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文档介绍
2013-2017高考数学分类汇编-第10章 圆锥曲线-5 直线与圆锥曲线(理科)
第5节 直线与圆锥曲线 题型124 直线与圆锥曲线的位置关系 1.(2013重庆理21) 如图,椭圆的中心为原点,长轴在轴上,离心率,过左焦点作轴的垂线交椭圆于两点,. (1)求该椭圆的标准方程; (2)取垂直于轴的直线与椭圆相交于不同的两点,过作圆心为的圆,使椭圆上的其余点均在圆外.若,求圆的标准方程. 2.(2013湖南理21) 过抛物线的焦点作斜率分别为的两条不同的直线,且,相交于点,相交于点.以为直径的圆,圆(为圆心)的公共弦所在的直线记为. (1)若,证明;; (2)若点到直线的距离的最小值为,求抛物线的方程. 3.(2013江西理20) 如图,椭圆经过点,离心率,直线的方程为. (1) 求椭圆的方程; (2) 是经过右焦点的任一弦(不经过点),设直线与直线相交于点,记 的斜率分别为.问:是否存在常数,使得?若存在,求的值;若不存在,说明理由. 4.(2014 辽宁理 10)已知点在抛物线:的准线上,过点的直线与在第一象限相切于点,记的焦点为,则直线的斜率为( ). A. B. C. D. 5.(2014 福建理 19)(本小题满分13分) 已知双曲线的两条渐近线分别为,. (1)求双曲线的离心率; (2)如图所示,为坐标原点,动直线分别交直线于两点(分别在第一,四象限),且的面积恒为,试探究:是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线?若存在,求出双曲线的方程;若不存在,说明理由. 6.(2014 天津理 18)(本小题满分13分) 设椭圆的左、右焦点为,右顶点为,上顶点为.已知. (1)求椭圆的离心率; (2)设为椭圆上异于其顶点的一点,以线段为直径的圆经过点,经过原点的直线与该圆相切. 求直线的斜率. 7.(2014 湖北理 21)(满分14分)在平面直角坐标系中,点到点的距离比它到轴的距离多,记点的轨迹为. (1)求轨迹为的方程; (2)设斜率为的直线过定点.求直线与轨迹恰好有一个公共点,两个公共点,三个公共点时的相应取值范围. 8.(2015北京理19)已知椭圆的离心率为,点和 点都在椭圆上,直线交轴于点. (1)求椭圆的方程,并求点的坐标(用,表); (2)设为原点,点与点关于轴对称,直线交轴于点.问:轴上是否存 在点,使得?若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由. 8. 解析 (1)因为,所以, 又点在椭圆:上,则,, 因此椭圆的方程为,直线的方程:, 令,可得,所以点的坐标是. (2)点与关于轴对称,所以,直线的方程:, 令,所以可得,则,因为, 所以,所以,即, 因为,又点在椭圆上, 所以,即,所以,得. 9.(2015福建理18)已知椭圆过点,且离心率 . (1)求椭圆的方程; (2)设直线交椭圆于,两点,判断点与以线段为 直径的圆的位置关系,并说明理由. 9.分析 本小题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能 力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想. 解析 解法一:(1)由已知得,解得, 所以椭圆的方程为. (2)设点,,的中点为.由, 得,所以,, 从而, 所以, , 故 ,所以. 故点在以为直径的圆外. 解法二:(1)同解法一. (2)设点,,则,. 由,得, 所以,, 从而 , 所以.又,不共线,所以为锐角. 故点在以为直径的圆外. 10.(2015全国I理20)在直角坐标系中,曲线与直线 交于,两点. (1)当时,分别求在点和处的切线方程; (2)轴上是否存在点,使得当变动时,总有?说明理由. 10.解析 (1)由题意知,时,联立,解得,. 又,在点处,切线方程为,即, 在点处,,切线方程为,即. 故所求切线方程为和. (2)存在符合题意的点,证明如下: 设点为符合题意的点,,,直线,的斜率分别为,.联立方程,得,故,, 从而. 当时,有,则直线与直线的倾斜角互补, 故,所以点符合题意. 11.(2015天津理19)已知椭圆的左焦点为,离心率为, 点在椭圆上且位于第一象限,直线被圆截得的线段的长为, . (1)求直线的斜率; (2)求椭圆的方程; (3)设动点在椭圆上,若直线的斜率大于,求直线(为原点)的斜率的 取值范围. 11.