北师大版高三数学复习专题-导数及其应用基础达标-第3章第4节

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北师大版高三数学复习专题-导数及其应用基础达标-第3章第4节

第三章 第四节 一、选择题 1.设 f(x)= x2 x≥0 2x x<0 ,则错误! f(x)dx 的值是( ) A.错误!x2dx B.错误!2xdx C.错误!x2dx+错误!2xdx D.错误!2xdx+错误!x2dx [答案] D [解析] 由分段函数的积分公式知选 D. 2.一物体的下落速度为 v(t)=9.8t+6.5(单位:m/s),则下落后第二个 4s 内经过的路程 是( ) A.249m B.261.2m C.310.3m D.450m [答案] B [解析] 所求路程为错误!(9.8t+6.5)dt=(4.9t2+6.5t)|84 =4.9×64+6.5×8-4.9×16-6.5×4 =313.6+52-78.4-26=261.2(m). 3.若 S1=错误!x2dx,S2=错误!1 xdx,S3=错误!exdx,则 S1,S2,S3 的大小关系为( ) A.S12.7,∴S3>3>S1>S2.故选 B. 4.(2014·山东高考)直线 y=4x 与曲线 y=x3 在第一象限内围成的封闭图形的面积为 ( ) A.2 2 B.4 2 C.2 D.4 [答案] D [解析] 如图所示 由 y=4x, y=x3. 解得 x=2, y=8, 或 x=-2, y=-8. ∴第一象限的交点坐标为(2,8) 由定积分的几何意义得,S=错误!(4x-x3)dx=(2x2-x4 4)|20=8-4=4. 5.由曲线 y=x2,y=x3 围成的封闭图形面积为( ) A. 1 12 B.1 4 C.1 3 D. 7 12 [答案] A [解析] 由 y=x2 y=x3 得交点坐标为(0,0),(1,1). 因此所求图形面积为 S=错误!(x2-x3)dx = 1 3x3-1 4x4 |10= 1 12. 6.如图所示,在一个长为π,宽为 2 的矩形 OABC 内,曲线 y= sinx(0≤x≤π)与 x 轴围成如图所示的阴影部分,向矩形 OABC 内随机 投一点(该点落在矩形 OABC 内任何一点是等可能的),则所投的点落 在阴影部分的概率是( ) A.1 π B.2 π C.3 π D.4 π [答案] A [解析] 由题图可知阴影部分是曲边图形,考虑用定积分求出其面积.由题意得 S= 错误!sinxdx=-cosx|π0=-(cosπ-cos0)=2,再根据几何概型的算法易知所求概率是 S S 矩形 OABC = 2 2π =1 π. 二、填空题 7.错误!|x+2|dx=________. [答案] 29 2 [解析] 原式=错误!(-x-2)dx+错误! (x+2)dx=29 2 . 8.(2014·皖南八校联考)错误! a2-x2dx=________. [答案] πa2 4 [解析] 错误! a2-x2dx 表示圆 x2+y2=a2 在第二象限的面积,为πa2 4 . 9.(2015·江西七校联考)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 an=错误!1 xdx(n∈N*),则 S100 =________. [答案] ln101 [解析] 依题意,an=lnx|n+1n =ln(n+1)-lnn,因此 S100=(ln2-ln1)+(ln3-ln2)+…+ (ln101-ln100)=ln101. 三、解答题 10.求下列定积分: (1)错误!(x2-x)dx; (4)设 f(x)= x2,x≤0 cosx-1,x>0 ,求 错误!f(x)dx. [解析] (1)错误!(x2-x)dx= 1 3x3-1 2x2 |10 =-1 6. (3)令 f(x)=3x3+4sinx,x∈ -π 2 ,π 2 ∵f(x)在 -π 2 ,π 2 上为奇函数, (4)错误! f(x)dx=错误!-1x2dx+错误!(cosx-1)dx =1 3x3|0-1+(sinx-x)|10=sin1-2 3. 一、选择题 1.与定积分 错误! 1-cosxdx 相等的是( ) A. 2错误!sinx 2dx B. 2错误!|sinx 2|dx C.| 2错误!sinx 2dx| D.以上结论都不对 [答案] B [解析] ∵1-cosx=2sin2x 2 , ∴错误! 1-cosxdx =错误! 2|sinx 2|dx= 2错误!|sinx 2|dx. 2.(2014·江西高考)若 f(x)=x2+2错误!f(x)dx,则 错误!f(x)dx=( ) A.-1 B.-1 3 C.1 3 D.1 [答案] B [解析] 本题考查定积分的求法. 根据题设条件可得 错误!f(x)dx=-x3 3|10=-1 3. 二、填空题 3.已知 f(x)=3x2+2x+1,若错误! f(x)dx=2f(a),则 a=________. [答案] -1 或1 3 [解析] 错误!f(x)dx=错误! (3x2+2x+1)dx =(x3+x2+x)|1-1=4=2f(a). f(a)=3a2+2a+1=2,解得 a=-1 或1 3. 4.(2015·洛阳统考)用 min{a,b}表示 a,b 两个数中的较小的数,设 f(x)=min{x2, x}(x≥0),那么由函数 y=f(x)的图像、x 轴、直线 x=1 2 和直线 x=4 所围成的封闭图形的面 积为________. [答案] 119 24 [解析] 如图所示,所求图形的面积为阴影部分的面积,即 所求的面积 . 三、解答题 5.已知 f(x)为二次函数,且 f(-1)=2,f ′(0)=0,错误!f(x)dx=-2, (1)求 f(x)的解析式; (2)求 f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值. [解析] (1)设 f(x)=ax2+bx+c (a≠0), 则 f ′(x)=2ax+B. 由 f(-1)=2,f ′(0)=0,得 a-b+c=2 b=0 ,即 c=2-a b=0 ,∴f(x)=ax2+(2-a). 又 错误!f(x)dx=错误![ax2+(2-a)]dx =[1 3ax3+(2-a)x]|10=2-2 3a=-2,∴a=6, 从而 f(x)=6x2-4. (2)∵f(x)=6x2-4,x∈[-1,1]. ∴当 x=0 时,f(x)min=-4;当 x=±1 时,f(x)max=2. 6.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c,直线 l1:x=2,直线 l2:y=-t2+8t(其中 0≤t≤2, t 为常数).若直线 l1,l2 与函数 f(x)的图像以及 l2,y 轴与函数 f(x)的图像 所围成的封闭图形如图阴影所示. (1)求 a,b,c 的值; (2)求阴影面积 S 关于 t 的函数 S(t)的解析式. [解析] (1)由图形可知二次函数的图像过点(0,0),(8,0),并且 f(x)的最大值为 16, 则 c=0, a·82+b·8+c=0, 4ac-b2 4a =16, 解得 a=-1, b=8, c=0. (2)由(1),得 f(x)=-x2+8x,由 y=-t2+8t, y=-x2+8x, 得 x2-8x-t(t-8)=0, ∴x1=t,x2=8-t. ∵0≤t≤2, ∴直线 l2 与 f(x)的图像的交点坐标为(t,-t2+8t). 由定积分的几何意义知: S(t)=错误![(-t2+8t)-(-x2+8x)]dx+错误![(-x2+8x)-(-t2+8t)]dx =[(-t2+8t)x-(-x3 3 +4x2)]|t0+[(-x3 3 +4x2)-(-t2+8t)x]|2t =-4 3t3+10t2-16t+40 3 . 所以 S(t)=-4 3t3+10t2-16t+40 3 (0≤t≤2).
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