四川省乐山一中2020届高三下学期模拟考试数学（理）试题 Word版含解析

四川省乐山一中2020届高三下学期模拟考试数学（理）试题 Word版含解析

www.ks5u.com ‎2020年高考数学模拟试卷（理科）‎ 一、选择题 ‎1.已知实数，满足，其中是虚数单位，若，则在复平面内，复数所对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的运算法则、复数相等、几何意义，即可求得答案.‎ ‎【详解】实数满足其中虚数单位，‎ ‎，可得 解得.‎ ‎,‎ 则在复平面内,复数所对应的点位于第二象限 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了根据复数相等求参数和复数的几何意义，解题关键是掌握复数基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.‎ ‎2.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出集合，的补集，再计算即可.‎ ‎【详解】，‎ - 28 -‎ ‎，‎ 则，‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.‎ ‎3.已知实数，满足，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先利用指数函数的性质得到，的范围，然后逐一考查所给的不等式，即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ 由指数函数的单调性, ‎ 可得：‎ 对于A，由，可得，故A错误；‎ 对于B，由，可得，故B正确；‎ 对于C，由，可得，故C错误；‎ 对于D，根据图象可得，由，与的大小无法确定，故D错误；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了根据已知不等式判断所给不等式是否正常，解题关键是掌握不等式比较大小方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.‎ ‎4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）‎ - 28 -‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图可知，该几何体由一个圆锥、一个圆柱、一个长方体组成的组合体，利用表面积计算公式即可得出.‎ ‎【详解】由三视图可知，该几何体由三部分组成：‎ 最上面是一个圆锥，中间是一个圆柱，最下面是一个长方体.‎ 该几何体的表面积为：‎ ‎.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查三视图求几何体的表面积，三视图还原直观图是解题关键，属于基础题.‎ ‎5.下列函数中，既是奇函数，又在上单调递减的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，逐项判断即可.‎ - 28 -‎ ‎【详解】对于，其在定义域上为增函数，不符合题意；‎ 对于，其在定义域上为偶函数，不符合题意；‎ 对于，其是奇函数，又在上单调递减，符合题意；‎ 对于，，，‎ 其在上不为减函数，不符合题意.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断，对于简单基本初等函数的性质要熟练掌握，属于基础题.‎ ‎6.已知正方形内接于圆，点是的中点，点是边上靠近的四等分点，则往圆内投掷一点，该点落在内的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知可分别求解圆的面积及面积，根据几何概型概率公式，即可求解.‎ ‎【详解】设正方形的边长为4，则正方形的面积为，‎ 的面积为，‎ 因为圆的直径即，圆的面积为，‎ 根据几何概型概率公式可得.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查几何概型的概率，意在考查数学计算和应用能力，属于基础题.‎ ‎7.伟大的法国数学家笛卡儿 - 28 -‎ 创立了直角坐标系.他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定这个点的位置，用坐标来描述空间上的点，因此直角坐标系又被称为“笛卡尔系”；直角坐标系的引入，将诸多的几何学的问题归结成代数形式的问题，大大降低了问题的难度，而直角坐标系，在平面向量中也有着重要的作用；已知直角梯形中，，，，是线段上靠近的三等分点，是线段的中点，若，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过作于，根据向量的加减的几何意义和向量的数量积公式计算即可.‎ ‎【详解】过作于，故，‎ 因为，，‎ 故，则 故选:A.‎ ‎【点睛】本题以数学文化为背景，考查向量的线性运算及几何意义、向量的数量积，考查计算求解能力，属于基础题.‎ ‎8.已知函数，则下列说法错误的是（ ）‎ - 28 -‎ A. 函数的周期为 B. 函数的一条对称轴为 C. 函数在上单调递增 D. 