分析 (1)由椭圆知识先求出的关系,设直线的方程为,求出圆 心到直线的距离,由勾股定理可求斜率的值; (2)由(1)设椭圆方程为, 直线与椭圆方程联立,求出点的坐标,由可求出,从而可求椭圆方程; (3)设出直线:,与椭圆方程联立,求得,求出的 范围,即可求直线的斜率的取值范围. 解析 (1)由已知有,又由,可得,, 设直线的斜率为,则直线的方程为, 由已知有,解得. (2)由(1)得椭圆方程为,直线的方程为,两个方程联立, 消去,整理得,解得或,因为点在第一像限, 可得的坐标为,由,解得,所以椭圆方程为. (3)设点的坐标为,直线的斜率为,得,即, 与椭圆方程联立,消去, 整理得,又由已知,得, 解得或, 设直线的斜率为,得,即,与椭圆方程联立, 整理可得. ①当时,有,因此,于是, 得; ②当时,有,因此,于是, 得 综上所述,直线的斜率的取值范围是. 12.(2016四川理20)已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的个顶点,直线与椭圆有且只有一个公共点. (1)求椭圆的方程及点的坐标; (2)设是坐标原点,直线平行于,与椭圆交于不同的两点、,且与直线交于点.证明:存在常数,使得,并求的值. 12.解析 (1)由已知,,则椭圆的方程为. 有方程组 得.① 方程①的判别式为,由,得,此方程①的解为, 所以椭圆的方程为.点坐标为. (2)由已知可设直线的方程为, 有方程组,可得. 所以点坐标为,.设点,的坐标分别为, . 由方程组可得 ② 方程②的判别式为,由,解得. 由②得,. 所以 ,同理, 所以 . 故存在常数,使得. 13.(2017江苏17)如图所示,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为,离心率为,两准线之间的距离为.点在椭圆上,且位于第一象限,过点作直线的垂线,过点作直线的垂线. (1)求椭圆的标准方程; (2)若直线的交点在椭圆上,求点的坐标. 13.解析 (1)设椭圆的半焦距为,由题意,解得,因此 ,所以椭圆的标准方程为. (2)由(1)知,.设,因为点为第一象限的点,故. 当时,与相交于,与题设不符. 当时,直线的斜率为,直线的斜率为. 因为,,所以直线的斜率为,直线的斜率为, 从而直线的方程为 ① 直线的方程为 ② 联立①②,解得,所以. 因为点在椭圆上,由对称性得,即或. 又点在椭圆上,故. 由,解得;由,无解. 因此点的坐标为. 14.(2017北京理18)已知抛物线过点.过点作直线与抛物线交于不同的两点,,过点作轴的垂线分别与直线,交于点,,其中为原点. (1)求抛物线的方程,并求其焦点坐标和准线方程; (2)求证:为线段的中点. 14.解析 (1)由抛物线过点,得.所以抛物线的方程为,抛物线的焦点坐标为,准线方程为. (2)解法一:由题意,设直线的方程为,与抛物线的交点为,.由,得.则,. 因为点的坐标为,所以直线的方程为,点的坐标为. 因为直线的方程为,所以点的坐标为. 因为 ,所以. 故为线段的中点. 解法二:要证为的中点,且相同,只需证,等式两边同时除以,则有.因为 .又,所以等式成立,即为的中点. 题型125 弦长与面积问题 1.(2013浙江理21)如图,点是椭圆的一个顶点,的长轴是圆的直径.是过点且互相垂直的两条直线,其中交圆于两点,交椭圆于另一点 (1)求椭圆的方程; (2)求面积取最大值时直线的方程. 2.(2013全国新课标卷理20) 平面直角坐标系中,过椭圆右焦点的直线交于两点,为的中点,且的斜率为. (1)求的方程; (2)为上的两点,若四边形的对角线,求四边形的最大值. 3(2013广东理20) 已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线:的距离为.设 为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点. (1) 求抛物线的方程; (2) 当点为直线上的定点时,求直线的方程; (3) 当点在直线上移动时,求的最小值. 4.(2013四川理20) 已知椭圆:的两个焦点分别为,且椭圆经过点. (1)求椭圆的离心率; (2)设过点的直线与椭圆交于,两点,点是线段上的点,且,求点的轨迹方程. 