2013-2017高考数学分类汇编-第10章 圆锥曲线-5 直线与圆锥曲线(理科)

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2013-2017高考数学分类汇编-第10章 圆锥曲线-5 直线与圆锥曲线(理科)

第5节 直线与圆锥曲线 题型124 直线与圆锥曲线的位置关系 ‎1.(2013重庆理21)‎ 如图,椭圆的中心为原点,长轴在轴上,离心率,过左焦点作轴的垂线交椭圆于两点,.‎ ‎(1)求该椭圆的标准方程;‎ ‎(2)取垂直于轴的直线与椭圆相交于不同的两点,过作圆心为的圆,使椭圆上的其余点均在圆外.若,求圆的标准方程.‎ ‎2.(2013湖南理21)‎ 过抛物线的焦点作斜率分别为的两条不同的直线,且,相交于点,相交于点.以为直径的圆,圆(为圆心)的公共弦所在的直线记为.‎ ‎(1)若,证明;;‎ ‎(2)若点到直线的距离的最小值为,求抛物线的方程.‎ ‎3.(2013江西理20)‎ ‎ 如图,椭圆经过点,离心率,直线的方程为.‎ ‎(1) 求椭圆的方程;‎ ‎ (2) 是经过右焦点的任一弦(不经过点),设直线与直线相交于点,记 的斜率分别为.问:是否存在常数,使得?若存在,求的值;若不存在,说明理由.‎ ‎4.(2014 辽宁理 10)已知点在抛物线:的准线上,过点的直线与在第一象限相切于点,记的焦点为,则直线的斜率为( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎5.(2014 福建理 19)(本小题满分13分)‎ ‎ 已知双曲线的两条渐近线分别为,.‎ ‎ (1)求双曲线的离心率;‎ ‎ (2)如图所示,为坐标原点,动直线分别交直线于两点(分别在第一,四象限),且的面积恒为,试探究:是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线?若存在,求出双曲线的方程;若不存在,说明理由.‎ ‎6.(2014 天津理 18)(本小题满分13分)‎ 设椭圆的左、右焦点为,右顶点为,上顶点为.已知.‎ ‎(1)求椭圆的离心率;‎ ‎(2)设为椭圆上异于其顶点的一点,以线段为直径的圆经过点,经过原点的直线与该圆相切. 求直线的斜率.‎ ‎7.(2014 湖北理 21)(满分14分)在平面直角坐标系中,点到点的距离比它到轴的距离多,记点的轨迹为.‎ ‎(1)求轨迹为的方程;‎ ‎(2)设斜率为的直线过定点.求直线与轨迹恰好有一个公共点,两个公共点,三个公共点时的相应取值范围.‎ ‎8.(2015北京理19)已知椭圆的离心率为,点和 点都在椭圆上,直线交轴于点.‎ ‎(1)求椭圆的方程,并求点的坐标(用,表);‎ ‎(2)设为原点,点与点关于轴对称,直线交轴于点.问:轴上是否存 在点,使得?若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由.‎ ‎8. 解析 (1)因为,所以,‎ 又点在椭圆:上,则,,‎ 因此椭圆的方程为,直线的方程:,‎ 令,可得,所以点的坐标是.‎ ‎(2)点与关于轴对称,所以,直线的方程:,‎ 令,所以可得,则,因为,‎ 所以,所以,即,‎ 因为,又点在椭圆上,‎ 所以,即,所以,得.‎ ‎9.(2015福建理18)已知椭圆过点,且离心率 ‎.‎ ‎(1)求椭圆的方程; ‎ ‎(2)设直线交椭圆于,两点,判断点与以线段为 直径的圆的位置关系,并说明理由.‎ ‎9.分析 本小题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能 力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.‎ 解析 解法一:(1)由已知得,解得,‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎(2)设点,,的中点为.由,‎ 得,所以,,‎ 从而,‎ 所以,‎ ‎,‎ 故 ‎,所以.‎ 故点在以为直径的圆外.‎ 解法二:(1)同解法一.‎ ‎(2)设点,,则,.‎ 由,得,‎ 所以,,‎ 从而 ‎,‎ 所以.又,不共线,所以为锐角.‎ 故点在以为直径的圆外.‎ ‎10.(2015全国I理20)在直角坐标系中,曲线与直线 ‎ 交于,两点.‎ ‎(1)当时,分别求在点和处的切线方程;‎ ‎(2)轴上是否存在点,使得当变动时,总有?说明理由.‎ ‎10.解析 (1)由题意知,时,联立,解得,.‎ 又,在点处,切线方程为,即,‎ 在点处,,切线方程为,即.‎ 故所求切线方程为和.‎ ‎(2)存在符合题意的点,证明如下:‎ 设点为符合题意的点,,,直线,的斜率分别为,.联立方程,得,故,,‎ 从而.‎ 当时,有,则直线与直线的倾斜角互补,‎ 故,所以点符合题意.‎ ‎11.(2015天津理19)已知椭圆的左焦点为,离心率为,‎ 点在椭圆上且位于第一象限,直线被圆截得的线段的长为,‎ ‎.