2014三明5月份质检理数试卷

2014三明5月份质检理数试卷

‎2014年三明市普通高中毕业班质量检查 理 科 数 学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）， 第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟．‎ 注意事项：‎ ‎ 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．‎ ‎2．考生作答时，将答案答在答题卡上，请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．‎ ‎3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签）笔或碳素笔书写，字体工整、笔记清楚．‎ ‎4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．‎ ‎5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 参考公式：‎ 样本数据，…，的标准差 锥体体积公式 ‎ ‎ 其中为样本平均数 其中为底面面积，为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式 ‎ ‎ 其中为底面面积，为高 其中为球的半径 第I卷（选择题 共50分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 若复数满足 (其中为虚数单位)，则复数为 ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知集合，集合，则等于 A． B． C． D．‎ ‎3．观察下列关于两个变量和的三个散点图，它们从左到右的对应关系依次为 A．正相关、负相关、不相关 B．负相关、不相关、正相关 C．负相关、正相关、不相关 D．正相关、不相关、负相关 ‎4． 设是两条不同直线，是两个不同平面，下列四个命题中正确的是 A．若与所成的角相等，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 ‎5．在二项式的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是 A．－56 B．－‎35 ‎C． 35 D．56‎ ‎6．设且，命题：函数在上是增函数 ，命题：函数在上是减函数，则是的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为 A． B． C． D．‎ ‎8．如图是某个四面体的三视图，若在该四面体的外接球内任取一 点，则点落在四面体内的概率为 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎9．已知函数则函数的零点个数为 A．1 B．‎2 ‎C．3 D．4‎ ‎10．在数列中，，且，，若数列满足，则数列是 A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡相应位置．‎ ‎11．曲线与直线及轴所围成的图形的面积是 ． ‎ ‎12．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的结 ‎ 果是__ __． ‎ ‎13．已知变量满足约束条件若取整数，则 目标函数的最大值是 .‎ ‎14．已知矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，则旋转形成的圆柱的侧面积的最 大值为 . ‎ ‎15．对于集合，如果定义了一种运算“”，使得集合中的元素间满足下述4个条件：‎ ‎（ⅰ），都有；‎ ‎（ⅱ），使得对，都有；‎ ‎（ⅲ），，使得；‎ ‎（ⅳ），都有，‎ 则称集合对于运算“”构成“对称集”．‎ 下面给出三个集合及相应的运算：‎ ‎①，运算“”为普通加法；‎ ‎②，运算“”为普通减法；‎ ‎③，运算“”为普通乘法．‎ 其中可以构成“对称集”的有 ．（把所有正确的序号都填上）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎16．(本小题满分13分) ‎ 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本测得它们的重量（单位：克），在重量分组区间为，，，，的前提下，得到样本的频率分布直方图（如图所示）．若规定重量超过‎495克 但不超过510克的产品为合格产品，且视频率为概率，回答下列问题：‎ ‎(Ⅰ）在上述抽取的40件产品中任取2件，设为合格产品的数量，求的分布列和数学期 望； ‎ ‎(Ⅱ）若从流水线上任取3件产品，求恰有2件合格产品的概率．