5(2013湖北理21) 如图,已知椭圆与 的中心坐标原点,长轴均为且在轴上,短轴长分别为,(),过原点且不与轴重合的直线与,的四个交点按纵坐标从大到小依次为 记, 和的面积分别为和. (1) 当直线与轴重合时,若,求的值; (2) 当变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线,使得?并说明理由. 第21题图 6.(2013福建理18) 如图,在正方形中,为坐标原点,点的坐标为, 点的坐标为,分别将线段和十等分,分点分别记为 和,连接,过作轴的垂线与 交于点. (1) 求证:点都在同一条抛物线上,并求抛物线的方程; (2) 过点作直线与抛物线交于不同的两点, 若与的面积之比为 ,求直线的方程. 7.(2014 新课标2理20)(本小题满分12分) 设分别是椭圆的左,右焦点,是上一点且与轴垂直.直线与的另一个交点为. (1)若直线的斜率为,求的离心率; (2)若直线在轴上的截距为,且,求. 8.(2014 新课标1理20) (本小题满分12分) 已知点,椭圆:的离心率为,是椭圆的右焦点,直线的斜率为,为坐标原点. (1)求的方程; (2)设过点的直线与相交于两点,当的面积最大时,求的方程. 9.(2014 山东理 21)(本小题满分14分) 已知抛物线的焦点为,为上异于原点的任意一点,过点的直线交于另一点,交轴的正半轴于点,且有|,当点的横坐标为时,为正三角形. (1)求的方程; (2)若直线,且和有且只有一个公共点, (i)证明直线过定点,并求出定点坐标; (ii)的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由. 10.(2014 湖南理 21) 如图所示,为坐标原点,椭圆 的左右焦点分别为,离心率为;双曲线的左右焦点分别为,离心率为,已知,且. (1)求的方程; (2)过点作的不垂直于轴的弦,为的中点,当直线与交于两点时,求四边形面积的最小值. 11.(2014 安徽理 19)(本小题满分13分) 如图所示,已知两条抛物线:和:,过原点的两条直线和,与,分别交于,两点,与,分别交于,两点. (1)证明:; (2)过原点作直线(异于,)与,分别交于,两点.记与的面积分别为与,求的值. 12.(2015湖北理21)一种作图工具如图1所示.是滑槽的中点,短杆ON可绕O转动,长杆通过处铰链与连接,上的栓子可沿滑槽滑动,且,.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时,带动N绕转动一周(D不动时,N也不动),M处的笔尖画出的曲线记为C.以为原点,所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系. (1)求曲线的方程; (2)设动直线与两定直线和分别交于两点.若直线 总与曲线有且只有一个公共点,试探究:的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由. 第21题图1 第21题图2 x D O M N y 12.解析(1)设点,,依题意, ,且, 所以,且 即且 由于当点不动时,点也不动,所以不恒等于0, 于是,故,代入,可得, 即所求的曲线的方程为 (2)(i)当直线的斜率不存在时,直线为或,都有. (ii)当直线的斜率存在时,设直线, 由消去,可得. 因为直线总与椭圆有且只有一个公共点, 所以,即. ① 又由可得;同理可得. 由原点到直线的距离为和,可得 . ② 将①代入②得,. 当时,; 当时,. 因,则,,所以, 当且仅当时取等号. 所以当时,的最小值为8. 综合(i)(ii)可知,当直线与椭圆在四个顶点处相切时,△OPQ的面积取得最小值8. 13.(2015江苏18)如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆的 离心率为,且右焦点到直线(其中)的距离为. (1)求椭圆的标准方程; (2)过的直线与椭圆交于两点,线段的垂直平分线分别交直线和于点,若,求直线的方程. 13.解析 (1)由题意得,故,即, 从而,,,故椭圆的标准方程为. (2)解法一(正设斜率):若的斜率不存在时,则方程为,此时,易知此时,不满足题意; 当的斜率为时,此时亦不满足题意; 因此斜率存在且不为,不妨设斜率为,则方程, 不妨设,, 联立直线与椭圆, 即, 因为点在椭圆内,故恒成立, 所以,故 , 又,, 故, 因为,故, 即,即, 整理得,即,即, 解得,从而直线方程为或. 