‎ ‎(1)求直线的斜率;‎ ‎(2)求椭圆的方程;‎ ‎(3)设动点在椭圆上,若直线的斜率大于,求直线(为原点)的斜率的 取值范围.‎ ‎11.分析 (1)由椭圆知识先求出的关系,设直线的方程为,求出圆 心到直线的距离,由勾股定理可求斜率的值; (2)由(1)设椭圆方程为,‎ 直线与椭圆方程联立,求出点的坐标,由可求出,从而可求椭圆方程;‎ ‎(3)设出直线:,与椭圆方程联立,求得,求出的 范围,即可求直线的斜率的取值范围.‎ 解析 (1)由已知有,又由,可得,,‎ 设直线的斜率为,则直线的方程为,‎ 由已知有,解得.‎ ‎(2)由(1)得椭圆方程为,直线的方程为,两个方程联立,‎ 消去,整理得,解得或,因为点在第一像限,‎ 可得的坐标为,由,解得,所以椭圆方程为.‎ ‎(3)设点的坐标为,直线的斜率为,得,即,‎ 与椭圆方程联立,消去,‎ 整理得,又由已知,得,‎ 解得或,‎ 设直线的斜率为,得,即,与椭圆方程联立,‎ 整理可得.‎ ①当时,有,因此,于是,‎ 得;‎ ②当时,有,因此,于是,‎ 得 综上所述,直线的斜率的取值范围是.‎ ‎12.(2016四川理20)已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的个顶点,直线与椭圆有且只有一个公共点.‎ ‎(1)求椭圆的方程及点的坐标;‎ ‎(2)设是坐标原点,直线平行于,与椭圆交于不同的两点、,且与直线交于点.证明:存在常数,使得,并求的值.‎ ‎12.解析 (1)由已知,,则椭圆的方程为.‎ 有方程组 得.①‎ 方程①的判别式为,由,得,此方程①的解为,‎ 所以椭圆的方程为.点坐标为.‎ ‎(2)由已知可设直线的方程为,‎ 有方程组,可得.‎ 所以点坐标为,.设点,的坐标分别为,‎ ‎.‎ 由方程组可得 ②‎ 方程②的判别式为,由,解得.‎ 由②得,.‎ 所以 ,同理,‎ 所以 ‎.‎ 故存在常数,使得.‎ ‎13.(2017江苏17)如图所示,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为,离心率为,两准线之间的距离为.点在椭圆上,且位于第一象限,过点作直线的垂线,过点作直线的垂线.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)若直线的交点在椭圆上,求点的坐标.‎ ‎13.解析 (1)设椭圆的半焦距为,由题意,解得,因此 ‎,所以椭圆的标准方程为.‎ ‎(2)由(1)知,.设,因为点为第一象限的点,故.‎ 当时,与相交于,与题设不符.‎ 当时,直线的斜率为,直线的斜率为.‎ 因为,,所以直线的斜率为,直线的斜率为,‎ 从而直线的方程为 ① ‎ 直线的方程为 ②‎ 联立①②,解得,所以.‎ 因为点在椭圆上,由对称性得,即或.‎ 又点在椭圆上,故.‎ 由,解得;由,无解.‎ 因此点的坐标为.‎ ‎14.(2017北京理18)已知抛物线过点.过点作直线与抛物线交于不同的两点,,过点作轴的垂线分别与直线,交于点,,其中为原点.‎ ‎(1)求抛物线的方程,并求其焦点坐标和准线方程;‎ ‎(2)求证:为线段的中点.‎ ‎14.解析 (1)由抛物线过点,得.所以抛物线的方程为,抛物线的焦点坐标为,准线方程为.‎ ‎(2)解法一:由题意,设直线的方程为,与抛物线的交点为,.由,得.则,.‎ 因为点的坐标为,所以直线的方程为,点的坐标为.‎ 因为直线的方程为,所以点的坐标为.‎ 因为 ‎,所以.‎ 故为线段的中点.‎ 解法二:要证为的中点,且相同,只需证,等式两边同时除以,则有.因为 ‎.又,所以等式成立,即为的中点.‎ 题型125 弦长与面积问题 ‎1.(2013浙江理21)如图,点是椭圆的一个顶点,的长轴是圆的直径.是过点且互相垂直的两条直线,其中交圆于两点,交椭圆于另一点 ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)求面积取最大值时直线的方程.‎ ‎ ‎ ‎2.(2013全国新课标卷理20)‎ 平面直角坐标系中,过椭圆右焦点的直线交于两点,为的中点,且的斜率为.‎ ‎(1)求的方程;‎ ‎(2)为上的两点,若四边形的对角线,求四边形的最大值.‎ ‎3(2013广东理20)‎ 已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线:的距离为.设 为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.‎ ‎(1) 求抛物线的方程;‎ ‎(2) 当点为直线上的定点时,求直线的方程;‎ ‎(3) 当点在直线上移动时,求的最小值.‎ ‎4.(2013四川理20) ‎ 已知椭圆:的两个焦点分别为,且椭圆经过点.‎ ‎(1)求椭圆的离心率;‎ ‎(2)设过点的直线与椭圆交于,两点,点是线段上的点,且,求点的轨迹方程.‎ ‎5(2013湖北理21)‎ ‎ 如图,已知椭圆与 的中心坐标原点,长轴均为且在轴上,短轴长分别为,(),过原点且不与轴重合的直线与,的四个交点按纵坐标从大到小依次为 记, 和的面积分别为和.