‎ ‎17．(本小题满分13分)‎ 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，,，‎ P A B C D O ‎17题图 平面平面,若 ‎，，,‎ ‎，且．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面； ‎ ‎（Ⅱ）设平面与平面所成二面角的 大小为，求的值．‎ ‎18．(本小题满分13分)‎ 已知点是抛物线上不同的两点，点在抛物线的准线上，且焦点 到直线的距离为.‎ ‎(I）求抛物线的方程；‎ ‎(Ⅱ）现给出以下三个论断：①直线过焦点；②直线过原点；③直线平行轴．‎ ‎ 请你以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明.‎ ‎19．(本小题满分13分)‎ 已知函数且，记向量，我们称为函数的“相伴向量”，为向量的“相伴函数”.‎ ‎（Ⅰ）若函数的最小正周期为，求函数的“相伴向量”；‎ ‎（Ⅱ）记向量的“相伴函数”为，将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数 ‎，若，求的值；‎ ‎（Ⅲ）对于函数，是否存在“相伴向量”？若存在，求出“相伴向量”；‎ 若不存在，请说明理由.‎ ‎20．(本小题满分14分)‎ 已知函数，，且在点 处的切线方程为.‎ ‎(Ⅰ）求的值；‎ ‎(Ⅱ）若函数在区间内有且仅有一个极值点，求的取值范围； ‎ ‎(Ⅲ）设两曲线，的一个交点为，且在交 点处的切线分别为.若取，试判断当直线与轴围成等腰三角形时值 的个数并说明理由.‎ ‎ 21．本题设有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.‎ ‎（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换 若二阶矩阵满足：.‎ ‎(Ⅰ）求二阶矩阵；‎ ‎(Ⅱ）若曲线在矩阵所对应的变换作用下得到曲线，求曲线的方程.‎ ‎（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系中，圆的方程为．以原点为极点，以轴正半轴为极轴，且与直角坐标系取相同的单位长度，建立极坐标系，直线的极坐标方程为．‎ ‎(Ⅰ）求直线的直角坐标方程和圆的参数方程；‎ ‎(Ⅱ）求圆上的点到直线的距离的最小值． ‎ ‎（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲 设函数.‎ ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若存在实数，使得恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎2014年三明市普通高中毕业班质量检查 理科数学参考答案及评分标准 一、选择题 ‎1．D 2．B 3．D 4．C 5．A 6．D 7．A 8．C 9．B 10．C 二．填空题：‎ ‎11． 12．62 13．5 14． 15．①、③‎ 三、解答题：‎ ‎16．解：（Ⅰ）由样本的频率分布直方图得，合格产品的频率为 ‎ ‎． ………………………………………………2 分 所以抽取的40件产品中，合格产品的数量为． ……………………………3 分 则可能的取值为0,1,2， 　…………………………………………4分 所以,,，‎ 因此的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎……………………7分 故数学期望． …………………9分 ‎(Ⅱ）因为从流水线上任取1件产品合格的概率为， ……………10分 所以从流水线上任取3件产品，恰有2件合格产品的概率为 ‎． ……………………………………………13分 ‎17．解：（Ⅰ）因为 ，，所以， ……………1分 在中，由余弦定理，‎ 得， ……………………………………3分 ‎，， ………………………………………………4分 ‎， …………………………………………………………………5分 又平面平面，平面平面,平面，‎ 平面． ………………………………………………………………6分 E A B C D O P x z y ‎(Ⅱ）如图，过作交于，则，，两两垂直，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， …………………………7分 则，，‎ ‎ ………8分 ‎，‎ ‎，……………………9分 设平面的一个法向量为，‎ 由得即 取则，‎ 所以为平面的一个法向 量． ……………………………11分 平面, 为平面的 一个法向量．