解法二(反设):由题意,直线的斜率必不为,故设直线方程为, 不妨设,, 与椭圆联立,整理得, 因为点在椭圆内,故恒成立,故, 因此 , 则点的纵坐标为, 于是点的横坐标为, 又,故, 所以, 因为可得, 化简得,即, 化简得,计算得, 从而直线方程为或. 14.(2016浙江理19(1))如图所示,设椭圆.求直线被椭圆截得的线段长(用, 表示); 14.解析 (1)设直线被椭圆截得的线段为,联立方程, 得,解得,. 因此. 15.(2016江苏21 C)在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程为,椭圆的参数方程为,设直线与椭圆相交于两点,求线段的长. 15. 解析 解法一(求点):直线方程化为普通方程为, 椭圆方程化为普通方程为, 联立,解得或, 因此. 解法二(弦长):直线方程化为普通方程为, 椭圆方程化为普通方程为,不妨设,, 联立得,消得,恒成立, 故,所以. 解法三(几何意义):椭圆方程化为普通方程为, 直线恒过点,该点在椭圆上,将直线的参数方程代入椭圆的 普通方程,得,整理得,故,, 因此. 16.(2016全国乙理20)设圆的圆心为,直线过点且与轴不重合,交圆于,两点,过作的平行线交于点. (1)证明为定值,并写出点的轨迹方程; (2)设点的轨迹为曲线,直线交于,两点,过且与垂直的直线与圆交于,两点,求四边形面积的取值范围. 16.解析 (1)如图所示,圆的圆心为,半径, 因为,所以.又因为,所以, 于是 ,所以.故为定值. 又,点的轨迹是以,为焦点,长轴长为4的椭圆, 由,,得.故点的轨迹的方程为. (2)因为直线与轴不重合,故可设的方程为, 过且与垂直的直线方程为. 由,得. 设,,则,. 得. 由,得. 设,,则,. 得. 四边形的面积. 因为,所以,故. 即四边形面积的取值范围是. 17.(2016全国甲理20)已知椭圆:的焦点在轴上,是的左顶点,斜率为的直线交于,两点,点在上,. (1)当,时,求的面积;(2)当时,求的取值范围. 17.解析(1)解法一:当时,由于,根据对称性可知,所以 , 得,所以. 又,所以,所以. 解法二:设点,且交轴于点. 因为,且, 所以, .由,得. 又,所以,解之得或. 所以 ,所以. (2)解法一:设直线,,. 则,,所以. 同理. 因为,所以. 所以. 解法二:设直线AM的方程为,联立并整理得,, 解得或,所以, 所以. 因为,所以,整理得,. 因为椭圆E的焦点在x轴,所以,即,整理得,解得. 18.(2016山东理21)平面直角坐标系中,椭圆: 的离心率是,抛物线:的焦点是的一个顶点. (1)求椭圆的方程; (2)设是上的动点,且位于第一象限,在点处的切线与交与不同的两点,,线段的中点为,直线与过且垂直于轴的直线交于点. (i)求证:点在定直线上; (ii)直线与轴交于点,记的面积为,的面积为,求的最大值及取得最大值时点的坐标. 18.解析(1)由题意知,可得:. 因为抛物线的焦点为,所以,所以椭圆的方程为. (2)(i)设,由可得,所以直线的斜率为, 因此直线的方程为,即. 设,联立方程 得, 由,得,且,因此, 将其代入得,因为,所以直线方程为. 联立方程,得点的纵坐标为,即点在定直线上. (ii)由(i)知直线方程为,令得,所以, 又, 所以,, 所以, 令,则, 当,即时,取得最大值,此时,满足, 所以点的坐标为,因此的最大值为,此时点的坐标为. 19.(20 1 7天津理19)设椭圆的左焦点为,右顶点为,离心率为.已知是抛物线的焦点,到抛物线的准线的距离为. (1)求椭圆的方程和抛物线的方程; (2)设上两点,关于轴对称,直线与椭圆相交于点(异于点),直线与轴相交于点.若的面积为,求直线的方程. 19.解析 (1)依题意设点,由题意知,且. 由对称性知抛物线的准线方程为,则,解得,,, 于是.从而椭圆的方程为,抛物线的方程为. (2)由于准线的方程为,依题意设(),则.因为, 则,得直线的方程为 ① 将①式代入中化简得.设点,由韦达定理得,则,即,则,于是得直线方程为. 令,解得,即.则, 于是,化简得,即得.代入①式化简得直线方程为,或. 20.(2017山东理21)在平面直角坐标系中,椭圆的离心率为,焦距为. (1)求椭圆的方程; (2)如图所示,动直线:交椭圆于两点,是椭圆上一点,直线的斜率为,且,是线段延长线上一点,且,的半径为,,是的两条切线,切点分别为,.求的最大值,并求取得最大值时,直线的斜率. 20.解析 (1)由题意知 ,,所以 ,,因此椭圆的方程为. (2)设点,联立方程消去整理得, 由题意知,且,, 所以, 由题意可知圆的半径. 