2019-2020学年安徽省滁州市定远县育才学校高一（实验班）上学期第三次月考数学试题（解析版）

2019-2020学年安徽省滁州市定远县育才学校高一（实验班）上学期第三次月考数学试题（解析版）

2019-2020 学年安徽省滁州市定远县育才学校高一（实验班） 上学期第三次月考数学试题 一、单选题 1．以下说法正确的有（ ） ①若 ，则 ； ②若 是定义在 R 上的奇函数，则 ； ③函数 的单调递减区间是 ； ④若集合 P ={a，b，c}，Q ={1，2，3}，则映射 f：P →Q 中满足 f（b）=2 的不同映射 共有 9 个 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】B 【解析】①由 ，故错误；②中 ，正确；③单调递减区间为 ， 故错误； ④不同映射共有 个，故正确，综上正确的有 个，故选 B. 2．函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ，则 的取值 范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵函数 ∴函数 的对称轴为直线 ，且函数 的最小值为 令 ，解得 或 4 ∵ 在区间 上的最大值为 5，最小值为 ∴实数 的取值范围是 故选 B 点睛：本题考查二次函数的图象与性质.二次函数、一元二次方程与一元二次不等式统 称三个“二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系函数的 {( , ) | 4} {( , ) | 2 1}A x y x y B x y x y= + = = − =， { }3 1A B∩ = ， ( )f x (0) 0f = 1y x = ( 0) (0 )−∞ + ∞， ， ( ){ }4 3 312 1 1 x y x A Bx y y + = = ⇒ ⇒ ∩ = − = =  ， ( 0) (0) (0) 0f f f− = − ⇒ = ( ) ( )0 , 0−∞ + ∞， ， 3 3 9× = 2 2( ) 3 12 5f x x x= − + [ ]0,n 5 7− n [ )2,+∞ [ ]2,4 ( ],2−∞ [ ]0,2 2 2( ) 3 12 5 3( 2) 7f x x x x= − + = − − ( )f x 2x = ( )f x 7− ( ) 5f x = 0x = ( )f x [0, ]n 7− n 2 4n≤ ≤ 图象是探求解题思路的有效方法，一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④ 端点函数值符号四个方面分析. 3．函数 在[0，2]上单调递增，且函数 是偶函数，则下列结论成立的 是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数 是偶函数可得函数 图像关于 对称，利用对称性将 数值转化到 内比较大小. 【详解】 函数 是偶函数，则其图象关于 轴对称，所以函数 的图像关于 对称，则 ， ，函数 在 上单调递增，则有 ，所以 .选 . 【点睛】 本题考查抽象函数的性质.由 的奇偶性得到 的对称性是本题解题关键. 需要考生熟练掌握函数解析式与函数图象变换之间的关系. 4．函数 的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由函数 为奇函数，图象关于原点对称，可排除选项 B、C； 时，函数 在 上递增，可排除选项 D；故选 A. 点晴:本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近 ( )y = f x ( 2)f x + 5 7(1) ( ) ( )2 2f f f< < 7 5( ) ( ) (1)2 2f f f< < 7 5( ) (1) ( )2 2f f f< < 5 7( ) (1) ( )2 2f f f< < ( 2)f x + ( )y f x= 2x = [ ]0,2 ( 2)f x + y ( )y f x= 2x = 5 3( ) ( )2 2f f= 7 1( ) ( )2 2f f= (= )y f x [ ]0,2 1 3( ) (1) ( )2 2f f f< < 7 5( ) (1) ( )2 2f f f< < C ( 2)f x + ( )f x= 2lnx xy x = 2lnx xy x = 0x > 2 2ln ln 2lnx xy x xx = = = ( )0,∞ 年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不 是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇 偶性、特殊点以及 时函数图象的变化趋势，利用排 除法，将不合题意的选项一一排除. 5 ． 设 是 定 义 在 上 的 奇 函 数 ， 且 ， 当 时 ， ，则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 函数 满足 是周期为 的周期函数， 当 时， 故 故选 点睛：本题考查了函数的奇偶性与周期性，要求较大的数的函数值只需利用周期性进行 转化，然后再运用函数是奇函数求得结果，属于基础题型 6．