数学卷·2018届福建省福州市文博中学高二上学期期中数学试卷（解析版）

数学卷·2018届福建省福州市文博中学高二上学期期中数学试卷（解析版）

‎2016-2017学年福建省福州市文博中学高二（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上．）‎ ‎1．若数列的前4项分别是，则此数列的一个通项公式为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．下列命题中正确的是（　　）‎ A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b，c＜d，则＞‎ C．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d D．若ab＞0，a＞b，则＜‎ ‎3．已知不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集是∅，则（　　）‎ A．a＜0，△＞0 B．a＜0，△≤0 C．a＞0，△≤0 D．a＞0，△＞0‎ ‎4．已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则有（　　）‎ A．a1+a101＞0 B．a2+a100＜0 C．a3+a99=0 D．a51=51‎ ‎5．在△ABC中，若b=2asinB，则A等于（　　）‎ A．30°或60° B．45°或60° C．120°或60° D．30°或150°‎ ‎6．若三条线段的长为5、6、7，则用这三条线段（　　）‎ A．能组成直角三角形 B．能组成锐角三角形 C．能组成钝角三角形 D．不能组成三角形 ‎7．下列函数中，y的最小值为2的是（　　）‎ A．y=x+ B．y=x+（x＞0）‎ C．y=x+（x＞0） D．y=+‎ ‎8．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=12，S6=60，则S9=（　　）‎ A．192 B．300 C．252 D．360‎ ‎9．△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，S表示△‎ ABC的面积，若acosB+bcosA=csinC，S△ABC=（b2+c2﹣a2），则角B等于（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎10．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使在C塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC=45°，则塔高AB的高度为（　　）‎ A．10 B．10 C．10 D．10‎ ‎11．设实数x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为 12，则+的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．4‎ ‎12．将等差数列1，4，7…，按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵．根据这个排列规则，数阵中第20行从左至右的第3个数是（　　）‎ A．571 B．574 C．577 D．580‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卡作答）.‎ ‎13．不等式组表示的平面区域是一个三角形，则这三角形的面积为　　．‎ ‎14．在△ABC中，A=60°，|AB|=2，且△ABC的面积为，则|AC|=　　．‎ ‎15．设等比数列{an}满足a1+a3=10，a2+a4=5，记Mn=2a1a2…an，求Mn的最大值=　　．‎ ‎16．如图，第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来，（n=1、2、3、…）‎ 则在第n个图形中共有　　个顶点．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是{x|＜x＜2}，‎ ‎（1）求a的值； ‎ ‎（2）求不等式＞a+5的解集．‎ ‎18．已知△ABC的三内角A，B，C，所对三边分别为a，b，c，A＜且sin（A﹣）=．‎ ‎（1）求sinA的值；‎ ‎（2）若△ABC的面积s=24，b=10，求a的值．‎ ‎19．已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n，{bn}是等差数列，且an=bn+bn+1．‎ ‎（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎20．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，BC=6，tan∠ABC=﹣2．