由题设知,所以,因此直线的方程为. 联立方程,解得,因此 . 由题意可知 ,而. 令,则,因此 , 当且仅当,即时等号成立,此时,所以 , 因此,所以的最大值为. 综上所述,的最大值为,取得最大值时直线的斜率为. 题型126 中点弦问题 1.(2014 湖南理 21) 如图所示,为坐标原点,椭圆的左右焦点分别为,离心率为;双曲线的左右焦点分别为,离心率为,已知,且. (1)求的方程; (2)过点作的不垂直于轴的弦,为的中点,当直线与交于两点时,求四边形面积的最小值. 2.(2014 大纲理 21)(本小题满分12分) 已知抛物线:的焦点为,直线与轴的交点为,与的交点为,且. (1)求的方程; (2)过的直线与相交于两点,若的垂直平分线与相交于两点,且四点在同一圆上,求的方程. 3.(2015全国II理20)已知椭圆,直线不过原点且不平行 于坐标轴,与有两个交点,线段的中点为. (1)证明:直线的斜率与的斜率的乘积为定值; (2) 若过点,延长线段与交于点,四边形能否平行四边行?若 能,求此时的斜率,若不能,说明理由. 3. 分析(1)求解斜率的有关问题时,要注意斜率是否存在,然后用斜率的求解方法及直线与圆锥曲线的关系来进行求解. (2)存在性探究问题的解答不妨设存在,然后进行计算求解.注意分类讨论思想的应用和计算的正确性. 解析 (1) 根据题意,因为直线不平行于坐标轴,则斜率必然存在, 故设直线为,则,,. 将代入得,, 故,. 于是直线的斜率,即. 所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值. (2)不妨设四边形能为平行四边形. 因为直线过点,所以不过原点且与有两个交点的充要条件是,且. 由(1)得的方程为.设点的横坐标为.由 得,即. 将点的坐标代入直线的方程得,因此. 四边形为平行四边形,当且仅当线段与线段互相平分, 即.于是. 解得,. 因为,,, 所以当的斜率为或时,四边形为平行四边形. 命题意图 解析几何的考查的方向主要体现在对直线和圆锥曲线方程的计算上,,特别是对存在性问题的探究和计算能力的考查,在方法上相对固定,计算难度比较大. 4.(2015陕西理20)已知椭圆()的半焦距为,原点到经过两点,的直线的距离为. (1)求椭圆的离心率; (2)如图,是圆: 的一条直径,若椭圆经过两点,求椭圆 的方程. 4.解析 (1)解法一: 由面积法可知, 所以. 解法二: 直线经过 两点, 由截距式得直线方程为, 由点到直线的距离, 解法三: 过点的直线方程为, 则原点到直线的距离, 由,得,解得离心率. (2)由题意知,是弦的中点,且. 设则,① ,② ①-②得,. 因此方程为. 所以,. 所以 5.(2015浙江理19)已知椭圆上两个不同的点关于直线对称. (1)求实数的取值范围; (2)求面积的最大值(为坐标原点). 5.解析(1)设:,设 的中点. 由. 所以,所以 代入直线方程得,. 代入解得, 或. 评注 本题还可利用点差法来求解. (2)令,则 , 又到直线的距离. 所以, 当且仅当,即时取等号. 所以△的面积的最大值为. 6.(2016江苏22)如图所示,在平面直角坐标系中,已知直线,抛物线. (1)若直线过抛物线的焦点,求抛物线的方程; (2)已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点和. ①求证:线段上的中点坐标为;②求的取值范围. 6.解析 (1)因为,所以与轴的交点坐标为, 即抛物线的焦点为,所以,故. (2)解法一:①设点,, 则由,得,故, 又因为关于直线对称,所以,即, 所以,又因为中点一定在直线上, 所以,故线段上的中点坐标为; ②因为中点坐标为, 所以,即, 所以,即关于的二次方程有两个不等根, 因此,解得. 解法二:设点,,,线段的中点, 因为点和关于直线对称,所以直线垂直平分线段, 于是直线的斜率为,则可设其方程为. ①由消去得,(*) 因为 和是抛物线上的相异两点,所以, 从而,化简得. 方程(*)的两根为,从而. 因为在直线上,所以. 因此,线段的中点坐标为. ②因为在直线上, 所以,即. 由①知,于是,所以 因此的取值范围为. 题型127 平面向量在解析几何中的应用 1.(2013湖南理21) 过抛物线的焦点作斜率分别为的两条不同的直线,且,相交于点,相交于点.以为直径的圆,圆(为圆心)的公共弦所在的直线记为. (1)若,证明;; (2)若点到直线的距离的最小值为,求抛物线的方程. 