设 U=R，集合 ，则下列结论正确的 是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵ ， ∴ ,选项 A 错误； 0 , 0 , ,x x x x+ −→ → → +∞ → −∞ ( )f x R ( ) ( )2f x f x+ = 0 1x≤ ≤ ( ) ( )2 1f x x x= − ( )19 2f   =   3 2 − 15 2 − 1 2 1 2 −  ( )f x ( ) ( )2f x f x+ = ( )f x∴函数 2 19 1 1 2 2 2f f f     = − = −            0 1x≤ ≤ ( ) ( )2 1f x x x= − 1 1 2 2f  ∴ =   19 1 2 2f   = −   D 2{ | 2 , }, { | 4 0}xA y y x R B x Z x= = ∈ = ∈ − ≤ (0, )A B∪ = +∞ ( ]( ) ,0UC A B∪ = −∞ ( ) { }2 1 0UC A B∩ = − −， ， ( ) {1,2}UC A B∩ = { }0A y y= { }2 1 01 2B = − −， ，，， ( ) { }0, 2 1 0A B∪ = +∞ ∪ − −， ， ，选项 B 错误； ，选项 C 正确，D 错误， 故选：C 点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件， 明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化 简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图 和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用 Venn 图表示；集合元素连续时 用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 7．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 p(千帕)是气球 体积 V(立方米)的反比例函数，其图像如图所示，则这个函数的解析式为(　　) A．p＝96V B．p＝ C．p＝ D．p＝ 【答案】D 【解析】因为气球内气体的气压是气球体积的反比例函数，所以可设 ，由图象可 知，点 在函数图象上，所以 ，解得 ，故 ，故选 D. 8．设函数 与 的图象的交点为 ，则 所在的区间为 (　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令 ，则 ，故 的零点在 内，因此两函 数图象交点在 内，故选 C. ( ) ]( { }0 1 2UC A B ， ，∞∪ = − ∪ ( ) ]( { } { }0 2 1 01 2 2 1 0UC A B ∞∩ = − ∩ − − = − −， ， ，，， ， ， 96 V − 69 V 96 V kp V = ( )1.5,64 64 1.5 k= 96k = 96p V = ( ) 1 3 x f x  =    ( ) 3g x x= − ( )0 0,x y 0x ( )0,1 ( )1,2 ( )2,3 ( )3,4 ( ) ( )1 33 x h x x = − −   ( ) ( ) ( ) ( )5 8 10 2, 1 , 2 , 33 9 27g g g g= − = − = − = ( )h x ( )2,3 ( )2,3 【方法点睛】本题主要考查函数图象的交点与函数零点的关系、零点存在定理的应用， 属于中档题. 零点存在性定理的条件：（1）利用定理要求函数在区间 上是连续不 断的曲线；（2）要求 ；（3）要想判断零点个数还必须结合函数的图象 与性质(如单调性、奇偶性). 9．已知函数 ，则下列结论正确的是 A． 是偶函数，递增区间是 B． 是偶函数，递减区间是 C． 是奇函数，递减区间是 D． 是奇函数，递增区间是 【答案】C 【解析】将函数 f(x)＝x|x|－2x 去掉绝对值得 f(x)＝ ，画出函数 f(x)的 图像，如图，观察图像可知，函数 f(x)的图像关于原点对称，故函数 f(x)为奇函数，且 在(－1,1)上单调递减． 10．已知 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得， ，故选 B． 【考点】指数幂运算及对数的运算性质． 11．已知 是 上的奇函数，且当 时， ，则当 时， 的解析式是（ ） A． B． C． D． [ ],a b ( ) ( ) 0f a f b < ( ) 2f x x x x= − ( )f x ( )0,+∞ ( )f x ( ,1)−∞ ( )f x ( )1,1− ( )f x ( ),0−∞ 2 2 2 , 0{ 2 , 0 x x x x x x − ≥ − − < ( )f x R 0x ≥ ( ) 2 2f x x x= − + 0x < ( )f x ( ) ( 2)f x x x= − + ( ) ( 2)f x x x= − ( ) ( 2)f x x x= − − ( ) ( 2)f x x x= + 【答案】D 【解析】令 ，则 ，所以 ，又 是 上的奇函数， 所以 ，故选 D. 