函数的最小值为 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简，可得，逐项判断，即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ 对于A，函数的周期为： ,故A说法正确；‎ 对于B，时，‎ 是函数的一条对称轴，故B说法正确；‎ 对于C，当时，‎ 此时不单调，故C说法错误；‎ 对于D， ‎ 函数的最小值为，故D说法正确，‎ - 28 -‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】解题关键是掌握三角函数的基础知识和正弦函数图象特征，考查了分析能力和计算能力,属于中档题.‎ ‎9.已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图像可得函数的定义域不为0，并根据图像的变化趋势，逐项判断，即可求出结论.‎ ‎【详解】若，则 ，不符合题意，故不正确；‎ 若，当时，，‎ 当，当 在存在唯一交点，其横坐标设为 ‎，‎ 而在连续，递增区间是，递减区间是，‎ 所以在存在为唯一的最大值点，满足题意；‎ 若，则当时，，故选项不正确；‎ 由图象可知，函数的定义域中不含0，故不正确.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查函数图像的辨析，考查函数的性质，属于中档题.‎ - 28 -‎ ‎10.执行如图所示的程序框图，若输出的的值为365，则判断框中可以填（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件进行模拟运算，寻找成立的条件进行判断即可.‎ ‎【详解】模拟程序的运行，可得，‎ 执行循环体，，， ‎ 不满足判断框内的条件，执行循环体，，‎ 不满足判断框内的条件，执行循环体，，‎ 不满足判断框内的条件，执行循环体，，‎ 不满足判断框内的条件，执行循环体，，‎ 不满足判断框内的条件，执行循环体，，‎ 此时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出的值为365.‎ 则判断框内的件为 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查补全程序框图，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题.‎ ‎11.过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与的渐近线交于两点，若，则双曲线的渐近线方程为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ - 28 -‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 直线l:y=-x+a与渐近线交于,直线l:y=-x+a与渐近线交于,A,因为,所以,双曲线的渐近线方程为,故选D.‎ 点睛:本题考查双曲线的性质,属于中档题目.解决本题的关键是设点以及向量坐标化,先求出过右顶点且斜率为-1的直线方程,分别联立该直线与双曲线的两条渐近线,求出交点坐标,代入中,通过化简计算,即可得到a,b的关系式,结合双曲线中,即可求得离心率.‎ ‎12.已知数列满足.令，则的最小值为（ ）‎ A. 20 B. 15 C. 25 D. 30‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设数列的前项和为，则可计算出.然后应用公式即可计算出数列的通项公式，可得数列 - 28 -‎ 是一个等差数列.然后应用等差数列性质整理，再根据绝对值的特点可得的最小值.‎ ‎【详解】依题意，由 ，‎ 可得：.‎ 设数列的前项和为，则.‎ 当时，.‎ 当时，.‎ 也满足上式，故，.‎ 数列是以35为首项，﹣5为公差的等差数列，‎ 当或时，取得最小值.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查数列的前项和求通项、等差数列的性质、绝对值性质，考查计算求解能力，属于中档题.‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上.）‎ ‎13.二项式的常数项为，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二项式定理的通项公式可得，再利用微积分基本定理及其性质即可得出.‎ ‎【详解】，‎ - 28 -‎ 令，解得..‎ ‎，表示函数与轴围成的面积，‎ ‎ 即为在轴上方的半圆面积，，‎ ‎. 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查二项展开式定理、定积分定理以及几何意义，考查计算求解能力，属于基础题.‎ ‎14.已知点满足，则的取值范围为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先画出可行域，利用的几何意义：区域内的点与原点连线的斜率，因此求最值即可.‎ ‎【详解】由已知得到平面区域如图：‎ 表示区域内的点与原点连接的直线斜率，‎ 由解得，由解得 当与连接时直线斜率最大为1，‎ 与连接时直线斜率最小为﹣2，‎ 所以的取值范围为.‎ 故答案为:.‎ - 28 -‎ ‎【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用目标函数的几何意义数形结合求最值，属于基础题.‎ ‎15.