‎ ‎（I）若∠ACD=，求AC的长；‎ ‎（Ⅱ）若BD=9，求△BCD的面积．‎ ‎21．某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元．该公司第n年需要付出设备的维修和工人工资等费用an的信息如图．‎ ‎（1）求an；‎ ‎（2）引进这种设备后，第几年后该公司开始获利；‎ ‎（3）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？‎ ‎22．若数列{an}是的递增等差数列，其中的a3=5，且a1，a2，a5成等比数列，‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=，求数列{bn}的前项的和Tn．‎ ‎（3）是否存在自然数m，使得＜Tn＜对一切n∈N*恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．‎ ‎　‎ 四、附加题（共20分）（8班的同学或做完以上题的同学，可以接着做附加题部分）‎ ‎23．若二次函数f（x）≥0的解的区间是[﹣1，5]，则不等式（1﹣x）•f（x）≥0的解为　　．‎ ‎24．已知{an}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N+，bn是an和an+1的等比中项．‎ ‎（1）设cn=bn+12﹣bn2，n∈N+，求证：数列{cn}是等差数列；‎ ‎（2）设a1=d，Tn=（﹣1）kbk2，n∈N*，求证：＜．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年福建省福州市文博中学高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上．）‎ ‎1．若数列的前4项分别是，则此数列的一个通项公式为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】数列的概念及简单表示法．‎ ‎【分析】由数列的前4项分别是，可知：第n项的符号为（﹣1）n+1，其绝对值为．即可得出．‎ ‎【解答】解：由数列的前4项分别是，‎ 可知：第n项的符号为（﹣1）n+1，其绝对值为．‎ 因此此数列的一个通项公式为an=．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．下列命题中正确的是（　　）‎ A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b，c＜d，则＞‎ C．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d D．若ab＞0，a＞b，则＜‎ ‎【考点】不等式的基本性质．‎ ‎【分析】由不等式的性质逐个选项验证可得．‎ ‎【解答】解：选项A，当a＞b时，取c=0，则ac2＞bc2不成立，故错误；‎ 选项B，取a=d=1，b=0，c=﹣1，可得=﹣1， =0，显然＞不成立，故错误；‎ 选项C，取a=2，b=1，c=2，d=1，显然有a﹣c=b﹣d，故错误；‎ 选项D，∵ab＞0，a＞b，∴由不等式的性质可得，即＜，故正确．‎ 故选：D ‎　‎ ‎3．已知不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集是∅，则（　　）‎ A．a＜0，△＞0 B．a＜0，△≤0 C．a＞0，△≤0 D．a＞0，△＞0‎ ‎【考点】一元二次不等式的应用．‎ ‎【分析】由不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集是∅，可得对应的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向上且与x轴至多一个交点，由此可得结论．‎ ‎【解答】解：∵不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集是∅，‎ ‎∴对应的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向上且与x轴至多一个交点，‎ ‎∴a＞0，△≤0‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎4．已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则有（　　）‎ A．a1+a101＞0 B．a2+a100＜0 C．a3+a99=0 D．a51=51‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】根据特殊数列an=0可直接得到a3+a99=0，进而看得到答案．‎ ‎【解答】解：取满足题意的特殊数列an=0，即可得到a3+a99=0‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．