二、填空题 12．如果函数 y＝f(x)在区间 I 上是增函数，且函数 在区间 I 上是减函数，那 么称函数 y＝f(x)是区间 I 上的“缓增函数”，区间 I 叫做“缓增区间”．若函数 是区间 I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为(　　) A．[1，＋∞) B．[0， ] C．[0，1] D．[1， ] 【答案】D 【解析】由题意，求 的增区间，再求 的减 区间，从而求缓增区间. 【详解】 因为函数 的对称轴为 x＝1， 所以函数 y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数， 又当 x≥1 时， ， 令 (x≥1)，则 ， 由 g′(x)≤0 得 ， 即函数 在区间 上单调递减， 故“缓增区间”I 为 ， 故选 D. 【点睛】 该题考查的是有关新定义的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，属于 简单题目. 13．函数 的函数值表示不超过 的最大整数，例如， = 0x < 0x− > ( ) 2 2f x x x− = − − ( )f x R ( ) 2( ) 2 ( 2)f x f x x x x x= − − = + = + ( )f xy x = 21 3( ) 2 2f x x x= − + 3 3 21 3( ) 2 2f x x x= − + ( ) 1 312 2 f xy xx x = = − + 21 3( ) 2 2f x x x= − + ( ) 1 312 2 f x xx x = − + 1 3( ) 12 2g x x x = − + 2 2 2 1 3 3'( ) 2 2 2 xg x x x −= − = 1 3x≤ ≤ ( ) 1 312 2 f x xx x = − + [1, 3] [1, 3] ( ) [ ]f x x= x [ ]3.5− [ ]4, 2.1− = ．已知定义在 R 上的函数 = ，若 = = ，则 A 中所有元素的和为___． 【答案】4 【解析】根据取整函数的意义，将定义域分为 、 、x=1 三段分别求 得值，即可求得集合 A 中的各元素，进而求得 A 中所有元素的和。 【详解】 由题意，∵ ， ∴ ，当 时， = = ； 当 时， = ； 当 x=1 时， = = ， ∴ = ，则 A 中所有元素的和为 4， 故答案为 4． 【点睛】 本题考查了函数新定义及性质的简单应用，注意分段函数边界点的选择，属于中档题。 14．若 是奇函数，则常数 的值为___________． 【答案】1 【解析】 因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 化解得 ，所以 ，解得 ． 15．若函数 在 上为奇函数，且当 时， ，则 的值为__________． 【答案】 【解析】函数 在 上为奇函数故 ， ， 故 2 ( )g x [ ] [ ]2x x+ A { |y y ( ),0 1}g x x≤ ≤ 10 2x≤ < 1 12 x≤ < 0 1x≤ ≤ 0 2 2x≤ ≤ 10 2x≤ < ( )g x [ ] [ ]2x x+ 0 1 12 x≤ < ( )g x [ ] [ ]2 1x x+ = ( )g x [ ] [ ]2x x+ 3 A { }0,1,3 2( ) lg ( )1 xf x a ax R = + ∈ +  a 2( ) lg ( )1 xf x a ax R = + ∈ +  2( ) lg 1 xf x ax  − = + −  ( ) ( ) 0f x f x+ − = 2 2 11 1 x xa ax x −  + + =  + −   2 2( 4 3) 1a a x a− + + = − 2 4 3 0 1 0 a a a  + + =  − = 1a = ( )y f x= R 0x ≥ ( ) 2 2xf x x c= + + ( 2)f − 7− ( )y f x= R (0) 0, 1.f c= = − ( ) ( )2 2f f− = − (2) 4 4 1 7,f = + − = ( 2) 7.f − = − 故答案为：-7. 16．将函数 的图像先向右平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位，得到函数 的图像，则函数 的零点为__________． 【答案】 【解析】将函数 的图像先向右平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位，得到函数 令 ，得到其零点为 即答案为 三、解答题 17．已知 ， ，设集合 ， . （1）若 ，请用区间表示 ；（提示：解含对数的不等式一定要考虑定义域和单调 性） （2）若 ，且 ，求 的取值范围. 【答案】(1) ；(2) . 【解析】试题分析：（1）由对数函数的性质可得 ，解不等式组即可得结 果；（2）由 ，可得 ，结合对数函数的性质可得 ，由 可得 ，讨论两种情况，列不等式求解即可. 