北师大版高三数学复习专题-导数及其应用基础达标-第3章第4节
第三章 第四节
一、选择题
1.设 f(x)= x2 x≥0
2x x<0
,则错误! f(x)dx 的值是( )
A.错误!x2dx B.错误!2xdx
C.错误!x2dx+错误!2xdx D.错误!2xdx+错误!x2dx
[答案] D
[解析] 由分段函数的积分公式知选 D.
2.一物体的下落速度为 v(t)=9.8t+6.5(单位:m/s),则下落后第二个 4s 内经过的路程
是( )
A.249m B.261.2m
C.310.3m D.450m
[答案] B
[解析] 所求路程为错误!(9.8t+6.5)dt=(4.9t2+6.5t)|84
=4.9×64+6.5×8-4.9×16-6.5×4
=313.6+52-78.4-26=261.2(m).
3.若 S1=错误!x2dx,S2=错误!1
xdx,S3=错误!exdx,则 S1,S2,S3 的大小关系为( )
A.S1
2.7,∴S3>3>S1>S2.故选 B.
4.(2014·山东高考)直线 y=4x 与曲线 y=x3 在第一象限内围成的封闭图形的面积为
( )
A.2 2 B.4 2
C.2 D.4
[答案] D
[解析] 如图所示
由 y=4x,
y=x3.
解得 x=2,
y=8,
或 x=-2,
y=-8.
∴第一象限的交点坐标为(2,8)
由定积分的几何意义得,S=错误!(4x-x3)dx=(2x2-x4
4)|20=8-4=4.
5.由曲线 y=x2,y=x3 围成的封闭图形面积为( )
A. 1
12 B.1
4
C.1
3 D. 7
12
[答案] A
[解析] 由 y=x2
y=x3
得交点坐标为(0,0),(1,1).
因此所求图形面积为 S=错误!(x2-x3)dx
=
1
3x3-1
4x4 |10= 1
12.
6.如图所示,在一个长为π,宽为 2 的矩形 OABC 内,曲线 y=
sinx(0≤x≤π)与 x 轴围成如图所示的阴影部分,向矩形 OABC 内随机
投一点(该点落在矩形 OABC 内任何一点是等可能的),则所投的点落
在阴影部分的概率是( )
A.1
π B.2
π
C.3
π D.4
π
[答案] A
[解析] 由题图可知阴影部分是曲边图形,考虑用定积分求出其面积.由题意得 S=
错误!sinxdx=-cosx|π0=-(cosπ-cos0)=2,再根据几何概型的算法易知所求概率是 S
S 矩形 OABC
= 2
2π
=1
π.
二、填空题
7.错误!|x+2|dx=________.
[答案] 29
2
[解析] 原式=错误!(-x-2)dx+错误! (x+2)dx=29
2 .
8.(2014·皖南八校联考)错误! a2-x2dx=________.
[答案] πa2
4
[解析] 错误! a2-x2dx 表示圆 x2+y2=a2 在第二象限的面积,为πa2
4 .
9.(2015·江西七校联考)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 an=错误!1
xdx(n∈N*),则 S100
=________.
[答案] ln101
[解析] 依题意,an=lnx|n+1n =ln(n+1)-lnn,因此 S100=(ln2-ln1)+(ln3-ln2)+…+
(ln101-ln100)=ln101.
三、解答题
10.求下列定积分:
(1)错误!(x2-x)dx;
(4)设 f(x)= x2,x≤0
cosx-1,x>0
,求 错误!f(x)dx.
[解析] (1)错误!(x2-x)dx=
1
3x3-1
2x2
|10 =-1
6.
(3)令 f(x)=3x3+4sinx,x∈ -π
2
,π
2
∵f(x)在 -π
2
,π
2 上为奇函数,
(4)错误! f(x)dx=错误!-1x2dx+错误!(cosx-1)dx
=1
3x3|0-1+(sinx-x)|10=sin1-2
3.
一、选择题
1.与定积分 错误! 1-cosxdx 相等的是( )
A. 2错误!sinx
2dx B. 2错误!|sinx
2|dx
C.| 2错误!sinx
2dx| D.以上结论都不对
[答案] B
[解析] ∵1-cosx=2sin2x
2
,
∴错误! 1-cosxdx
=错误! 2|sinx
2|dx= 2错误!|sinx
2|dx.
2.(2014·江西高考)若 f(x)=x2+2错误!f(x)dx,则 错误!f(x)dx=( )
A.-1 B.-1
3
C.1
3 D.1
[答案] B
[解析] 本题考查定积分的求法.
根据题设条件可得 错误!f(x)dx=-x3
3|10=-1
3.
二、填空题
3.已知 f(x)=3x2+2x+1,若错误! f(x)dx=2f(a),则 a=________.
[答案] -1 或1
3
[解析] 错误!f(x)dx=错误! (3x2+2x+1)dx
=(x3+x2+x)|1-1=4=2f(a).
f(a)=3a2+2a+1=2,解得 a=-1 或1
3.
4.(2015·洛阳统考)用 min{a,b}表示 a,b 两个数中的较小的数,设 f(x)=min{x2,
x}(x≥0),那么由函数 y=f(x)的图像、x 轴、直线 x=1
2
和直线 x=4 所围成的封闭图形的面
积为________.
[答案] 119
24
[解析] 如图所示,所求图形的面积为阴影部分的面积,即
所求的面积 .
三、解答题
5.已知 f(x)为二次函数,且 f(-1)=2,f ′(0)=0,错误!f(x)dx=-2,
(1)求 f(x)的解析式;
(2)求 f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值.
[解析] (1)设 f(x)=ax2+bx+c (a≠0),
则 f ′(x)=2ax+B.
由 f(-1)=2,f ′(0)=0,得
a-b+c=2
b=0
,即 c=2-a
b=0
,∴f(x)=ax2+(2-a).
又 错误!f(x)dx=错误![ax2+(2-a)]dx
=[1
3ax3+(2-a)x]|10=2-2
3a=-2,∴a=6,
从而 f(x)=6x2-4.
(2)∵f(x)=6x2-4,x∈[-1,1].
∴当 x=0 时,f(x)min=-4;当 x=±1 时,f(x)max=2.
6.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c,直线 l1:x=2,直线 l2:y=-t2+8t(其中 0≤t≤2,
t 为常数).若直线 l1,l2 与函数 f(x)的图像以及 l2,y 轴与函数 f(x)的图像
所围成的封闭图形如图阴影所示.
(1)求 a,b,c 的值;
(2)求阴影面积 S 关于 t 的函数 S(t)的解析式.
[解析] (1)由图形可知二次函数的图像过点(0,0),(8,0),并且 f(x)的最大值为 16,
则
c=0,
a·82+b·8+c=0,
4ac-b2
4a
=16,
解得
a=-1,
b=8,
c=0.
(2)由(1),得 f(x)=-x2+8x,由 y=-t2+8t,
y=-x2+8x,
得 x2-8x-t(t-8)=0,
∴x1=t,x2=8-t.
∵0≤t≤2,
∴直线 l2 与 f(x)的图像的交点坐标为(t,-t2+8t).
由定积分的几何意义知:
S(t)=错误![(-t2+8t)-(-x2+8x)]dx+错误![(-x2+8x)-(-t2+8t)]dx
=[(-t2+8t)x-(-x3
3
+4x2)]|t0+[(-x3
3
+4x2)-(-t2+8t)x]|2t
=-4
3t3+10t2-16t+40
3 .
所以 S(t)=-4
3t3+10t2-16t+40
3 (0≤t≤2).