2020学年高二数学9月月考试题 文（含解析）

2020学年高二数学9月月考试题 文（含解析）

‎2019学年高二9月月考 数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知数列是公差为1的等差数列，为的前项和，若，是（ ）‎ A. B. C. 10 D. 12‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由得，解得.‎ 考点：等差数列.‎ ‎2. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第九日所织尺数为（ ）‎ A. 8 B. 9 C. 10 D. 11‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：该数列为等差数列，且，即，解得.‎ 考点：等差数列，数学文化.‎ ‎3. 在等差数列中，若，则的值为（ ）‎ A. 20 B. 22 C. 24 D. 28‎ ‎【答案】C ‎.....................‎ ‎4. 在中，内角所对的边分别为，若的面积为，且，则等于（ ）‎ - 13 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：因为，所以，代入上式可得，即，因为，所以 ‎ ，所以，所以，故选C.‎ 考点：三角的面积公式；余弦定理；同角三角函数的基本关系式.‎ ‎5. 已知在中.若的解有且仅有一个，则满足的条件是（ ）‎ A. B. C. D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】已知在中，，要使的解有且仅有一个，即三角形形状唯一，有两种情况：①为直角三角形；②为钝角三角形，若为直角三角形，，可得，此时；若为钝角三角形，可得，综上，或，故选D.‎ ‎6. 在中，内角所对的边分别为，且满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由题意设，，则，，，∴由余弦定理可得，∴由正弦定理可得 - 13 -‎ ‎，故选：A．‎ 考点：（1）正弦定理；（2）余弦定理．‎ ‎7. 已知等差数列的前项和为，若三点共线，为坐标原点，且（直线不过点），则等于（ ）‎ A. 20 B. 10 C. 40 D. 15‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵M、N、P三点共线，O为坐标原点，且（直线MP不过点O），‎ ‎∴a6+a15=1，∴a1+a20=1，‎ ‎∴.‎ 本题选择B选项.‎ ‎8. 已知等差数列的前项和为，若的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：‎ 本题是关于等差数列前项和公式应用的题， 关键是掌握等差数列的性质。首先设等差数列的公差为,根据等差数列的通项公式得出,则是常数。接下来根据等差数列的前项和公式分别表示出各选项中的结果，结合是常数惊醒判断即可。‎ 试题解析：‎ 设等差数列的公差为,则 ‎,‎ 的值是常数，‎ 是常数。‎ - 13 -‎ 由得不是常数；‎ ‎,则不是常数：‎ ‎,则是常数：‎ ‎,不是常数 故选C ‎9. 已知数列满足，则使成立的最大正整数的值为（ ）‎ A. 198 B. 199 C. 200 D. 201‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，所以，即该数列是周期为的周期数列，且每个周期内的三个数的和定值为，所以当时，，当时，，当时，，当时，，应选答案A。‎ 点睛：解答本题的方法是借助题设中提供的四个选择支，运用筛选验证的方法进行分析验证，最终选出适合问题题设条件的答案。‎ ‎10. 在中，，若，则面积的最大值是（ ）‎ A. B. 4 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵，由，，得，∴‎ - 13 -‎ ‎．又 ，‎ ‎∵，∴，∴当时，取得最大值，∴面积的最大值为，故选D．‎ ‎11. 已知数列满足，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】数列满足，，，‎ ‎，由此猜想，故选A.‎ ‎【方法点睛】本题通过观察数列的前几项，归纳出数列通项来考察归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.‎ ‎12. 在中，内角所对的边分别为，已知，是线段上一点，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B - 13 -‎ ‎【解析】‎ 由 ，可得解得。‎ 又因为，可得，，得 填B.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 在中边的对角是，若已知则角．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：先根据正弦定理找到角与边的关系，即用角的正弦表示出边，然后再用余弦定理可求出角的余弦值。‎ 试题解析：‎ 根据正弦定理设,,‎ ‎,‎ 由余弦定理 - 13 -‎ 故答案角 点睛：在解三角形的题目中运用正弦定理、余弦定理边角互化，将角化边，再利用余弦定理求出角。‎ ‎14. 设是等差数列，首项，则使前项和成立的最大整数是．