‎ ‎(1) 当直线与轴重合时,若,求的值;‎ ‎(2) 当变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线,使得?并说明理由.‎ 第21题图 ‎6.(2013福建理18)‎ 如图,在正方形中,为坐标原点,点的坐标为,‎ 点的坐标为,分别将线段和十等分,分点分别记为 和,连接,过作轴的垂线与 交于点.‎ (1) 求证:点都在同一条抛物线上,并求抛物线的方程;‎ (2) 过点作直线与抛物线交于不同的两点, 若与的面积之比为                                                      ,求直线的方程.‎ ‎7.(2014 新课标2理20)(本小题满分12分)‎ 设分别是椭圆的左,右焦点,是上一点且与轴垂直.直线与的另一个交点为.‎ ‎ (1)若直线的斜率为,求的离心率;‎ ‎ (2)若直线在轴上的截距为,且,求.‎ ‎8.(2014 新课标1理20) (本小题满分12分)‎ 已知点,椭圆:的离心率为,是椭圆的右焦点,直线的斜率为,为坐标原点.‎ ‎ (1)求的方程;‎ ‎ (2)设过点的直线与相交于两点,当的面积最大时,求的方程.‎ ‎9.(2014 山东理 21)(本小题满分14分)‎ ‎ 已知抛物线的焦点为,为上异于原点的任意一点,过点的直线交于另一点,交轴的正半轴于点,且有|,当点的横坐标为时,为正三角形.‎ ‎(1)求的方程;‎ ‎(2)若直线,且和有且只有一个公共点,‎ ‎ (i)证明直线过定点,并求出定点坐标;‎ ‎ (ii)的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.‎ ‎10.(2014 湖南理 21) 如图所示,为坐标原点,椭圆 的左右焦点分别为,离心率为;双曲线的左右焦点分别为,离心率为,已知,且.‎ ‎ (1)求的方程;‎ ‎ (2)过点作的不垂直于轴的弦,为的中点,当直线与交于两点时,求四边形面积的最小值.‎ ‎11.(2014 安徽理 19)(本小题满分13分)‎ 如图所示,已知两条抛物线:和:,过原点的两条直线和,与,分别交于,两点,与,分别交于,两点.‎ ‎ (1)证明:;‎ ‎ (2)过原点作直线(异于,)与,分别交于,两点.记与的面积分别为与,求的值.‎ ‎12.(2015湖北理21)一种作图工具如图1所示.是滑槽的中点,短杆ON可绕O转动,长杆通过处铰链与连接,上的栓子可沿滑槽滑动,且,.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时,带动N绕转动一周(D不动时,N也不动),M处的笔尖画出的曲线记为C.以为原点,所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系.‎ ‎(1)求曲线的方程;‎ ‎(2)设动直线与两定直线和分别交于两点.若直线 总与曲线有且只有一个公共点,试探究:的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.‎ 第21题图1‎ 第21题图2‎ x D O M N y ‎12.解析(1)设点,,依题意,‎ ‎,且,‎ 所以,且 即且 由于当点不动时,点也不动,所以不恒等于0,‎ 于是,故,代入,可得,‎ 即所求的曲线的方程为 ‎(2)(i)当直线的斜率不存在时,直线为或,都有. ‎ ‎(ii)当直线的斜率存在时,设直线,‎ 由消去,可得.‎ 因为直线总与椭圆有且只有一个公共点,‎ 所以,即. ①‎ 又由可得;同理可得.‎ 由原点到直线的距离为和,可得 ‎. ②‎ 将①代入②得,. ‎ 当时,;‎ 当时,.‎ 因,则,,所以,‎ 当且仅当时取等号.‎ 所以当时,的最小值为8.‎ 综合(i)(ii)可知,当直线与椭圆在四个顶点处相切时,△OPQ的面积取得最小值8. ‎ ‎13.(2015江苏18)如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆的 离心率为,且右焦点到直线(其中)的距离为.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)过的直线与椭圆交于两点,线段的垂直平分线分别交直线和于点,若,求直线的方程.‎ ‎13.解析 (1)由题意得,故,即,‎ 从而,,,故椭圆的标准方程为.‎ ‎(2)解法一(正设斜率):若的斜率不存在时,则方程为,此时,易知此时,不满足题意;‎ 当的斜率为时,此时亦不满足题意;‎ 因此斜率存在且不为,不妨设斜率为,则方程,‎ 不妨设,,‎ 联立直线与椭圆,‎ 即,‎ 因为点在椭圆内,故恒成立,‎ 所以,故 ‎,‎ 又,,‎ 故,‎ 因为,故,‎ 即,即,‎ 整理得,即,即,‎ 解得,从而直线方程为或.