‎ 所以 ， ………………………………12分 ‎ ． …………………………………………………13分 ‎18． 解：（I）因为， 依题意得, …………………………2分 解得，所以抛物线的方程为 …………………………………4分 ‎(Ⅱ）①命题：若直线过焦点，且直线过原点，则直线平行轴.‎ ‎…………………………………5分 设直线的方程为，， ………………………6分 由 得，‎ ‎， ……………………………………………8分 直线的方程为， ……………………………………………9分 所以点的坐标为，‎ ‎， ……………………………………………………12分 直线平行于轴. ………………………………………………………13分 ‎②命题：若直线过焦点，且直线平行轴，则直线过原点.‎ ‎…………………………………5分 设直线的方程为，， ………………………6分 由 得，‎ ‎， ……………………………………………8分 即点的坐标为， ……………………………………………9分 ‎ ∵直线平行轴，∴点的坐标为， …………………………10分 ‎ ∴，，‎ ‎ 由于，‎ ‎ ∴∥，即三点共线， ……………………………………………12分 ‎∴直线过原点. ………………………………………………………13分 ‎③命题：若直线过原点，且直线平行轴，则直线过焦点.‎ ‎…………………………………5分 设直线的方程为，则点的坐标为， …………6分 ‎∵直线平行轴，‎ ‎∴，∴，即点的坐标为， ……………………8分 由得，‎ ‎∴即点的坐标为， ……………………………10分 ‎∴，‎ ‎ 由于，‎ ‎ ∴∥，即三点共线， ………………………………………12分 ‎ ∴直线过焦点. ………………………………………………………13分 ‎19．解：（Ⅰ）‎ ‎， ………………………………………1分 依题意得，故. ………………………………………2分 ‎∴，即的“相伴向量”为（1，1）．　　　 ………3分 ‎(Ⅱ）依题意，， ……………………………4分 将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），‎ 得到函数， ………………………………………………………5分 再将所得的图象上所有点向左平移个单位长度，得到，‎ 即， ……………………………6分 ‎∵，∴，‎ ‎ ∵，∴，∴， ……………8分 ‎ ∴.‎ ‎………………………………………………………10分 ‎ (Ⅲ）若函数存在“相伴向量”，‎ ‎ 则存在，使得对任意的都成立，……………11分 ‎ 令，得，‎ ‎ 因此，即或，‎ ‎ 显然上式对任意的都成立是错误的，‎ ‎ 所以函数不存在“相伴向量”. …………………………13分 ‎ (注：本题若化成，直接说明不存在的，给1分)‎ ‎20． 解：(Ⅰ），∴，又，‎ ‎∴． …………………………………3分 ‎(Ⅱ）； ‎ ‎∴‎ 由得，‎ ‎∴或 …………………………………5分 ‎∵函数在区间内有且仅有一个极值点，且，‎ ‎∴或， …………………………………6分 若，即，当时，当时，函数有极大值点，‎ 若，即时，当时，当时，函数有极大值点，‎ 综上，的取值范围是． …………………………………8分 ‎ (Ⅲ）当时，设两切线的倾斜角分别为，‎ 则，‎ ‎∵， ∴均为锐角， …………………………………………9分 若直线能与轴围成等腰三角形，则或．‎ 当时，由，‎ 得，即，‎ 此方程有唯一解，直线能与轴围成一个等腰三角形．………11分 当时，由，‎ 得，即，‎ ‎ 设，，‎ 当时，，∴在单调递增， ‎ 由于，即方程在有唯一解，直线能与轴围成一个等腰三角形． ‎ 因此，当时，若直线能与轴围成等腰三角形，值的个数有2个．………14分 ‎21.（1）解：（Ⅰ）设，则，，…………2分 ‎ ． 　　　 …………………………3分 ‎(Ⅱ），‎ 即 …………………………………………4分 ‎ 代入可得 ‎，即，‎ 故曲线的方程为． ……………………………………7分 ‎ 21.（2）解：（Ⅰ）由，得，‎ ‎ ，即， ………………………1分 ‎ 设 ………………………2分 ‎ 所以直线的直角坐标方程为；‎ 圆的参数方程 为参数. …………………………………3分 ‎(Ⅱ）设，则点到直线的距离为 ‎ ， ………………………5分 ‎ 当即时，.‎ 圆上的点到直线的距离的最小值为. ………………………7分 ‎（21）(3）解：（Ⅰ）当时，由得，所以； ‎ 当时，由得，所以； ‎ 当时，由得，所以. …………2分 综上不等式的解集. ………………3分 ‎(Ⅱ）， ……………………………………4分 由柯西不等式得， ‎ ‎， …………………………………………………………5分 当且仅当时取“=”， ‎ ‎ 的取值范围是. …………………………………………………7分