在△ABC中，若b=2asinB，则A等于（　　）‎ A．30°或60° B．45°或60° C．120°或60° D．30°或150°‎ ‎【考点】正弦定理的应用．‎ ‎【分析】结合已知及正弦定理可求sinA，进而可根据特殊角的三角形函数值可求A ‎【解答】解：∵b=2asinB，‎ 由正弦定理可得，sinB=2sinAsinB ‎∵sinB≠0‎ ‎∴sinA=‎ ‎∴A=30°或150°‎ 故选D ‎　‎ ‎6．若三条线段的长为5、6、7，则用这三条线段（　　）‎ A．能组成直角三角形 B．能组成锐角三角形 C．能组成钝角三角形 D．不能组成三角形 ‎【考点】三角形的形状判断．‎ ‎【分析】利用余弦定理可判断最大角，从而可得答案．‎ ‎【解答】解：∵三条线段的长为5、6、7，‎ ‎∴满足任意两边之和大于第三边，‎ ‎∴能构成三角形，可排除D；‎ 设此三角形最大角为A，‎ ‎∵52+62﹣72=25+36﹣49=12＞0，‎ ‎∴cosA＞0，‎ ‎∴能组成锐角三角形．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．下列函数中，y的最小值为2的是（　　）‎ A．y=x+ B．y=x+（x＞0）‎ C．y=x+（x＞0） D．y=+‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】由基本不等式：一正，二定，三相等，分别对各个选项进行验证即可的答案．‎ ‎【解答】‎ 解：基本不等式的应用要把握三条：一正，二定，三相等，缺一不可．‎ 故选项A，x≠0不能满足一正；选项C，y=x+（x＞0）≥=4；‎ 选项D，当时取等号，此时x2=﹣1，矛盾；‎ 故只由选项B正确．‎ 故选B ‎　‎ ‎8．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=12，S6=60，则S9=（　　）‎ A．192 B．300 C．252 D．360‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】由等比数列的前n项和公式的性质可得：S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等比数列，即可得出．‎ ‎【解答】解：由等比数列的前n项和公式的性质可得：S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等比数列，‎ ‎∴=S3•（S9﹣S6），‎ ‎∴（60﹣12）2=12×（S9﹣60），‎ 解得S9=252．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，S表示△ABC的面积，若acosB+bcosA=csinC，S△ABC=（b2+c2﹣a2），则角B等于（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎【考点】正弦定理；余弦定理．‎ ‎【分析】先利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，化简整理求得sinC的值，进而求得C，然后利用三角形面积公式求得S的表达式，进而求得a=b，推断出三角形为等腰直角三角形，进而求得∠B．‎ ‎【解答】解：由正弦定理可知acosB+bcosA=2RsinAcosB+2RsinBcosA=2Rsin（A+B）=2RsinC=2RsinC•sinC ‎∴sinC=1，C=90°．‎ ‎∴S=ab=（b2+c2﹣a2），‎ 解得a=b，因此∠B=45°．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎10．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使在C塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC=45°，则塔高AB的高度为（　　）‎ A．10 B．10 C．10 D．10‎ ‎【考点】解三角形的实际应用．‎ ‎【分析】先在△ABC中求出BC，再△BCD中利用正弦定理，即可求得结论．‎ ‎【解答】解：设塔高AB为x米，根据题意可知在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x，从而有BC=x，AC=x 在△BCD中，CD=10，∠BCD=60°+30°+15°=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°‎ 由正弦定理可得， =‎ ‎∴BC==10‎ ‎∴x=10‎ ‎∴x=‎ 故塔高AB=‎ ‎　‎ ‎11．