部的新复数是 ‎(  )‎ A.2-2i B.-+i C.2+i D.+i 答案 A 解析 设所求新复数z=a+bi(a,b∈R),由题意知:复数-+2i的虚部为2;复数i+2i2=i+2×(-1)=-2+i的实部为-2,则所求的 z=2-2i.故选A.‎ ‎4.若(x+y)i=x-1(x,y∈R),则2x+y的值为 ‎(  )‎ A. B.‎2 ‎‎ C.0 D.1‎ 答案 D 解析 由复数相等的充要条件知,‎ 4‎ 解得 ‎∴x+y=0.∴2x+y=20=1.‎ ‎5.z1=-3-4i,z2=(n2-‎3m-1)+(n2-m-6)i,且z1=z2,则实数m=________,n=________.‎ 答案 2 ±2‎ 解析 由z1=z2得,‎ 解得.‎ ‎6.(2013·上海)设m∈R,m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则m=________.‎ 答案 -2‎ 解析 ⇒m=-2.‎ ‎7.已知(2x-y+1)+(y-2)i=0,求实数x,y的值.‎ 解 ∵(2x-y+1)+(y-2)i=0,‎ ‎∴解得 所以实数x,y的值分别为,2.‎ 二、能力提升 ‎8.若(x3-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x的值是 ‎(  )‎ A.1 B.-1‎ C.±1 D.-1或-2‎ 答案 A 解析 由题意,得解得x=1.‎ ‎9.若sin 2θ-1+i(cos θ+1)是纯虚数,则θ的值为 ‎(  )‎ A.2kπ-(k∈Z) B.2kπ+(k∈Z)‎ C.2kπ±(k∈Z) D.π+(k∈Z)‎ 答案 B 解析 由题意,得,解得(k∈Z),‎ ‎∴θ=2kπ+,k∈Z.‎ ‎10.在给出下列几个命题中,正确命题的个数为________.‎ ‎①若x是实数,则x可能不是复数;‎ ‎②若z是虚数,则z不是实数;‎ ‎③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零;‎ 4‎ ‎④-1没有平方根.‎ 答案 1‎ 解析 因实数是复数,故①错;②正确;因复数为纯虚数要求实部为零,虚部不为零,故③错;因-1的平方根为±i,故④错.故答案为1.‎ ‎11.实数m分别为何值时,复数z=+(m2-‎3m-18)i是(1)实数;‎ ‎(2)虚数;(3)纯虚数.‎ 解 (1)要使所给复数为实数,必使复数的虚部为0.‎ 故若使z为实数,则,‎ 解得m=6.所以当m=6时,z为实数.‎ ‎(2)要使所给复数为虚数,必使复数的虚部不为0.‎ 故若使z为虚数,则m2-‎3m-18≠0,且m+3≠0,‎ 所以当m≠6且m≠-3时,z为虚数.‎ ‎(3)要使所给复数为纯虚数,必使复数的实部为0,虚部不为0.‎ 故若使z为纯虚数,则,‎ 解得m=-或m=1.‎ 所以当m=-或m=1时,z为纯虚数.‎ ‎12.设z1=m2+1+(m2+m-2)i,z2=‎4m+2+(m2-‎5m+4)i,若z1-1,如何求自然数m,n的值?‎ 解 因为 (m+n)-(m2-‎3m)i>-1,‎ 所以 (m+n)-(m2-‎3m)i是实数,从而有 由①得m=0或m=3,‎ 当m=0时,代入②得n<2,又m+n>0,所以n=1;‎ 4‎ 当m=3时,代入②得n<-1,与n是自然数矛盾,‎ 综上可得m=0,n=1.‎ 4‎
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