‎ 解法二(反设):由题意,直线的斜率必不为,故设直线方程为,‎ 不妨设,,‎ 与椭圆联立,整理得,‎ 因为点在椭圆内,故恒成立,故,‎ 因此 ‎,‎ 则点的纵坐标为,‎ 于是点的横坐标为,‎ 又,故,‎ 所以,‎ 因为可得,‎ 化简得,即,‎ 化简得,计算得,‎ 从而直线方程为或.‎ ‎14.(2016浙江理19(1))如图所示,设椭圆.求直线被椭圆截得的线段长(用, 表示);‎ ‎14.解析 (1)设直线被椭圆截得的线段为,联立方程,‎ 得,解得,.‎ 因此.‎ ‎15.(2016江苏‎21 C)在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程为,椭圆的参数方程为,设直线与椭圆相交于两点,求线段的长.‎ ‎15. 解析 解法一(求点):直线方程化为普通方程为,‎ 椭圆方程化为普通方程为,‎ 联立,解得或,‎ 因此.‎ 解法二(弦长):直线方程化为普通方程为,‎ 椭圆方程化为普通方程为,不妨设,,‎ 联立得,消得,恒成立,‎ 故,所以.‎ 解法三(几何意义):椭圆方程化为普通方程为,‎ 直线恒过点,该点在椭圆上,将直线的参数方程代入椭圆的 普通方程,得,整理得,故,,‎ 因此.‎ ‎16.(2016全国乙理20)设圆的圆心为,直线过点且与轴不重合,交圆于,两点,过作的平行线交于点.‎ ‎(1)证明为定值,并写出点的轨迹方程;‎ ‎(2)设点的轨迹为曲线,直线交于,两点,过且与垂直的直线与圆交于,两点,求四边形面积的取值范围.‎ ‎ 16.解析 (1)如图所示,圆的圆心为,半径,‎ 因为,所以.又因为,所以,‎ 于是 ,所以.故为定值.‎ 又,点的轨迹是以,为焦点,长轴长为4的椭圆,‎ 由,,得.故点的轨迹的方程为.‎ ‎(2)因为直线与轴不重合,故可设的方程为,‎ 过且与垂直的直线方程为.‎ 由,得.‎ 设,,则,.‎ 得.‎ 由,得.‎ 设,,则,.‎ 得.‎ 四边形的面积.‎ 因为,所以,故. ‎ 即四边形面积的取值范围是.‎ ‎17.(2016全国甲理20)已知椭圆:的焦点在轴上,是的左顶点,斜率为的直线交于,两点,点在上,.‎ ‎(1)当,时,求的面积;(2)当时,求的取值范围.‎ ‎17.解析(1)解法一:当时,由于,根据对称性可知,所以 ,‎ 得,所以.‎ 又,所以,所以.‎ 解法二:设点,且交轴于点. 因为,且,‎ 所以, .由,得.‎ 又,所以,解之得或.‎ 所以 ,所以.‎ ‎(2)解法一:设直线,,.‎ 则,,所以.‎ 同理.‎ 因为,所以.‎ 所以.‎ 解法二:设直线AM的方程为,联立并整理得,,‎ 解得或,所以,‎ 所以.‎ 因为,所以,整理得,.‎ 因为椭圆E的焦点在x轴,所以,即,整理得,解得.‎ ‎18.(2016山东理21)平面直角坐标系中,椭圆: 的离心率是,抛物线:的焦点是的一个顶点. (1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设是上的动点,且位于第一象限,在点处的切线与交与不同的两点,,线段的中点为,直线与过且垂直于轴的直线交于点.‎ ‎(i)求证:点在定直线上;‎ ‎(ii)直线与轴交于点,记的面积为,的面积为,求的最大值及取得最大值时点的坐标.‎ ‎18.解析(1)由题意知,可得:.‎ 因为抛物线的焦点为,所以,所以椭圆的方程为.‎ ‎(2)(i)设,由可得,所以直线的斜率为,‎ 因此直线的方程为,即.‎ 设,联立方程 得,‎ 由,得,且,因此,‎ 将其代入得,因为,所以直线方程为.‎ 联立方程,得点的纵坐标为,即点在定直线上. ‎ ‎(ii)由(i)知直线方程为,令得,所以,‎ 又,‎ 所以,,‎ 所以,‎ 令,则,‎ 当,即时,取得最大值,此时,满足,‎ 所以点的坐标为,因此的最大值为,此时点的坐标为.‎ ‎19.(20 1 7天津理19)设椭圆的左焦点为,右顶点为,离心率为.已知是抛物线的焦点,到抛物线的准线的距离为.‎ ‎(1)求椭圆的方程和抛物线的方程;‎ ‎(2)设上两点,关于轴对称,直线与椭圆相交于点(异于点),直线与轴相交于点.若的面积为,求直线的方程.‎ ‎19.解析 (1)依题意设点,由题意知,且.‎ 由对称性知抛物线的准线方程为,则,解得,,,‎ 于是.从而椭圆的方程为,抛物线的方程为.‎ ‎(2)由于准线的方程为,依题意设(),则.因为,‎ 则,得直线的方程为 ①‎ 将①式代入中化简得.设点,由韦达定理得,则,即,则,于是得直线方程为.‎ 令,解得,即.则,‎ 于是,化简得,即得.代入①式化简得直线方程为,或.‎ ‎20.(2017山东理21)在平面直角坐标系中,椭圆的离心率为,焦距为.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)如图所示,动直线:交椭圆于两点,是椭圆上一点,直线的斜率为,且,是线段延长线上一点,且,的半径为,,是的两条切线,切点分别为,.求的最大值,并求取得最大值时,直线的斜率.‎ ‎20.解析 (1)由题意知 ,,所以 ,,因此椭圆的方程为.