四川省棠湖中学2018-2019学年高二上学期开学考试数学（理）试题

四川省棠湖中学2018-2019学年高二上学期开学考试数学（理）试题

四川省棠湖中学2018-2019学年高二上学期开学考试 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若直线过点且与直线垂直,则的方程为 ‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎2.已知等差数列中，若，则它的前7项和为 ‎ A.120 B.115 错误！未找到引用源。 C.110 错误！未找到引用源。 D.105 ‎ ‎3.在中，分别为角所对的边，若，则 ‎ A. 一定是锐角三角形 B. 一定是钝角三角形 C. 一定是斜三角形 D. 一定是直角三角形 ‎4．一个球的内接正方体的表面积为54,则该球的表面积为 ‎ A. 27π B. 18π C. 19π D. 54π ‎5．若a，b∈R且a＋b＝0，则2a＋2b的最小值是 ‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎6．给出下列四种说法：‎ ‎① 若平面，直线，则；‎ ‎② 若直线，直线，直线，则；‎ ‎③ 若平面，直线，则； ‎ ‎④ 若直线，，则.其中正确说法的个数为 ‎ A.个 B.个 C. 个 D.个 ‎7．设等差数列的前n项和为,若,,则当取最小值时,等于 ‎ A. B. C. D.‎ ‎8．已知函数是R上的增函数，则的取值范围是 ‎ A．≤＜0 B．≤≤ C．≤ D．＜0‎ ‎9．一个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为1、、3，则这个三棱锥的外接球的表面积为 ‎ A． B． C. D．‎ ‎10．的内角的对边分别为，已知，，则的面积的最大值为 A． B． C． D．‎ ‎11．将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象．若函数在区间上单调递增，且的最大负零点在区间上，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎12.在中，若，且，，则 ‎ A．8 B．2 C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二.填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知数列的前项和为，则数列的通项公式为 . ‎ ‎14.已知向量满足，，且，则与的夹角为 ．‎ ‎15．一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，在其中有一个高为xcm的内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，x= .‎ ‎16.已知数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。，且数列为等差数列.若，，______.‎ 三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.本大题共70分）‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 光线通过点，在直线上反射，反射光线经过点.‎ ‎(Ⅰ)求点关于直线对称点的坐标；‎ ‎(Ⅱ)求反射光线所在直线的一般式方程．‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 已知数列的前项和为,且.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)若数列的前项和为,求 ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知向量，，函数．‎ ‎(Ⅰ)当时，求的值域；‎ ‎(Ⅱ)若对任意，，求实数的取值范围．‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 如图,在四棱锥中,底面是正方形,其他四个侧面都是等边三角形,与的交点为,为侧棱上一点. ‎ ‎(Ⅰ)当为侧棱的中点时,求证:∥平面;‎ ‎(Ⅱ)求证:平面平面;‎ ‎(III)当二面角的大小为时, 试判断点在上的位置,并说明理由.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 在中，角的对边分别为，已知，.‎ ‎(Ⅰ)若，求的面积；‎ ‎(Ⅱ)求的最大值，并判断此时的形状.‎ ‎22.（本小题满分12分） ‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)若在内为增函数，求实数的取值范围；‎ ‎(Ⅱ)若关于的方程在内有唯一实数解，求实数的取值范围.‎ 四川省棠湖中学2018-2019学年高二上学期开学考试 数学（理科）答案 ‎1-5：ADDAA 6-10：DBBAB 11-12：CA ‎13． 14． 15.x=3 cm 16．3027‎ ‎17.（Ⅰ）设点关于直线l的对称点为，则 3分 解得，即点关于直线l的对称点为． 5分 ‎（Ⅱ）由于反射光线所在直线经过点和，所以反射光线所在直线的方程为即. 10分 ‎18.(1).当时, .当时, ,‎ 所以,即,‎ 所以数列是以首项为2,公比为2的等比数列,‎ 故.……………………………………………6分 ‎(2).令,则①,‎ ‎①,得②,‎ ‎①-②,得,‎ 整理得……………………………………………12分 ‎19．（12分）‎ 解：（1） …………………1分 ‎ ……………………………………………3分 ‎ ……………………………………………4分 当时，，，‎ 所以的值域为． ……………………………………………6分 ‎（2）令，，由（1）得，‎ 问题等价于，恒成立， …………………7分 当时，； ………………………………………………8分 当时，，恒成立，‎ 因为，，当且仅当时，等号成立，‎ 所以的最小值为2，故， ………………………………11分 综上，实数的取值范围为． …………………………………12分 ‎20.证明:(1)连接,由条件可得∥. 因为平面,平面, 所以∥平面 4分 (2)由已知可得,,是中点, 所以, 又因为四边形是正方形,所以. 因为,所以. 又因为,所以平面平面 8分 (3)解:连接,由(Ⅱ)知. 而, 所以. 又. 所以是二面角的平面角,即. 设四棱锥的底面边长为2, 在中,, , 所以 ‎, 又因为, , 所以是等腰直角三角形. 由可知,点是的中点 12分 ‎ ‎21．解：由 ‎，‎ 由余弦定理得：‎ ‎ ‎ ‎（2）法一：‎ ‎ ‎ 此时为等边三角形 法二：由余弦定理得：‎ ‎ ‎ 当且仅当等号成立，‎ 此时为等边三角形. ‎ ‎22. （1）设，由题知在上为增函数，‎ ‎ 且>0即解得 ………5分 ‎（2）关于的方程在内有唯一实数解 即方程=在内有唯一实数解，……………………7分 在内有唯一实数解，‎ 设，则在单调递减，在单调递增，‎ ‎ 且，，‎ 或，或 ……………………12分