设实数x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为 12，则+的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．4‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数可得6a+8b=12，即．然后利用“1”的代换，结合基本不等式求得最值．‎ ‎【解答】解：由约束条件作出可行域如图，‎ 联立，解得A（6，8），‎ 化目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）为，‎ 由图可知，当直线为过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为6a+8b=12．‎ ‎∴．‎ 则+=（）（）=．‎ 当且仅当a=b=时上式等号成立．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．将等差数列1，4，7…，按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵．根据这个排列规则，数阵中第20行从左至右的第3个数是（　　）‎ A．571 B．574 C．577 D．580‎ ‎【考点】归纳推理．‎ ‎【分析】设各行的首项组成数列{an}，则a2﹣a1=3，a3﹣a2=6，…，an﹣an﹣1=3（n﹣1），叠加可得：an=+1，由此可求数阵中第20行从左至右的第3个数．‎ ‎【解答】解：设各行的首项组成数列{an}，则a2﹣a1=3，a3﹣a2=6，…，an﹣an﹣1=3（n﹣1）‎ 叠加可得：an﹣a1=3+6+…+3（n﹣1）=，‎ ‎∴an=+1‎ ‎∴a20=+1=571‎ ‎∴数阵中第20行从左至右的第3个数是577．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卡作答）.‎ ‎13．不等式组表示的平面区域是一个三角形，则这三角形的面积为　2　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域，求出三角形三个顶点的坐标，得到|AB|，再由三角形面积公式得答案．‎ ‎【解答】解：由约束条件作出可行域如图，‎ 联立，解得B（4，﹣1），‎ 联立，解得C（2，1），又A（0，﹣1），‎ ‎∴|AB|=4，‎ 则．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎14．在△ABC中，A=60°，|AB|=2，且△ABC的面积为，则|AC|=　1　．‎ ‎【考点】三角形中的几何计算；三角形的面积公式．‎ ‎【分析】直接利用三角形的面积公式求解即可．‎ ‎【解答】解：在△ABC中，A=60°，|AB|=2，且△ABC的面积为，‎ 所以，‎ 则|AC|=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎15．设等比数列{an}满足a1+a3=10，a2+a4=5，记Mn=2a1a2…an，求Mn的最大值=　64　．‎ ‎【考点】等比数列的性质．‎ ‎【分析】求出数列的等比与首项，化简a1a2…an，然后求解最值．‎ ‎【解答】解：等比数列{an}满足a1+a3=10，a2+a4=5，‎ 可得q（a1+a3）=5，解得q=．‎ a1+q2a1=10，解得a1=8．‎ 则a1a2…an=a1n•q1+2+3+…+（n﹣1）=8n•（）=2=2，‎ 当n=3或4时，Mn的最大值=2=64．‎ 故答案是：64．‎ ‎　‎ ‎16．如图，第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来，（n=1、2、3、…）‎ 则在第n个图形中共有　（n+2）（n+3）　个顶点．‎ ‎【考点】归纳推理．‎ ‎【分析】本题考查的知识点是归纳推理，由已知图形中，我们可以列出顶点个数与多边形边数n，然后分析其中的变化规律，然后用归纳推理可以推断出一个一般性的结论．‎ ‎【解答】解：由已知中的图形我们可以得到：‎ 当n=1时，顶点共有12=3×4（个），‎ n=2时，顶点共有20=4×5（个），‎ n=3时，顶点共有30=5×6（个），‎ n=4时，顶点共有42=6×7（个），‎ ‎…‎ 由此我们可以推断：‎ 第n个图形共有顶点（n+2）（n+3）个，‎ 故答案为：（n+2）（n+3）．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是{x|＜x＜2}，‎ ‎（1）求a的值； ‎ ‎（2）求不等式＞a+5的解集．‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】（1）由已知不等式的解集得到ax2+5x﹣2=0的两个实数根为和2，利用韦达定理即可求出a的值；‎ ‎（2）将求出的a的值代入不等式中，变形后，根据两数相乘积小于0，得到两因式异号转化为两个一元一次不等式组，即可求出不等式的解集．