‎ ‎(2)设点,联立方程消去整理得,‎ 由题意知,且,,‎ 所以,‎ 由题意可知圆的半径.‎ 由题设知,所以,因此直线的方程为.‎ 联立方程,解得,因此 .‎ 由题意可知 ,而.‎ 令,则,因此 ,‎ 当且仅当,即时等号成立,此时,所以 ,‎ 因此,所以的最大值为.‎ 综上所述,的最大值为,取得最大值时直线的斜率为.‎ 题型126 中点弦问题 ‎ ‎1.(2014 湖南理 21) 如图所示,为坐标原点,椭圆的左右焦点分别为,离心率为;双曲线的左右焦点分别为,离心率为,已知,且.‎ ‎ (1)求的方程;‎ ‎ (2)过点作的不垂直于轴的弦,为的中点,当直线与交于两点时,求四边形面积的最小值.‎ ‎2.(2014 大纲理 21)(本小题满分12分)‎ 已知抛物线:的焦点为,直线与轴的交点为,与的交点为,且.‎ ‎(1)求的方程;‎ ‎(2)过的直线与相交于两点,若的垂直平分线与相交于两点,且四点在同一圆上,求的方程.‎ ‎3.(2015全国II理20)已知椭圆,直线不过原点且不平行 于坐标轴,与有两个交点,线段的中点为.‎ ‎(1)证明:直线的斜率与的斜率的乘积为定值;‎ ‎(2) 若过点,延长线段与交于点,四边形能否平行四边行?若 能,求此时的斜率,若不能,说明理由.‎ ‎3. 分析(1)求解斜率的有关问题时,要注意斜率是否存在,然后用斜率的求解方法及直线与圆锥曲线的关系来进行求解. ‎ ‎(2)存在性探究问题的解答不妨设存在,然后进行计算求解.注意分类讨论思想的应用和计算的正确性.‎ 解析 (1) 根据题意,因为直线不平行于坐标轴,则斜率必然存在,‎ 故设直线为,则,,.‎ 将代入得,,‎ 故,.‎ 于是直线的斜率,即.‎ 所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值.‎ ‎(2)不妨设四边形能为平行四边形.‎ 因为直线过点,所以不过原点且与有两个交点的充要条件是,且.‎ 由(1)得的方程为.设点的横坐标为.由 得,即.‎ 将点的坐标代入直线的方程得,因此.‎ 四边形为平行四边形,当且仅当线段与线段互相平分,‎ 即.于是.‎ 解得,.‎ 因为,,,‎ 所以当的斜率为或时,四边形为平行四边形.‎ 命题意图 解析几何的考查的方向主要体现在对直线和圆锥曲线方程的计算上,,特别是对存在性问题的探究和计算能力的考查,在方法上相对固定,计算难度比较大.‎ ‎4.(2015陕西理20)已知椭圆()的半焦距为,原点到经过两点,的直线的距离为.‎ ‎(1)求椭圆的离心率;‎ ‎(2)如图,是圆:‎ 的一条直径,若椭圆经过两点,求椭圆 的方程.‎ ‎4.解析 (1)解法一: 由面积法可知,‎ 所以. ‎ 解法二: 直线经过 两点,‎ 由截距式得直线方程为,‎ 由点到直线的距离,‎ 解法三: 过点的直线方程为,‎ 则原点到直线的距离,‎ 由,得,解得离心率.‎ ‎ (2)由题意知,是弦的中点,且.‎ 设则,① ,②‎ ①-②得,.‎ 因此方程为.‎ 所以,.‎ 所以 ‎5.(2015浙江理19)已知椭圆上两个不同的点关于直线对称.‎ ‎(1)求实数的取值范围;‎ ‎(2)求面积的最大值(为坐标原点).‎ ‎5.解析(1)设:,设 的中点.‎ 由.‎ 所以,所以 代入直线方程得,. ‎ 代入解得, 或.‎ 评注 本题还可利用点差法来求解.‎ ‎(2)令,则 ‎,‎ 又到直线的距离.‎ 所以,‎ 当且仅当,即时取等号.‎ 所以△的面积的最大值为.‎ ‎6.(2016江苏22)如图所示,在平面直角坐标系中,已知直线,抛物线.‎ ‎(1)若直线过抛物线的焦点,求抛物线的方程;‎ ‎(2)已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点和.‎ ①求证:线段上的中点坐标为;②求的取值范围.‎ ‎6.解析 (1)因为,所以与轴的交点坐标为,‎ 即抛物线的焦点为,所以,故.‎ ‎(2)解法一:①设点,,‎ 则由,得,故,‎ 又因为关于直线对称,所以,即,‎ 所以,又因为中点一定在直线上,‎ 所以,故线段上的中点坐标为;‎ ②因为中点坐标为,‎ 所以,即,‎ 所以,即关于的二次方程有两个不等根,‎ 因此,解得.‎ 解法二:设点,,,线段的中点,‎ 因为点和关于直线对称,所以直线垂直平分线段,‎ 于是直线的斜率为,则可设其方程为.‎ ‎①由消去得,(*)‎ 因为 和是抛物线上的相异两点,所以,‎ 从而,化简得.‎ 方程(*)的两根为,从而.‎ 因为在直线上,所以.‎ 因此,线段的中点坐标为.‎ ‎②因为在直线上,‎ 所以,即.‎ 由①知,于是,所以 因此的取值范围为.‎ 题型127 平面向量在解析几何中的应用 ‎1.(2013湖南理21)‎ 过抛物线的焦点作斜率分别为的两条不同的直线,且,相交于点,相交于点.以为直径的圆,圆(为圆心)的公共弦所在的直线记为.‎ ‎(1)若,证明;;‎ ‎(2)若点到直线的距离的最小值为,求抛物线的方程.‎ ‎2.(2013安徽理18)‎ 设椭圆的焦点在轴上.