试题解析：（1）当 时，不等式： 所以 . （2）若 ，则 . xy e= ( )y f x= ( )y f x= 1 ln3+ xy e= 1 3xy e −= − 1 3 0xy e −= − = 1 ln3+ 1 ln3+ 0a > 1a ≠ { | log ( 1) log (5 )}a aA x x x= + > − { | 2 1 1}B x m x m= − < < + 1a > A 1.9 A∈ A B B= m ( )2,5A = [ ] [ )0,1 2,+∞ 1 5 5 0 x x x + > −  − > 1.9 A∈ 0 1a< < ( )1,2A = − A B B∩ = B A⊆ 1a > ( ) ( )log 1 log 5a ax x+ > − ⇔ 1 5 0x x+ > − > 1 5 5 0 x x x + > −⇔  − > 2 5x⇔ < < ( )2,5A = 1.9 A∈ log 2.9 log 3.1 0 1a a a> ⇒ < < 不等式 此时， . ①若 ，即 时， 成立. ②若 ，则 综上， 的取值范围是 . 18．已知函数 ． （1）若 ，求 的单调区间； （2）若 在区间 上是增函数，求实数 的取值范围． 【答案】（1）增区间为 ；减区间为 ；（2） ． 【解析】【详解】试题分析： （1）当 时， ，由 可得函数的定义域为 ，结合图象可得函数的减区间为 ，增区间为 。（2） 令 ，分两种情况考虑。当 时，若满足题意则 在 上单调递减，且 ；当 时，若满足题意则 在 上单调递增，且 。由此得到关于 a 的不等式组，分别解 不等式组可得所求范围。 试题解析： ( ) ( )log 1 log 5a ax x+ > − ⇔ 0 1 5x x< + < − 1 5 1 0 x x x + < −⇔  + > 1 2x⇔ − < < ( )1,2A = − B = ∅ 2 1 1 2m m m− ≥ + ⇔ ≥ A B B∩ = B ≠ ∅ A B B B A∩ = ⇔ ⊆ ( ) ( )2 1, 1 1,2m m⇔ − + ⊆ − 1 2 1 1 2m m⇔ − ≤ − < + ≤ 0 1m⇔ ≤ ≤ m [ ] [ )0,1 2,∪ +∞ ( ) ( )2logaf x ax x= − 1 2a = ( )f x ( )f x [ ]2,4 a ( ),0−∞ ( )2,+∞ 1a > 1 2a = ( ) 2 1 2 1log 2f x x x = −   21 02 x x− > ( ) ( ),0 2,−∞ +∞ ( ),0−∞ ( )2,+∞ ( ) 2g x ax x= − 0 1a< < ( ) 2g x ax x= − [ ]2,4 2 min( ) 0g x ax x= − > 1a > ( ) 2g x ax x= − [ ]2,4 2 min( ) 0g x ax x= − > （1）当 时， ， 由 ，得 ， 解得 或 ， 所以函数的定义域为 ， 利用复合函数单调性可得函数的增区间为 ，减区间为 。 （2）令 ，则函数 的图象为开口向上，对称轴为 的抛物线， ①当 时， 要使函数 在区间 上是增函数，则 在 上单调递减，且 ， 即 ，此不等式组无解。 ②当 时， 要使函数 在区间 上是增函数，则 在 上单调递增，且 ， 即 ，解得 ， 又 ， ∴ ， 综上可得 ． 所以实数 的取值范围为 。 点睛： 求函数的单调区间时容易忽视函数定义域的限制，对数型函数的单调性满足“同增异减” 的性质。对于本题中的（2），同样容易忽视 的限制条件，解题时要考虑全 面，不要漏掉条件。 19．已知定义在 上的函数 是奇函数. 1 2a = ( ) 2 1 2 1log 2f x x x = −   21 02 x x− > 2 2 0x x− > 0x < 2x > ( ) ( ),0 2,−∞ +∞ ( ),0−∞ ( )2,+∞ ( ) 2g x ax x= − ( )g x 1 2x a = 0 1a< < ( )f x [ ]2,4 ( ) 2g x ax x= − [ ]2,4 2 min( ) 0g x ax x= − > ( ) 1 42 1 14 016 4 a g a  ≥  = − > 1a > ( )f x [ ]2,4 ( ) 2g x ax x= − [ ]2,4 2 min( ) 0g x ax x= − > ( ) 1 22 2 4 2 0 a g a  ≤  = − > 1 2a > 1a > 1a > 1a > a (1, )+∞ 2 0ax x− > R 2( ) 2 x x bf x a − −= − （1）求 ， 的值； （2）判断 在 上的单调性，并用定义证明； （3）若对任意的 ，关于 的不等式 恒成立，求 的取值范围. 【答案】（1） ， （2） 在 上为减函数（3） 【解析】试题分析：（1）利用函数是奇函数，建立方程关系解 ， ；（2）利用定义 法证明函数的单调性；（3）利用函数的奇偶性将不等式 转化 为 ，然后利用单调性求 的取值范围. 试题解析：（1）因为 是定义在 上的奇函数 所以 ，解得 ， 经检验符合题意，所以 ， （2）由（1）知 设 ，则 因为 是增函数，所以 ，所以 所以 在 上为减函数 （3）因为 为 上减函数，且为奇函数 所以 等价于 ，所以 恒 成立 即 ，所以 点睛：本题主要考查函数奇偶性的应用，利用定义法证明函数的单调性，以及函数单调 性和奇偶性的综合应用，考查抽象不等式的求解，考查转化思想，灵活运用函数性质去 掉不等式中的符号“ ”是解题的关键所在，难度不大；在该题中可将不等式 转化为 ，结合单调性由此可把不等式化为 具体不等式求解. 