‎ ‎【解答】解：（1）依题意可得：ax2+5x﹣2=0的两个实数根为和2，‎ 由韦达定理得： +2=﹣，解得：a=﹣2；‎ ‎（2）将a=﹣2代入不等式得：＞3，即﹣3＞0，‎ 整理得：＞0，即（x+1）（x+2）＜0，‎ 可得或，‎ 解得：﹣2＜x＜﹣1，‎ 则不等式的解集为{x|﹣2＜x＜﹣1}．‎ ‎　‎ ‎18．已知△ABC的三内角A，B，C，所对三边分别为a，b，c，A＜且sin（A﹣）=．‎ ‎（1）求sinA的值；‎ ‎（2）若△ABC的面积s=24，b=10，求a的值．‎ ‎【考点】两角和与差的正弦函数．‎ ‎【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求得cos（A﹣），再利用两角和的正弦公式求得sinA=sin[（A﹣）+]的值．‎ ‎（2）根据s=bc•sinA=24，求得c的值，再利用余弦定理求得a= 的值．‎ ‎【解答】解：（1）△ABC的三内角A，B，C，所对三边分别为a，b，c，A＜且sin（A﹣）=，‎ ‎∴A﹣为锐角，故cos（A﹣）==，‎ ‎∴sinA=sin[（A﹣）+]=sin（A﹣）cos+cos（A﹣）sin=+=．‎ ‎（2）若△ABC的面积s=24，b=10，∴s=bc•sinA=•=24，∴c=6，‎ ‎∵cosA==，∴a====8．‎ ‎　‎ ‎19．已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n，{bn}是等差数列，且an=bn+bn+1．‎ ‎（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式，再求数列{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求出数列{cn}的通项，利用错位相减法求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）Sn=3n2+8n，‎ ‎∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=6n+5，‎ n=1时，a1=S1=11，∴an=6n+5；‎ ‎∵an=bn+bn+1，‎ ‎∴an﹣1=bn﹣1+bn，‎ ‎∴an﹣an﹣1=bn+1﹣bn﹣1．‎ ‎∴2d=6，‎ ‎∴d=3，‎ ‎∵a1=b1+b2，‎ ‎∴11=2b1+3，‎ ‎∴b1=4，‎ ‎∴bn=4+3（n﹣1）=3n+1；‎ ‎（Ⅱ）cn===6（n+1）•2n，‎ ‎∴Tn=6[2•2+3•22+…+（n+1）•2n]①，‎ ‎∴2Tn=6[2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1]②，‎ ‎①﹣②可得﹣Tn=6[2•2+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1]=12+6×﹣6（n+1）•2n+1=（﹣6n）•2n+1=﹣3n•2n+2，‎ ‎∴Tn=3n•2n+2．‎ ‎　‎ ‎20．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，BC=6，tan∠ABC=﹣2．‎ ‎（I）若∠ACD=，求AC的长；‎ ‎（Ⅱ）若BD=9，求△BCD的面积．‎ ‎【考点】解三角形．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由同角的三角函数的关系求出sin∠ABC=，由正弦定理即可求出AC，‎ ‎（Ⅱ）分别利用正弦定理和余弦定理和三角形的面积公式即可求出．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）：∵AB∥CD，∠ACD=，‎ ‎∴∠BAC=∠ACD=，‎ ‎∵tan∠ABC=﹣2，‎ ‎∴sin∠ABC=﹣2cos∠ABC，‎ ‎∵sin2∠ABC+cos2∠ABC=1，‎ ‎∴sin∠ABC=，‎ 由正弦定理可得=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴AC=8，‎ ‎（Ⅱ）∵AB∥CD，‎ ‎∴∠BCD=π﹣∠ABC，‎ ‎∴sin∠BCD=sin（π﹣∠ABC）=sin∠ABC=，‎ ‎∴cos∠BCD=，‎ 由余弦定理可得BD2=BC2+CD2﹣2BC•CD•cos∠BCD，‎ 即81=36+CD2﹣2×6×CD×，‎ 解得CD=2+‎ ‎∴S△BCD=CD•BCsin∠BCD=×6×（2+）=6+3．‎ ‎　‎ ‎21．某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元．该公司第n年需要付出设备的维修和工人工资等费用an的信息如图．‎ ‎（1）求an；‎ ‎（2）引进这种设备后，第几年后该公司开始获利；‎ ‎（3）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？