已知，两点分别为椭圆的左焦点与上顶点，为椭圆上的动点，则面积的最大值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆的方程可得，的坐标，进而求出直线的方程，及的长度，当三角形的面积最大时为过点的直线与直线平行且与椭圆相切，设过的直线方程与椭圆联立，由判别式等于0可得参数的值，即可求解.‎ ‎【详解】由椭圆方程可得，‎ 所以直线的方程为：，‎ 由题意可得当过的直线与直线平行且与椭圆相切时，‎ 两条平行线间的距离最大时，三角形的面积最大，‎ 设过点与平行的切线方程为：，‎ 直线与直线的距离为，‎ 联立直线与椭圆的方程可得： ，‎ 整理可得：，‎ - 28 -‎ ‎，可得，解得，‎ 所以当时最大，‎ 这时的最大值为：‎ ‎.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆内接三角形面积最值、直线与椭圆的位置关系，意在考查直观想象、数学计算能力，属于中档题.‎ ‎16.已知，使得不等式能成立，则实数的取值范围为__________.‎ ‎【答案】或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，分别，，，运用参数分离和构造函数，求得导数和单调性、最值，结合能成立思想可得所求范围.‎ ‎【详解】不等式，即为，‎ 若则不等式显然不成立；‎ 当时，可得，‎ 设， ，‎ 则在时递减，在递增，‎ 即有在处取得最小值，‎ 由题意可得，‎ 又当时，可得，‎ - 28 -‎ 设 ，则在时递减，‎ 在递增，即有在处取得最大值1，‎ 由题意可得，‎ 综上可得的范围是或，‎ 故答案为:或.‎ ‎【点睛】本题以不等式能成立为背景，考查应用导数求函数的最值，分类讨论分离参数是解题关键，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.‎ 三、解答题（共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.在中，内角，，的对边分别为，，，且.‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）若，，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可得，然后结合三角形的内角和定理即可求解；‎ ‎（2）由已知结合余弦定理可求，然后结合三角形的面积公式即可求解.‎ ‎【详解】（1）.‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即，‎ - 28 -‎ 所以，或或 即，或（舍去），或（舍去），‎ 又因为，故，‎ ‎（2）由余弦定理可得，‎ ‎ ，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理、两角和差正弦公式解三角形，考查计算求解能力，属于基础题.‎ ‎18.在一次体质健康测试中，某辅导员随机抽取了12名学生的体质健康测试成绩做分析，得到这12名学生的测试成绩分别为87，87，98，86，78，86，88，52，86，90，65，72.‎ ‎（1）请绘制这12名学生体质健康测试成绩的茎叶图，并指出该组数据的中位数；‎ ‎（2）从抽取的12人中随机选取3人，记表示成绩不低于76分的学生人数，求的分布列及期望 ‎【答案】（1）茎叶图见解析，中位数为：；（2）分布列见解析，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由这12名学生的测试成绩能绘制这12名学生体质健康测试成绩的茎叶图，并求出该组数据的中位数.‎ ‎（2）的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望.‎ ‎【详解】（1）绘制这12名学生体质健康测试成绩的茎叶图，如下：‎ - 28 -‎ 该组数据的中位数为：.‎ ‎（2）抽取的12人中，成绩不低于76分的有9人，‎ 从抽取的12人中随机选取3人，记表示成绩不低于76分的学生人数，‎ 则的可能取值为0，1，2，3，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 数学期望.‎ ‎【点睛】本题考查茎叶图做法、离散型随机变量分布列和期望，考查计算求解能力，属于基础题.‎ ‎19.已知三棱柱中，，，.‎ - 28 -‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，求平面与平面所成二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）答案见解析.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）要证平面，只需求证，结合已知，即可求得答案；‎ ‎（2）以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，根据，即可求得答案.‎ ‎【详解】（1）,‎ ‎.‎ 在中,,‎ 由余弦定理得,‎ ‎,‎ ‎.‎ 又,‎ ‎,‎ 又 - 28 -‎ 平面.‎ ‎（2）由（1），‎ 又 在中，可得 又 平面；‎ 由（1）得平面， ‎ 又 以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，‎ 如图：‎ 则 ‎,‎ 又 解得：，故 - 28 -‎ 设平面法向量为 由，可得 故：‎ 取，则 设平面法向量为 由，可得 故：‎ 取 可得：‎ 平面与平面所成二面角的余弦值.