‎ ‎(1)若椭圆的焦距为,求椭圆的方程;‎ ‎(2)设分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上第一象限内的点,直线交轴于点,并且.证明:当变化时,点在某定直线上.‎ ‎ 3.(2013天津理18)‎ ‎ 设椭圆的左焦点为,离心率为,过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.‎ ‎(1) 求椭圆的方程;‎ ‎(2) 设, 分别为椭圆的左右顶点,过点且斜率为的直线与椭圆交于,两点. ‎ 若,求的值.‎ ‎4. (2013安徽理13)已知直线交抛物线于两点.若该抛物线上存在点,使得为直角,则的取值范围为 .‎ ‎5.(2014 重庆理 21)如图,设椭圆的左右焦点分别为,点在椭圆上,,,的面积为.‎ (1) 求该椭圆的标准方程;‎ (2) 是否存在圆心在轴上的圆,使圆在轴的上方与椭圆有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径..‎ ‎6.(2014 天津理 18)(本小题满分13分)‎ 设椭圆的左、右焦点为,右顶点为,上顶点为.已知.‎ ‎(1)求椭圆的离心率;‎ ‎(2)设为椭圆上异于其顶点的一点,以线段为直径的圆经过点,经过原点的直线与该圆相切. 求直线的斜率.‎ ‎7.(2014 陕西理 20)(本小题满分13分)‎ 如图所示,曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成,的公共点为,其中的离心率为.‎ (1) 求的值;‎ (2) 过点的直线与分别交于(均异于点),若,求直线的方程.‎ ‎8.(2015全国I理5)已知是双曲线上的一点,,是的 两个焦点,若,则的取值范围是( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎8.解析 由题可得,,且,即,‎ 所以,‎ 解得.故选A.‎ ‎9.(2015湖南理20)已知抛物线的焦点F也是椭圆 ‎ 的一个焦点,与的公共弦的长为.‎ ‎(1)求的方程;‎ ‎(2)过点的直线与相交于,两点,与相交于,两点,且与 同向.‎ ‎(ⅰ)若,求直线的斜率.‎ ‎(ⅱ)设在点处的切线与轴的交点为,证明:直线绕点旋转时,总是钝角三角形.‎ ‎9. 解析 (1) 由知其焦点的坐标为(0,1),因为也是椭圆的一个焦点,所以 ①‎ 又与的公共弦长为,与都关于轴对称,‎ 且的方程为,由此易知与的公共点坐标为,‎ 所以 ②‎ 联立① ②得,故的方程为.‎ ‎(2) 如图所示,设,,,. ‎ ‎ ()因与同向,且 ,‎ 所以 ,从而 ,即,‎ 于是. ③‎ 设直线的斜率为,则的方程为.‎ 由 得,而是这个方程的两根,‎ 所以 ④‎ 由 得,‎ 而是这个方程的两根,‎ 所以 ⑤‎ 将④ ⑤代入③得 ,即,‎ 所以 ,解得 ,即直线的斜率为.‎ ‎()由 得 ,所以在点处的切线方程为,‎ 即.‎ 令得,即,所以,‎ 而,于是,‎ 因此是锐角,从而是钝角. ‎ 故直线绕点旋转时,总是钝角三角形.‎ ‎10. (2015山东理20)平面直角坐标系中,已知椭圆的离心 率为,左、右焦点分别是. 以为圆心以为半径的圆与以为圆心以为半径 的圆相交,且交点在椭圆上.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2) 设椭圆,为椭圆上任意一点. 过点的直线交椭 圆于两点,射线交椭圆于点.‎ ‎(i)求的值;‎ ‎(ii)求△面积的最大值.‎ ‎10.解析 (1)由题意知,则.又,,可得,‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎(2)由(1)知椭圆的方程为.‎ ‎(ⅰ)设,,由题意知.因为,‎ 又,即,所以,即.‎ ‎(ⅱ)设,.将代入椭圆的方程,‎ 可得,由,‎ 可得 ①‎ 则有,,所以.‎ 因为直线与轴的交点坐标为,所以的面积 ‎.‎ 设.将代入椭圆的方程,‎ 可得,‎ 由,可得 ②‎ 由①②可知,因此,故,‎ 当且仅当,即时取得最大值.‎ 由(ⅰ)知,面积为,所以面积的最大值为.‎ ‎11.(2016四川理8)设为坐标原点,是以为焦点的抛物线上任意一点,是线段上的点,且,则直线的斜率的最大值为( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎11.解析 设,,(不妨设),‎ 则,.‎ 因为,所以,所以,‎ 所以(当且仅当时,即时取“” ),所以.故选C.‎ ‎12.(2016上海理21)双曲线的左、右焦点分别为,直线过且与双曲线交于两点.‎ ‎(1)若的倾斜角为,是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;‎ ‎(2)设,若的斜率存在,且,求的斜率.‎ ‎ 12.解析 (1)由已知,,不妨取,则,‎ 由题意,又,,‎ 所以,即,解得,‎ 因此渐近线方程为.