‎ ‎【答案】4032‎ ‎【解析】试题分析：‎ 是等差数列，首项,,可得：公差,再利用等差数列的前项和其性质即可得出。‎ 试题解析：‎ 是等差数列，首项,,,‎ ‎, 公差 则使前项和成立的最大整数是4032‎ 点睛：根据等差数列的性质求得，转化为和的形式求出最大整数。‎ ‎15. 在中，,是边上的一点，，的面积为 1，则边的长为．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：因为，，在中，由余弦定理可得，‎ ‎，在中，‎ ‎，由正弦定理可得。‎ 考点：正余弦定理 ‎16. 已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，，为整数的正整数的取值集合为．‎ - 13 -‎ ‎【答案】9； ‎ ‎【解析】试题分析：‎ 由等差数列的性质和求和公式可得，可得的取值。‎ 试题解析：‎ 即或或或n,从而n即集合为 故为整数的正整数的取值集合为 点睛：等差数列中可以推导出，通项与和之间的关系，代入即可。‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 等差数列的前项和为，若 ‎（1）求数列的通项公式和前项和；‎ ‎（2）求数列的前24项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）设等差数列的公差为，由，可求出 ，即可求出等差数列的通项公式和前项和；（2）将代人到中即可求出前24项和.‎ 试题解析：‎ ‎（1） 由题得 ‎ ‎ ∴， ‎ ‎（2）当时，，当时，‎ - 13 -‎ ‎∴‎ 方法二：‎ ‎∵,,,‎ ‎∴‎ ‎18. 设函数，正项数列满足，且 .‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）对，求.‎ ‎【答案】(1) ;(2).‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据已知条件可以推知数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以由等差数列的通项公式可得结果；（2）由（1）可知，利用 “裂项相消法”求和即可得结果.‎ 试题解析：（1）由，所以，，且 ∴ 数列是以1为首项，以为公差的等差数列 ‎ ‎∴ ‎ ‎（2）由（1）可知 ‎ ‎ ]‎ ‎ ‎ ‎【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：①；②‎ - 13 -‎ ‎；③；‎ ‎④ ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.‎ ‎19. 已知分别是角的对边，满足 ‎（1）求的值；‎ ‎（2）的外接圆为圆(在内部)，，判断的形状，并说明理由.‎ ‎【答案】(1) ;(2) 为等边三角形.‎ ‎【解析】试题分析：（I）根据正弦定理把化成边的关系可得，约去，即可求得；（II）设中点为，故,圆的半径为,由正弦定理可知,所以,再根据余弦定理求得，据此判断出三角形性质.‎ 试题解析：（I）由正弦定理可知,, 则 ‎,‎ ‎,‎ 可得.‎ ‎（II）记中点为，‎ 故,圆的半径为,‎ 由正弦公式可知,故,‎ 由余弦定理可知,, 由上可得,又,则,故 为等边三角形.‎ 考点：正弦定理、余弦定理解三角形.‎ ‎20. 如图，在四边形中，.‎ - 13 -‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）内根据余弦定理，求边长,和,再根据正弦定理求;（Ⅱ）根据面积公式需求,而,最后再根据三角形的面积公式.‎ 试题解析：（1）由，可设，．又∵，，‎ ‎∴由余弦定理，得，‎ 解得，∴，，…4分 由正弦定理，得．‎ ‎（2）由（1）得…7分 因为所以 又因为,所以 考点：1.正余弦定理；2.解三角形.‎ ‎21. 已知数列中，，数列满足.‎ ‎（1）求证:数列是等差数列，并写出的通项公式；‎ - 13 -‎ ‎（2）求数列的通项公式及数列中的最大项与最小项.‎ ‎【答案】(1)证明见解析; (2) ；.‎ ‎【解析】试题分析：(Ⅰ)首先通过已知条件化简变形，凑出这种形式，凑出常数，‎ 就可以证明数列是等差数列，并利用等差数列的通项公式求出通项公式；（Ⅱ）因为与有关，所以利用的通项公式求出数列的通项公式，把通项公式看成函数，利用函数图像求最大值和最小值.‎ 试题解析：（Ⅰ）∵，∴，∴，‎ ‎∴，∴数列是以1为公差的等差数列. 4分 ‎∵，∴，又∵，，‎ ‎∴是以为首项，为公差的等差中项.‎ ‎∴，. 7分 ‎（Ⅱ）∵，，.‎ ‎∴作函数的图像如图所示：‎ ‎∴由图知，在数列中，最大项为，最小项为. 13分 另解：，当时，数列是递减数列，且.‎ 列举；；.所以在数列中，最大项为，最小项为.‎ 考点：1.等差数列的证明方法；2.利用函数图像求数列的最值.‎ - 13 -‎ ‎22. 如图所示，扇形，圆心角等于，半径为2，在弧上有一动点，过引平行于的直线和交于点，设，求面积的最大值及此时的值.‎ ‎【答案】 时， 取得最大值为.‎ ‎【解析】试题分析：根据题设条件，得，在中，由正弦定理得，得出，根据三角形的面积公式，即可求解面积的最值．‎ 试题解析：∵，∴，，‎ 在中，由正弦定理得，即，∴，‎ 又∵，∴，‎ ‎∴的面积为 ‎ ‎ ，‎ ‎∴当时，的面积取得最大值．‎ 考点：正弦定理；三角形的面积公式以及三角函数的性质．‎ - 13 -‎