‎ ‎【点睛】本题主要考查了线面垂直和向量法求二面角，解题关键是掌握线面垂直的证法和向量法求面面角的解法，考查了分析能力和计算能力,属于中档题.‎ ‎20.已知椭圆过点，‎ - 28 -‎ ‎，其上顶点到直线的距离为2，过点的直线与，轴的交点分别为、，且.‎ ‎（1）证明：为定值；‎ ‎（2）如上图所示，若，关于原点对称，，关于原点对称，且，求四边形面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）其上顶点到直线的距离为2，求出，点代入椭圆方程，可求出椭圆方程，设经过点的直线方程为：，可得，.利用，可得，利用两点之间的距离公式可得；‎ ‎（2）由（1）得直线的方程为，与椭圆方程联立求出，由点到直线距离公式，求出到直线距离，求出四边形面积的关于的表达式，结合关系，由基本不等式求出最大值.‎ ‎【详解】（1）其上顶点到直线的距离为2，‎ ‎ ，解得.‎ 又椭圆过点，‎ - 28 -‎ ‎，解得.‎ ‎∴椭圆的标准方程为：.‎ 点在椭圆上，.‎ 设经过点的直线方程为：，‎ 可得，.‎ ‎，即 为定值.‎ ‎（2）由（1）得直线斜率为，‎ 方程为，‎ 即，，‎ 联立解得，‎ ‎，‎ 点到直线的距离为，‎ - 28 -‎ 当且仅当，即时，等号成立，‎ ‎，‎ 四边形面积的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、平行四边形的面积，利用基本不等式求最值，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算，属于较难题.‎ ‎21.已知函数，且函数在处取到极值.‎ ‎（1）求曲线在处的切线方程；‎ ‎（2）若函数，且函数有3个极值点，，，证明：.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出原函数的导函数，由求解值，则曲线在处的切线方程可求；‎ ‎（2）求出函数的解析式，由，根据已知有 三个解，存在两个不同于的零点， 设，求出取值范围，结合的函数特征，可判断是函数的两个零点，构造函数，研究的单调性，把证明转化为证明即可.‎ - 28 -‎ ‎【详解】（1）， ，‎ 函数在处取到极值，，即.‎ 则，，‎ ‎∴曲线在处的切线方程为；‎ ‎（2），‎ 函数的定义域为且，‎ 令，，‎ 在上单调递减，在上单调递增；‎ 是的最小值；有三个极值点，‎ ‎，得 的取值范围为，‎ 当时，，，‎ ‎；即，是函数的两个零点.‎ ‎，消去得；‎ 令，，‎ 的零点为，且.‎ - 28 -‎ 在上递减，在上递增.‎ 要证明，即证，‎ 等价于证明，即.‎ ‎，即证.‎ 构造函数，则；‎ 只要证明在上单调递减，‎ 函数 在单调递减；‎ 增大时，减小，增大，减小，‎ 在上是减函数.‎ 在上是减函数.‎ 当时， .‎ 即 ‎【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及到导数的几何意义、单调性、极值最值、零点、不等式证明，构造函数是解题的关键和难点，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于难题.‎ ‎22.在极坐标系中，曲线的极坐标方程为.现以极点 - 28 -‎ 为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程和直线l的普通方程；‎ ‎（2）求曲线关于直线对称曲线的参数方程.‎ ‎【答案】（1）：，：；（2）（为参数）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，，，可得曲线的直角坐标方程；由代入法可得直线的普通方程；‎ ‎（2）由圆关于直线的对称为半径相等的圆，由点关于直线对称的特点，解方程可得所求曲线的方程.‎ ‎【详解】（1），得 由，，，‎ 曲线的直角坐标方程为，‎ 即为；‎ 直的参数方程为 （为参数），‎ 消去，可得；‎ ‎（2）设曲线关于直线对称曲线为 圆，‎ - 28 -‎ 由 可得 ，‎ 则曲线关于直线对称曲线方程为，‎ 其参数方程为 （为参数）.‎ ‎【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程互化，普通方程和参数方程互化，以及圆关于直线对称方程等基础知识，意在考查直观想象、查逻辑推理能力，属于中档题.‎ ‎23.已知定义在R上的函数.‎ ‎（1）求的最小值；‎ ‎（2）若，且，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）3；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）去绝对值化简函数，然后结合函数的单调性，即可求解函数的最值，‎ ‎（2）结合基本不等式及二次函数的性质可求.‎ ‎【详解】解：（1）因为.‎ 所以，‎ 当时，单调递减，‎ 当时，单调递减，‎ 当时，单调递增，‎ 故当时，函数取得最小值；‎ ‎（2）若，且，‎ 即，‎ 当且仅当即， 时，等号成立，‎ - 28 -‎ 则 ，‎ 令， ，而的开口向上，‎ 对称轴方程为，在上单调递增，‎ 当，取得最小值，‎ 的最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查分类讨论求绝对值函数的最值，以及应用基本不等式、二次函数的性质求最值，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.‎ - 28 -‎ - 28 -‎