20．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网” 养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度 （单位：千克/年）是养殖v a b ( )f x R t ∈R t 2( 2 ) ( ) 0f t t f k− + − < k 1a = − 1b = − ( )f x R 1k < − a b ( ) ( )2 2 0f t t f k− + − < ( ) ( ) ( )2 2f t t f k f k− < − − = k ( ) 2 2 x x bf x a − −= − R ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 f f f  = − = − 1a = − 1b = − 1a = − 1b = − ( ) 1 2 1 2 x xf x −= + 1 2x x< ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 11 2 1 2 1 21 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 x xx x x x x xf x f x −− −− = − =+ + + + 2xy = 2 12 2 0x x> > ( ) ( )1 2f x f x> ( )f x R ( )f x R ( ) ( )2 2 0f t t f k− + − < ( ) ( ) ( )2 2f t t f k f k− < − − = 2 2t t k− > ( )22 2 1 1k t t t< − = − − 1k < − f ( ) ( )2 2 0f t t f k− + − < ( ) ( )2 2f t t f k− < 密度 （单位：尾/立方米）的函数．当 不超过 4（尾/立方米）时， 的值为 （千克 /年）；当 时， 是 的一次函数；当 达到 （尾/立方米）时，因缺氧等 原因， 的值为 （千克/年）． （1）当 时，求函数 的表达式； （2）当养殖密度 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米） 可 以达到最大，并求出最大值． 【答案】（1） = （2）当养殖密度为 10 尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为 千 克/立方米． 【解析】试题分析：（1）由题意：当 时， ； 2 分 当 时，设 ，显然 在 是减函数， 由已知得 ，解得 4 分 故函数 = 6 分 （2）依题意并由（1）可得 8 分 当 时， 为增函数，故 ； 10 分 当 时， ， ． 所以，当 时， 的最大值为 ． 13 分 当养殖密度为 10 尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为 千克/立 方米． x x v 2 4 20x≤ ≤ v x x 20 v 0 0 20x< ≤ ( )v x x ( ) ( )f x x v x= ⋅ ( )xv * * 2, 0 4, 1 5 , 4 20,8 2 x x N x x x N  < ≤ ∈− + ≤ ≤ ∈ 12.5 0 4x< ≤ ( ) 2v x = 4 20x< ≤ ( ) baxxv += ( ) baxxv += [4,20] 20 0 4 2 a b a b + =  + = 1 8 5 2 a b  = −  = ( )xv * * 2, 0 4, 1 5 , 4 20,8 2 x x N x x x N  < ≤ ∈− + ≤ ≤ ∈ ( ) =xf * 2 * 2 , 0 4, 1 5 , 4 20, .8 2 x x x N x x x x N  < ≤ ∈− + ≤ ≤ ∈ 0 4x≤ ≤ ( )xf ( )max (4)f x f= = 4 2 8× = 4 20x≤ ≤ ( ) 2 2 2 21 5 1 1 100( 20 ) ( 10)8 2 8 8 8f x x x x x x= − + = − − = − − + ( )max (10) 12.5f x f= = 0 20x< ≤ ( )xf 12.5 12.5 14 分 【考点】函数模型的运用 点评：主要是考查了函数模型的实际运用，属于中档题。 21．若 是定义在 上的函数，且满足 ， 当 时， . （1）判断并证明函数的单调性； （2）若 ，解不等式 . 【答案】（1）增函数,证明见解析；（2） 【解析】试题分析： (1)由题意结合所给的抽象函数关系可由 时有 ，即 在定义域内为增函数； (2)原问题等价于 x 的不等式组 ，求解不等式组可得 . 