2.(2013安徽理18) 设椭圆的焦点在轴上. (1)若椭圆的焦距为,求椭圆的方程; (2)设分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上第一象限内的点,直线交轴于点,并且.证明:当变化时,点在某定直线上. 3.(2013天津理18) 设椭圆的左焦点为,离心率为,过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. (1) 求椭圆的方程; (2) 设, 分别为椭圆的左右顶点,过点且斜率为的直线与椭圆交于,两点. 若,求的值. 4. (2013安徽理13)已知直线交抛物线于两点.若该抛物线上存在点,使得为直角,则的取值范围为 . 5.(2014 重庆理 21)如图,设椭圆的左右焦点分别为,点在椭圆上,,,的面积为. (1) 求该椭圆的标准方程; (2) 是否存在圆心在轴上的圆,使圆在轴的上方与椭圆有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径.. 6.(2014 天津理 18)(本小题满分13分) 设椭圆的左、右焦点为,右顶点为,上顶点为.已知. (1)求椭圆的离心率; (2)设为椭圆上异于其顶点的一点,以线段为直径的圆经过点,经过原点的直线与该圆相切. 求直线的斜率. 7.(2014 陕西理 20)(本小题满分13分) 如图所示,曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成,的公共点为,其中的离心率为. (1) 求的值; (2) 过点的直线与分别交于(均异于点),若,求直线的方程. 8.(2015全国I理5)已知是双曲线上的一点,,是的 两个焦点,若,则的取值范围是( ). A. B. C. D. 8.解析 由题可得,,且,即, 所以, 解得.故选A. 9.(2015湖南理20)已知抛物线的焦点F也是椭圆 的一个焦点,与的公共弦的长为. (1)求的方程; (2)过点的直线与相交于,两点,与相交于,两点,且与 同向. (ⅰ)若,求直线的斜率. (ⅱ)设在点处的切线与轴的交点为,证明:直线绕点旋转时,总是钝角三角形. 9. 解析 (1) 由知其焦点的坐标为(0,1),因为也是椭圆的一个焦点,所以 ① 又与的公共弦长为,与都关于轴对称, 且的方程为,由此易知与的公共点坐标为, 所以 ② 联立① ②得,故的方程为. (2) 如图所示,设,,,. ()因与同向,且 , 所以 ,从而 ,即, 于是. ③ 设直线的斜率为,则的方程为. 由 得,而是这个方程的两根, 所以 ④ 由 得, 而是这个方程的两根, 所以 ⑤ 将④ ⑤代入③得 ,即, 所以 ,解得 ,即直线的斜率为. ()由 得 ,所以在点处的切线方程为, 即. 令得,即,所以, 而,于是, 因此是锐角,从而是钝角. 故直线绕点旋转时,总是钝角三角形. 10. (2015山东理20)平面直角坐标系中,已知椭圆的离心 率为,左、右焦点分别是. 以为圆心以为半径的圆与以为圆心以为半径 的圆相交,且交点在椭圆上. (1)求椭圆的方程; (2) 设椭圆,为椭圆上任意一点. 过点的直线交椭 圆于两点,射线交椭圆于点. (i)求的值; (ii)求△面积的最大值. 10.解析 (1)由题意知,则.又,,可得, 所以椭圆的方程为. (2)由(1)知椭圆的方程为. (ⅰ)设,,由题意知.因为, 又,即,所以,即. (ⅱ)设,.将代入椭圆的方程, 可得,由, 可得 ① 则有,,所以. 因为直线与轴的交点坐标为,所以的面积 . 设.将代入椭圆的方程, 可得, 由,可得 ② 由①②可知,因此,故, 当且仅当,即时取得最大值. 由(ⅰ)知,面积为,所以面积的最大值为. 11.(2016四川理8)设为坐标原点,是以为焦点的抛物线上任意一点,是线段上的点,且,则直线的斜率的最大值为( ). A. B. C. D. 11.解析 设,,(不妨设), 则,. 因为,所以,所以, 所以(当且仅当时,即时取“” ),所以.故选C. 12.(2016上海理21)双曲线的左、右焦点分别为,直线过且与双曲线交于两点. (1)若的倾斜角为,是等边三角形,求双曲线的渐近线方程; (2)设,若的斜率存在,且,求的斜率. 12.解析 (1)由已知,,不妨取,则, 由题意,又,, 所以,即,解得, 因此渐近线方程为. (2)若,则双曲线为,所以,, 解法一:不妨设的中点为,由得,即. 