‎ ‎(2)若,则双曲线为,所以,,‎ 解法一:不妨设的中点为,由得,即.‎ 设,,联立直线与双曲线方程,‎ 消得,‎ 所以,且,‎ 故,因此,‎ 即,所以,整理得,‎ 即,所以直线的斜率为.‎ 解法二:设,,则,,‎ 所以,,‎ 又 (*)‎ 因为,所以,‎ 代入(*)式得,‎ 直线的斜率存在,故,所以,‎ 设直线为,代入,‎ 得,‎ 所以,且,‎ ‎,故,即,所以直线的斜率为.‎ ‎13.(2016天津理19)设椭圆的右焦点为,右顶点为,已知,其中为原点,为椭圆的离心率.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设过点的直线与椭圆交于点(不在轴上),垂直于的直线与交于点,与轴交于点,若,且,求直线斜率的取值范围.‎ ‎ 13.解析 (1)由,即,可得.‎ 又,所以,因此,所以椭圆的方程为 ‎(2)设直线的斜率为(),则直线的方程为.‎ 设,由方程组,消去,‎ 整理得.‎ 解得或.由题意得,从而.‎ 由(1)知,,设,有,.‎ 由,得,所以,解得.‎ 因此直线的方程为.‎ 设,由方程组,消去,解得.‎ 在中,由,得,即,‎ 化简得,即,解得或.‎ 所以直线的斜率的取值范围为.‎ ‎14.(2107全国3卷理科20)已知抛物线,过点的直线交与,两点,圆是以线段为直径的圆.‎ ‎(1)求证:坐标原点在圆上;‎ ‎(2)设圆过点,求直线与圆的方程.‎ ‎14.解析 (1)显然当直线斜率为时,直线与抛物线交于一点,不符合题意.‎ 设,,,联立,得,‎ 恒大于,,.‎ ‎,所以,即点在圆上.‎ ‎(2)若圆过点,则,即,即,即,化简得,解得或.‎ ‎①当时,,设圆心为,‎ 则,,半径,‎ 则圆.‎ ‎②当时,,设圆心为,‎ ‎,,半径,则圆.‎ 题型128 定点问题——暂无 ‎1. (2013安徽理18)‎ 设椭圆的焦点在轴上.‎ ‎(1)若椭圆的焦距为,求椭圆的方程;‎ ‎(2)设分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上第一象限内的点,直线交轴于点,并且.证明:当变化时,点在某定直线上.‎ ‎2. (2013陕西理20)‎ 已知动圆过定点,且在轴上截得的弦的长为。‎ ‎(1)求动圆圆心的轨迹的方程;‎ ‎(2)已知点,设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点,若轴是的角平分线,证明直线过定点.‎ ‎3.(2014 辽宁理 20) (本小题满分12分 )圆的切线与轴正半轴,轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为(如图),双曲线过点且离心率为.‎ ‎ (1)求的方程;‎ ‎ (2)椭圆过点且与有相同的焦点,直线过的右焦点且与 交于,两点,若以线段为直径的圆过点,求的方程.‎ ‎4.(2017全国2卷理科20)设为坐标原点,动点在椭圆上,过作轴的垂线,垂足为,点满足.‎ ‎(1)求点的轨迹方程;‎ ‎(2)设点在直线上,且.求证:过点且垂直于的直线过的左焦点. ‎ ‎4.解析 (1)设点,易知,,又,‎ 所以点.又在椭圆上,所以,即.‎ ‎(2)由题知,设,,则,,,,,由,得.又由(1)知,所以,从而,即.又过点存在唯一直线的垂直于,所以过点且垂直于的直线过曲线的左焦点.‎ ‎5.(2107全国1卷理科20)已知椭圆,四点,,,中恰有三点在椭圆上.‎ ‎(1)求的方程;‎ ‎(2)设直线不经过点且与相交于,两点.若直线与直线的斜率的和为,求证:过定点.‎ ‎5. 解析 (1)根据椭圆对称性,必过,,又横坐标为1,椭圆必不过,所以过 三点.将代入椭圆方程得,解得,‎ ‎,所以椭圆的方程为.‎ ‎(2)当斜率不存在时,设,‎ ‎,得,此时过椭圆右顶点,不存在两个交点,‎ 故不满足.‎ 当斜率存在时,设,,联立,‎ 消去整理得,,,‎ 则 ‎,又,此时,存在使得成立.‎ 所以直线的方程为.‎ 当时,,所以过定点.‎ 题型129 定值问题 ‎1.(2013山东理22)椭圆的左、右焦点分别是,,离心率为,过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)点是椭圆上除长轴端点外的任一点,连接,,设的角平分线交的长轴于点,求的取值范围;‎ ‎(3)在(2)的条件下,过点作斜率为的直线,使得与椭圆有且只有一个公共点,设直线,人斜率分别为,,若,试证明为定值,并求出这个定值.‎ ‎2.(2014 江西理 20)(本小题满分13分)‎ ‎ 如图,已知双曲线:的右焦点,点分别在的两条渐近线上,轴,,(为坐标原点).‎ ‎ (1)求双曲线的方程;‎ ‎ (2)过上一点的直线:与直线相交于点,与直线相交于点.证明:点在上移动时,恒为定值,并求此定值.‎ ‎3.(2014 北京理 19)(本小题14分)‎ 已知椭圆,‎ (1) 求椭圆的离心率.‎ (2) 设为原点.若点在椭圆上,点在直线上,且,试判断直线与圆的位置关系,并证明你的结论.