试题解析： （1）增函数 证明：令 ，且 ，则 由题意知： 又∵当 x>1 时， ∴ ∴ ∴ 在定义域内为增函数 (2)令 x=4,y=2 由题意知： ∴ ( )f x (0, )+∞ ( ) ( ) ( )xf f x f yy = − 1x > ( ) 0f x > (2) 1f = 1( 3) ( ) 2f x f x + − < { | 0 1}x x< < 1 2 0x x> > ( ) ( )1 2 0f x f x− > ( )f x ( 3) 4 3 0 1 0 x x x x   + <  + >   >  0 1x< < 1 2,x x y x= = 1 2 0x x> > 1 2 1x x > 1 1 2 2 ( ) ( ) ( )xf f x f xx = − ( ) 0f x > 1 2 ( ) 0xf x > ( ) ( )1 2 0f x f x− > ( )f x 4( ) (4) (2)2f f f= − ( ) ( )4 2 2 1 2 2f f= = × = ( ) 13 ( ) ( ( 3)) (4)f x f f x x fx + − = + < 又∵ 是增函数，可得 ∴ . 点睛：抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特 征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为 函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住 函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方 法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有 成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的 函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的 方法。 22．已知 且 ，函数 . （1）求 的定义域 及其零点； （2）讨论并用函数单调性定义证明函数 在定义域 上的单调性； （3）设 ，当 时，若对任意 ，存在 ， 使得 ，求实数 的取值范围. 【答案】(1) 定义域 为 ,函数 的零点为-1;(2)见解析;(3) . 【解析】试题分析：（1）由题意知求得函数 定义域为 ，再由 ， 即可求解函数的零点； （2）根据函数的单调性的定义，即可证明函数的单调性； （3）由任意 ，存在 ，使得 成立，得到 由（2）知当 时， 在 上单调递增，得到函数的最大值为 ，分三种情 况讨论，即可求解实数 的取值范围. 试题解析： （1）由题意知， ， ，解得 ， 所以函数 定义域 为 . ( )f x ( 3) 4 3 0 1 0 x x x x   + <  + >   >  0 1x< < 0a > 1a ≠ 2( ) log 1af x x = − ( )f x D ( )f x D 2( ) 2 3g x mx mx= − + 1a > 1 ( , 1]x ∈ −∞ − 2 [3,4]x ∈ 1 2( ) ( )f x g x≤ m D ( ,1)−∞ ( )f x 1m ≥ − ( )f x ( ,1)−∞ ( ) 0f x = 1 ( , 1]x ∈ −∞ − 2 [3,4]x ∈ 1 2( ) ( )f x g x≤ max max( ) ( )f x g x≤ 1a > ( )f x ( , 1]−∞ − 0 m 2 01 x >− 1 x 0− > x 1< ( )f x D ( ),1∞− 令 ，得 ，解得 ，故函数 的零点为-1； （2）设 ， 是 内的任意两个不相等的实数，且 ，则 ， ∵ ，∴ ，即 所以当 时， ，故 在 上单调递减， 当 时， ，故 在 上单调递增. （3）若对于任意 ，存在 ，使得 成立， 只需 由（2）知当 时， 在 上单调递增，则 ①当 时， ， 成立 ②当 时， 在 上单调递增， ，由 ， 解得 ，∴ ③当 时， 在 上单调递减， ，由 ， 解得 ，∴ 综上，满足条件的 的范围是 . 点睛：本题函数性质的综合应用，其中解答中涉及到函数的单调性的定义证明与判定， 函数的奇偶性的应用，函数零点的概念与求解，同时考查了分类讨论思想和转化与化归 思想，本题的解答中熟记函数的基本性质的概念和判定方法，合理转化恒成立与有解问 题时解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题. ( )f x 0= 2 11 x =− x 1= − ( )f x 1x 2x ( ),1∞− 1 2x x< 2 1Δx x x 0= − > ( ) ( ) 1 2 1 a 2 1 xΔy f x f x log 1 x −= − = − 1 2x x 1< < 1 2x x 1− > − > − 1 2 1 x 11 x − >− 0 a 1< < Δy 0< ( )f x D a 1> Δy 0> ( )f x D ( ]1x , 1∞∈ − − [ ]2x 3,4∈ ( ) ( )1 2f x g x≤ ( ) ( )max maxf x g x≤ a 1> ( )f x ( ], 1∞− − ( ) ( )maxf x f 1 0= − = m 0= ( )g x 3= ( ) ( )1 2f x g x≤ m 0> ( )g x [ ]3,4 ( ) ( )maxg x g 4 8m 3= = + 8m 3 0+ ≥ 3m 8 ≥ − m 0> m 0< ( )g x [ ]3,4 ( ) ( )maxg x g 3 3m 3= = + 3m 3 0+ ≥ m 1≥ − 1 m 0− ≤ < m m 1≥ −