设,,联立直线与双曲线方程, 消得, 所以,且, 故,因此, 即,所以,整理得, 即,所以直线的斜率为. 解法二:设,,则,, 所以,, 又 (*) 因为,所以, 代入(*)式得, 直线的斜率存在,故,所以, 设直线为,代入, 得, 所以,且, ,故,即,所以直线的斜率为. 13.(2016天津理19)设椭圆的右焦点为,右顶点为,已知,其中为原点,为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程; (2)设过点的直线与椭圆交于点(不在轴上),垂直于的直线与交于点,与轴交于点,若,且,求直线斜率的取值范围. 13.解析 (1)由,即,可得. 又,所以,因此,所以椭圆的方程为 (2)设直线的斜率为(),则直线的方程为. 设,由方程组,消去, 整理得. 解得或.由题意得,从而. 由(1)知,,设,有,. 由,得,所以,解得. 因此直线的方程为. 设,由方程组,消去,解得. 在中,由,得,即, 化简得,即,解得或. 所以直线的斜率的取值范围为. 14.(2107全国3卷理科20)已知抛物线,过点的直线交与,两点,圆是以线段为直径的圆. (1)求证:坐标原点在圆上; (2)设圆过点,求直线与圆的方程. 14.解析 (1)显然当直线斜率为时,直线与抛物线交于一点,不符合题意. 设,,,联立,得, 恒大于,,. ,所以,即点在圆上. (2)若圆过点,则,即,即,即,化简得,解得或. ①当时,,设圆心为, 则,,半径, 则圆. ②当时,,设圆心为, ,,半径,则圆. 题型128 定点问题——暂无 1. (2013安徽理18) 设椭圆的焦点在轴上. (1)若椭圆的焦距为,求椭圆的方程; (2)设分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上第一象限内的点,直线交轴于点,并且.证明:当变化时,点在某定直线上. 2. (2013陕西理20) 已知动圆过定点,且在轴上截得的弦的长为。 (1)求动圆圆心的轨迹的方程; (2)已知点,设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点,若轴是的角平分线,证明直线过定点. 3.(2014 辽宁理 20) (本小题满分12分 )圆的切线与轴正半轴,轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为(如图),双曲线过点且离心率为. (1)求的方程; (2)椭圆过点且与有相同的焦点,直线过的右焦点且与 交于,两点,若以线段为直径的圆过点,求的方程. 4.(2017全国2卷理科20)设为坐标原点,动点在椭圆上,过作轴的垂线,垂足为,点满足. (1)求点的轨迹方程; (2)设点在直线上,且.求证:过点且垂直于的直线过的左焦点. 4.解析 (1)设点,易知,,又, 所以点.又在椭圆上,所以,即. (2)由题知,设,,则,,,,,由,得.又由(1)知,所以,从而,即.又过点存在唯一直线的垂直于,所以过点且垂直于的直线过曲线的左焦点. 5.(2107全国1卷理科20)已知椭圆,四点,,,中恰有三点在椭圆上. (1)求的方程; (2)设直线不经过点且与相交于,两点.若直线与直线的斜率的和为,求证:过定点. 5. 解析 (1)根据椭圆对称性,必过,,又横坐标为1,椭圆必不过,所以过 三点.将代入椭圆方程得,解得, ,所以椭圆的方程为. (2)当斜率不存在时,设, ,得,此时过椭圆右顶点,不存在两个交点, 故不满足. 当斜率存在时,设,,联立, 消去整理得,,, 则 ,又,此时,存在使得成立. 所以直线的方程为. 当时,,所以过定点. 题型129 定值问题 1.(2013山东理22)椭圆的左、右焦点分别是,,离心率为,过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为. (1)求椭圆的方程; (2)点是椭圆上除长轴端点外的任一点,连接,,设的角平分线交的长轴于点,求的取值范围; (3)在(2)的条件下,过点作斜率为的直线,使得与椭圆有且只有一个公共点,设直线,人斜率分别为,,若,试证明为定值,并求出这个定值. 2.(2014 江西理 20)(本小题满分13分) 如图,已知双曲线:的右焦点,点分别在的两条渐近线上,轴,,(为坐标原点). (1)求双曲线的方程; (2)过上一点的直线:与直线相交于点,与直线相交于点.证明:点在上移动时,恒为定值,并求此定值. 3.(2014 北京理 19)(本小题14分) 已知椭圆, (1) 求椭圆的离心率. (2) 设为原点.