【数学】四川省宜宾市叙州区第一中学校2019-2020学年高二下学期期中考试(文)

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【数学】四川省宜宾市叙州区第一中学校2019-2020学年高二下学期期中考试(文)

四川省宜宾市叙州区第一中学校2019-2020学年 高二下学期期中考试(文)‎ 注意事项:‎ ‎1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题(60分)‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知全集则 A. B. C. D.‎ ‎2.复数(是虚数单位)的共轭复数的虚部为 ‎ A.-1 B.0 C.1 D.2‎ ‎3.已知等差数列满足:,则 ‎ A.2 B.1 C.0 D.‎ ‎4.椭圆的焦距为,则的值等于 ‎ A. B. C.或 D.‎ ‎5.如果数据x1,x2,…,xn的平均数是,方差是s2,则3x1+2,3x2+2,…,3xn+2的平均数和方差分别是 ‎ A.和s2 B.3和9s2 C.3+2和9s2 D.3+2和12s2+4‎ ‎6. 已知正方形的边长为6,在边上且,为的中点,则 ‎ A.-6 B.12 C. 6 D.-12‎ ‎7.实数a,b,“”是“”的 ‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎8.用电脑每次可以从区间内自动生成一个实数,且每次生成每个实 数都是等可能性的,若用该电脑连续生成3个实数,则这3个实数都大 于的概率为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎9.执行如图所示的框图,若输入,则输出的等于 ‎ A. ‎ B. C. D.‎ ‎10.已知椭圆与抛物线有相同的焦点为原点,点是抛物线准线上一动点,点在抛物线上,且,则的最小值为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知A、B分别为椭圆C:1(a>b>0)的右顶点与上顶点,F是C的左焦点,若FB⊥AB,则该椭圆的离心率为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎12.若在区间[1,+∞)上单调递增,则a的取值范围是 ‎ A.(﹣∞,1) B.(﹣∞,1] C.(1,+∞) D.[1,+∞)‎ 第II卷 非选择题(90分)‎ 二、 填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13.给出命题“若xy=0,则x=0”,在它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是_______.‎ ‎14.若实数满足,则的最小值是 .‎ ‎15.过定点的直线:与圆:相切于点,则 .‎ ‎16.已知函数是定义在上的偶函数,且当时,.若函数有4个零点,则实数的取值范围是__________.‎ 三、 解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。‎ ‎17.(12分)已知函数(,为自然对数的底数),且曲线在点处的切线平行于轴.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(II)求函数的极值.‎ ‎18.(12分)学校计划举办“国学”系列讲座.由于条件限制,按男、女生比例采取分层抽样的方法,从某班选出10人参加活动,在活动前,对所选的10名同学进行了国学素养测试,这10名同学的性别和测试成绩(百分制)的茎叶图如图所示.‎ ‎(Ⅰ)分别计算这10名同学中,男女生测试的平均成绩;‎ ‎(II)若这10名同学中,男生和女生的国学素养测试成绩的标准差分别为S1,S2,试比较S1与S2的大小(不必计算,只需直接写出结果);‎ ‎(III)规定成绩大于等于75分为优良,从这10名同学中随机选取一男一女两名同学,求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率.‎ ‎19.(12分)如图,矩形和菱形所在平面互相垂直,已知,点是线段的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:;‎ ‎(Ⅱ)试问在线段上是否存在点,使得直线平面?若存在,请证明平面,并求出的值;若不存在,请说明理由.‎ 20. ‎(12分)在平面直角坐标系中,已知椭圆E:()‎ 过点,其心率等于.‎ ‎(1)求椭圆E的标准方程;‎ ‎(II)若A,B分别是椭圆E的左,右顶点,动点M满足,且椭圆E于点P.‎ 求证:为定值:‎ ‎21.(12分)设,函数,其导数为 ‎(I)当时,求的单调区间;‎ ‎(II)函数是否存在零点?