‎ ‎【考点】数列的求和；基本不等式；数列的函数特性．‎ ‎【分析】（1）由题意知，每年的费用是以2为首项，2为公差的等差数列，求得：an=a1+2（n﹣1）=2n．‎ ‎（2）设纯收入与年数n的关系为f（n），则f（n）=20n﹣n2﹣25，由此能求出引进这种设备后第2年该公司开始获利．‎ ‎（3）年平均收入为=20﹣（n+）≤20﹣2×5=10，由此能求出这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大．‎ ‎【解答】解：（1）如图，a1=2，a2=4，‎ ‎∴每年的费用是以2为首项，2为公差的等差数列，‎ ‎∴an=a1+2（n﹣1）=2n．‎ ‎（2）设纯收入与年数n的关系为f（n），‎ 则f（n）=21n﹣[2n+×2]﹣25=20n﹣n2﹣25，‎ 由f（n）＞0得n2﹣20n+25＜0，‎ 解得10﹣5＜n＜10+5，‎ 因为n∈N，所以n=2，3，4，…18．‎ 即从第2年该公司开始获利．‎ ‎（3）年平均收入为=20﹣（n+）≤20﹣2×5=10，‎ 当且仅当n=5时，年平均收益最大．‎ 所以这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大．‎ ‎　‎ ‎22．若数列{an}是的递增等差数列，其中的a3=5，且a1，a2，a5成等比数列，‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=，求数列{bn}的前项的和Tn．‎ ‎（3）是否存在自然数m，使得＜Tn＜对一切n∈N*恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】数列的求和；数列与不等式的综合．‎ ‎【分析】（1）利用等差数列的通项公式和等比中项的定义即可得到首项和公差，即可得到通项公式；‎ ‎（2）bn==（﹣），利用“裂项求和”即可得出数列{bn}的前n项和为Tn；‎ ‎（3）先确定≤Tn＜，再根据使得＜Tn＜对一切n∈N*恒成立，建立不等式，即可求得m的值．‎ ‎【解答】解：（1）在等差数列中，设公差为d≠0，‎ 由题意，‎ ‎∴，‎ 解得．‎ ‎∴an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．‎ ‎（2）由（1）知，an=2n﹣1．‎ 则bn===（﹣），‎ 所以Tn=（1﹣+﹣+﹣+﹣）=（1﹣）=；‎ ‎（3）Tn+1﹣Tn=﹣=＞0，‎ ‎∴{Tn}单调递增，‎ ‎∴Tn≥T1=．‎ ‎∵Tn=＜，‎ ‎∴≤Tn＜‎ ‎＜Tn＜对一切n∈N*恒成立，则≤﹣＜‎ ‎∴≤m＜‎ ‎∵m是自然数，‎ ‎∴m=2．‎ ‎　‎ 四、附加题（共20分）（8班的同学或做完以上题的同学，可以接着做附加题部分）‎ ‎23．若二次函数f（x）≥0的解的区间是[﹣1，5]，则不等式（1﹣x）•f（x）≥0的解为　[﹣1，1]∪[5，+∞）　．‎ ‎【考点】二次函数的性质；其他不等式的解法．‎ ‎【分析】由已知可得：不等式（1﹣x）•f（x）≥0⇔（x﹣1）（x+1）（x﹣5）≥0，解出即可．‎ ‎【解答】解：∵二次函数f（x）≥0的解的区间是[﹣1，5]，∴f（x）=0的根分别是﹣1，5，且二次项的系数＜0．‎ ‎∴不等式（1﹣x）•f（x）≥0⇔（x﹣1）（x+1）（x﹣5）≥0，‎ 如图所示：上述不等式解集为[﹣1，1]∪[5，+∞）．‎ 故答案为[﹣1，1]∪[5，+∞）．‎ ‎　‎ ‎24．已知{an}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N+，bn是an和an+1的等比中项．‎ ‎（1）设cn=bn+12﹣bn2，n∈N+，求证：数列{cn}是等差数列；‎ ‎（2）设a1=d，Tn=（﹣1）kbk2，n∈N*，求证：＜．‎ ‎【考点】数列与不等式的综合；等差关系的确定．‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据等差数列和等比数列的性质，建立方程关系，根据条件求出数列{cn}的通项公式，结合等差数列的定义进行证明即可．‎ ‎（2）求出Tn=（﹣1）kbk2的表达式，利用裂项法进行求解，结合放缩法进行不等式的证明即可．‎ ‎【解答】证明：（1）∵{an}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N+，bn是an和an+1的等比中项．‎ ‎∴cn=b﹣b=an+1an+2﹣anan+1=2dan+1，‎ ‎∴cn+1﹣cn=2d（an+2﹣an+1）=2d2为定值；‎ ‎∴数列{cn}是等差数列；‎ ‎（2）Tn=（﹣1）kbk2=（﹣b12+b22）+（﹣b32+b42）+…+（﹣b2n﹣12+b2n2）=2d（a2+a4+…+a2n）=2d ‎=2d2n（n+1），‎ ‎∴==（1﹣…+﹣）=（1﹣）．‎ 即不等式成立．‎ ‎　‎