若点在椭圆上,点在直线上,且,试判断直线与圆的位置关系,并证明你的结论. 4.(2015四川理20)如图所示,椭圆:的离心率是,过点 的动直线与椭圆相交于两点,当直线平行于轴时,直线被椭圆截得的 线段长为. (1)求椭圆的方程; (2)在平面直角坐标系中,是否存在与点不同的定点,使得恒成立? 若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由. 4.分析 (1)根据椭圆的对称性,当直线与轴平行时,,, 将这个点的坐标代入椭圆的方程,得.再根据离心率得, 又,三者联立,解方程组即可得,进而得椭圆的方程为 ;(2)先利用与轴平行和垂直这两种特殊情况找出点的坐标为. 接下来联立直线与椭圆的方程,利用根与系数的关系证明:对任意的直线,均有 .设,,由图可看出,为了证明,只需证明,为此作点关于轴对称的点,这样将问题转化为证 三点共线. 解析 (1)由已知点在椭圆上. 所以,解得,.所以椭圆方程为. (2)当直线与轴平行时,设直线与椭圆相交于两点. 如果存在定点满足条件,则,即. 所以点在轴上,可设点的坐标为. 当直线与轴垂直时,设直线与椭圆相交于两点. 则,,由, 有,解得或. 所以,若存在不同于点的定点满足条件,则点的坐标只可能为. 下面证明:对任意的直线,均有. 当直线的斜率不存在时,由上可知,结论成立. 当直线的斜率存在时,可设直线的方程为,的坐标分别为,. 联立,得. 其判别式,, 所以,. 因此. 易知,点关于轴对称的点的坐标为. 又,, 所以,即三点共线. 所以. 故存在与点不同的定点,使得恒成立. 5.(2016北京理19)已知椭圆的离心率为,, ,,的面积为1. (1)求椭圆的方程; (2)设为椭圆上一点,直线与轴交于点,直线与轴交于点.求证:为定值. 5.解析 可先作出本题的图形: (1)由题设,可得 解得.所以椭圆的方程是. (2)解法一:设椭圆上一点,则. (i) 当时,直线. 令,得.所以. 直线.令,得,所以. 所以 将代入上式得,故为定值. (ii) 当时,,,,所以. 综上所述,为定值. 解法二:可设,再求得, 所以 . 评注 同第(2)问的解法,还可证得以下结论: 若点在椭圆上,椭圆的右顶点、上顶点分别是,直线与轴交于点,直线与轴交于点,则. 题型130 最值问题——暂无 1.(2013广东理20) 已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线:的距离为 设 为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点. (1) 求抛物线的方程; (2) 当点为直线上的定点时,求直线的方程; (3) 当点在直线上移动时,求的最小值. 2.(2014 浙江理 21)(本题满分15分) 如图,设椭圆动直线与椭圆只有一个公共点,且点在第一象限. (1) 已知直线的斜率为,用表示点的坐标; (2) 若过原点的直线与垂直,证明:点到直线的距离的最大值为. 3.(2014 福建理 9)设分别为和椭圆上的点,则两点间的最大距离是( ). A. B. C. D. 4.(2014 山东理 21)(本小题满分14分) 已知抛物线的焦点为,为上异于原点的任意一点,过点的直线交于另一点,交轴的正半轴于点,且有|,当点的横坐标为时,为正三角形. (1)求的方程; (2)若直线,且和有且只有一个公共点, (i)证明直线过定点,并求出定点坐标; (ii)的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由. 5.(2014 四川理 20)已知椭圆的焦距为,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形. (1)求椭圆的标准方程; (2)设为椭圆的左焦点,为直线上任意一点,过作的垂线交椭圆于点. (i)证明:平分线段(其中为坐标原点); (ii)当最小时,求点的坐标. 6. (2107浙江21)如图所示,已知抛物线.点,,抛物线上的点,过点作直线的垂线,垂足为. (1)求直线斜率的取值范围; (2)求的最大值. 6.解析 (1)设直线的斜率为,已知,,则. 因为,所以,所以直线斜率的取值范围是. (2)因为直线,且,所以直线的方程为,联立直线与的方程,解得点的横坐标是. 因为,,,所以, 令, 因为,当时,,当时,,所以在上单调递增,上单调递减,因此当时,取得最大值.查看更多