说明理由;‎ ‎(III)设在处取得最小值,求的最大值 ‎(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(,为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为,若直线与曲线相切; ‎ ‎(I)(1)求曲线的极坐标方程与直线的直角坐标方程;‎ ‎(II)在曲线上取两点,与原点构成,且满足,求面积的最大值.‎ ‎23.[选修4-5:不等式选讲](10分)‎ 已知函数.‎ ‎(I)求不等式的解集;‎ ‎(II)记的最小值为,若正实数,满足,求的最小值.‎ 参考答案 ‎1.A 2.A 3.C 4.C 5.C 6.B 7.B 8.C ‎ ‎9.C 10.A 11.B 12.D ‎13.2 14.2 15. 4 16.‎ ‎17.(Ⅰ)由,得. ‎ 又曲线在点处的切线平行于轴, 得,即,解得. ‎ ‎(Ⅱ), ‎ ‎①当时,,为上的增函数,所以函数无极值. ‎ ‎②当时,令,得,. ‎ ‎,;,. ‎ 所以在上单调递减,在上单调递增, ‎ 故在处取得极小值,且极小值为,无极大值. ‎ 综上,当时,函数无极值; ‎ 当,在处取得极小值,无极大值. ‎ 点睛:求函数极值的步骤:(1) 确定函数的定义域;(2) 求导数;(3) 解方程求出函数定义域内的所有根;(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号,如果左正右负(左增右减),那么在处取极大值,如果左负右正(左减右增),那么在处取极小值. (5)如果只有一个极值点,则在该处即是极值也是最值.‎ ‎18.(1)由茎叶图得男生测试的平均成绩为:=(64+76+77+78)=73.75,‎ 女生测试的平均成绩为:=(56+79+76+70+88+87)=76.‎ ‎(2)由茎叶图观察得S1<S2.‎ ‎(3)设“两名学生的成绩均这优良”为事件A,‎ 男生按成绩由低到高依次为64,76,77,78,‎ 女生按成绩由低到高依次为56,70,76,79,87,88,‎ 则从10名学生中随机选取一男一女两名同学共有24种方取法:‎ ‎{64,56},{64,70},{64,76},{64,79},{64,87},{64,88},‎ ‎{76,56},{76,70},{76,76},{76,79},{76,87},{76,88},‎ ‎{77,56},{77,70},{77,76},{77,79},{77,87},{77,88},‎ ‎{78,56},{78,70},{78,76},{78,79},{78,87},{78,88},‎ 成绩大于等于75分为优良,‎ ‎∴其中两名均为优良的取法有12种取法,分别为:‎ ‎{76,76},{76,79},{76,87},{76,88},{77,76},{77,79},‎ ‎{77,87},{77,88},{78,76},{78,79},{78,87},{78,88},‎ 则这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率 ‎19.解:(Ⅰ)证明:菱形,,,则是等边三角形,‎ 又是线段的中点,‎ ‎∴.‎ 又平面平面,平面平面,‎ 所以平面.‎ 又∵平面,故.‎ ‎(Ⅱ)作的中点,连接交于点,点即为所求的点.‎ 证明:连接,‎ ‎∵是的中点,是的中点,∴,‎ 又平面,平面,∴直线平面.‎ ‎∵,,∴,∴.‎ ‎20.(1)设椭圆焦距为,所以且解得 所以椭圆E的方程为;‎ ‎(2)设,,易得直线的方程为:, ‎ 代入椭圆得,,‎ 由得,,从而,‎ 所以.‎ ‎21.(1)当时,,由于,且时,;时,,所以在的单调递减,在单调递增 ‎(2),令,所以 因为,所以,所以在单调递增 因为,又 所以当时,,此时必有零点,且唯一;‎ 当时,,而 故时,存在唯一零点 ‎(3)由(2)可知存在唯一零点,设零点为 当时,;当时,,‎ 故在的单调递减,在单调递增 所以当时,取得最小值,由条件可得,的最小值为 由于,所以 所以 设 则 令,得;令,得 故在的单调递增,在单调递减,所以 故的最大值是 ‎22.(1)∵直线l的极坐标方程为,‎ ‎∴由题意可知直线l的直角坐标方程为y2,‎ 曲线C是圆心为(,1),半径为r的圆,直线l与曲线C相切,可得r2,‎ ‎∵曲线C的参数方程为(r>0,φ为参数),‎ ‎∴曲线C的普通方程为(x)2+(y﹣1)2=4,‎ 所以曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ=0,即.‎ ‎(2)由(Ⅰ)不妨设M(ρ1,θ),N(ρ2,),(ρ1>0,ρ2>0),‎ ‎ ‎ ‎4sin()sin()=2sinθcosθ+2 ‎ ‎=sin2θ2sin(2),‎ 当时,,故所以△MON面积的最大值为2.‎ ‎23.(1),‎ 当时,,解得,‎ 当时,,故;‎ 当时,,故;‎ 综上:所求不等式的解集为.‎ ‎(2),故,‎ 故 当且仅当时等号成立,故的最小值为.‎
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