‎ ‎4.(2015四川理20)如图所示,椭圆:的离心率是,过点 的动直线与椭圆相交于两点,当直线平行于轴时,直线被椭圆截得的 线段长为.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)在平面直角坐标系中,是否存在与点不同的定点,使得恒成立?‎ 若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎4.分析 (1)根据椭圆的对称性,当直线与轴平行时,,,‎ 将这个点的坐标代入椭圆的方程,得.再根据离心率得,‎ 又,三者联立,解方程组即可得,进而得椭圆的方程为 ‎;(2)先利用与轴平行和垂直这两种特殊情况找出点的坐标为.‎ 接下来联立直线与椭圆的方程,利用根与系数的关系证明:对任意的直线,均有 ‎.设,,由图可看出,为了证明,只需证明,为此作点关于轴对称的点,这样将问题转化为证 三点共线.‎ 解析 (1)由已知点在椭圆上.‎ 所以,解得,.所以椭圆方程为.‎ ‎(2)当直线与轴平行时,设直线与椭圆相交于两点.‎ 如果存在定点满足条件,则,即.‎ 所以点在轴上,可设点的坐标为.‎ 当直线与轴垂直时,设直线与椭圆相交于两点.‎ 则,,由,‎ 有,解得或.‎ 所以,若存在不同于点的定点满足条件,则点的坐标只可能为.‎ 下面证明:对任意的直线,均有.‎ 当直线的斜率不存在时,由上可知,结论成立.‎ 当直线的斜率存在时,可设直线的方程为,的坐标分别为,.‎ 联立,得.‎ 其判别式,,‎ 所以,.‎ 因此.‎ 易知,点关于轴对称的点的坐标为.‎ 又,,‎ 所以,即三点共线.‎ 所以.‎ 故存在与点不同的定点,使得恒成立.‎ ‎ 5.(2016北京理19)已知椭圆的离心率为,,‎ ‎,,的面积为1.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设为椭圆上一点,直线与轴交于点,直线与轴交于点.求证:为定值.‎ ‎5.解析 可先作出本题的图形:‎ ‎(1)由题设,可得 解得.所以椭圆的方程是.‎ ‎(2)解法一:设椭圆上一点,则.‎ ‎(i) 当时,直线. ‎ 令,得.所以.‎ 直线.令,得,所以.‎ 所以 将代入上式得,故为定值.‎ ‎(ii) 当时,,,,所以.‎ 综上所述,为定值.‎ 解法二:可设,再求得,‎ 所以 ‎.‎ 评注 同第(2)问的解法,还可证得以下结论:‎ 若点在椭圆上,椭圆的右顶点、上顶点分别是,直线与轴交于点,直线与轴交于点,则.‎ 题型130 最值问题——暂无 ‎1.(2013广东理20)‎ 已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线:的距离为 设 为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.‎ ‎(1) 求抛物线的方程;‎ ‎(2) 当点为直线上的定点时,求直线的方程;‎ ‎(3) 当点在直线上移动时,求的最小值.‎ ‎2.(2014 浙江理 21)(本题满分15分)‎ 如图,设椭圆动直线与椭圆只有一个公共点,且点在第一象限.‎ (1) 已知直线的斜率为,用表示点的坐标;‎ (2) 若过原点的直线与垂直,证明:点到直线的距离的最大值为.‎ ‎3.(2014 福建理 9)设分别为和椭圆上的点,则两点间的最大距离是( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎4.(2014 山东理 21)(本小题满分14分)‎ ‎ 已知抛物线的焦点为,为上异于原点的任意一点,过点的直线交于另一点,交轴的正半轴于点,且有|,当点的横坐标为时,为正三角形.‎ ‎(1)求的方程;‎ ‎(2)若直线,且和有且只有一个公共点,‎ ‎ (i)证明直线过定点,并求出定点坐标;‎ ‎ (ii)的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.‎ ‎5.(2014 四川理 20)已知椭圆的焦距为,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)设为椭圆的左焦点,为直线上任意一点,过作的垂线交椭圆于点.‎ ‎(i)证明:平分线段(其中为坐标原点);‎ ‎(ii)当最小时,求点的坐标.‎ ‎6. (2107浙江21)如图所示,已知抛物线.点,,抛物线上的点,过点作直线的垂线,垂足为.‎ ‎(1)求直线斜率的取值范围;‎ ‎(2)求的最大值.‎ ‎6.解析 (1)设直线的斜率为,已知,,则.‎ 因为,所以,所以直线斜率的取值范围是.‎ ‎(2)因为直线,且,所以直线的方程为,联立直线与的方程,解得点的横坐标是.‎ 因为,,,所以,‎ 令,‎ 因为,当时,,当时,,所以在上单调递增,上单调递减,因此当时,取得最大值.‎
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