宁夏中卫市2020届高三下学期模拟考试数学（文）试题

宁夏中卫市2020届高三下学期模拟考试数学（文）试题

‎2020年中卫市高考第二次模拟考试 文科数学 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案涂到答题卡上）‎ ‎1.设，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据复数的乘法运算，求得，再求其共轭复数即可.‎ ‎【详解】因为，‎ 故可得.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查集合的乘法运算，以及共轭复数的求解，属基础题.‎ ‎2.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先解不等式求出集合A、B，然后再根据集合的交运算即可求解.‎ ‎【详解】由，‎ ‎，‎ 所以.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了集合的交运算以及一元二次不等式的解法，属于基础题.‎ ‎3.已知向量，，则（ ）‎ A. 1 B. C. 3 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量加减的坐标运算求出，，再根据向量数量积的坐标运算即可求解.‎ ‎【详解】由，，‎ 两式联立，可得，，‎ 所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了向量加减、数量积坐标运算，考查了学生的基本运算能力，属于基础题.‎ ‎4.已知命题：任意，都有；命题：，则有．则下列命题为真命题的是（　　　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分别判断命题真假，再由复合命题的真假性，即可得出结论.‎ ‎【详解】为真命题；命题是假命题，比如当,‎ 或时，则 不成立.‎ 则，，均为假.‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查复合命题的真假性，判断简单命题的真假是解题的关键，属于基础题.‎ ‎5.已知定义域为的奇函数满足，且当时，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可知函数是以为周期的函数，从而可得，再根据函数为奇函数可得，将代入表达式即可求解.‎ ‎【详解】由满足，‎ 所以函数的周期，‎ 又因为函数为奇函数，且当时，，‎ 所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了利用函数的周期性、奇偶性求函数值，属于基础题.‎ ‎6.已知抛物线的焦点为，是上一点，，则（ ）‎ A. 4 B. ‎2 ‎C. 1 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 点A到抛物线的准线：的距离为：，‎ 利用抛物线的定义可得：，‎ 求解关于实数的方程可得：.‎ 本题选择C选项.‎ ‎7.已知,,则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由,代入已知式子中,可求出,再结合即可求解.‎ ‎【详解】解: , ‎ 即.又 ‎ ‎, ‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了二倍角公式的应用.熟练掌握二倍角公式以及公式的逆向运用.当求角的三角函数值时,易错点在于由限制角的范围,确定三角函数值的符号.‎ ‎8.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ ‎ ‎ A. 10 B. ‎5 ‎C. 20 D. 30‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图画出几何体的直观图：三棱柱截去一个三棱锥，利用棱柱与棱柱的体积公式即可求解.‎ ‎【详解】由几何体的三视图可得几何体的直观图：‎ 三棱柱截去一个三棱锥，如图：‎ ‎ ‎ 该几何体的体积：.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积、棱柱的体积公式、棱锥的体积公式，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.‎ ‎9.设F1、F2是双曲线的左右焦点，若双曲线上存在一点A使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为，根据双曲线的几何定义可得，，所以．在中，因为，所以，即，所以，则，故选B．‎ ‎10.《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作.书中有如下问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径是多少？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直角三角形的内切圆半径（，为直角边，为斜边），求出圆的面积，再利用几何概型-面积比即可求解.‎ ‎【详解】由题意两直角边为，斜边，‎ 所以内切圆半径，‎ 所以落在其内切圆内的概率：‎ ‎，‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了几何概型的概率计算公式-面积型，属于基础题.‎ ‎11.函数在区间上是单调函数，且的图像关于点对称，则（ ）‎ A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数的单调区间，解得的取值范围，结合对称中心，即可求得结果.‎ ‎【详解】因为在区间上是单调函数，‎ 则由，可得，‎ 则，解得.‎ 又因为的图像关于点对称，‎ 故可得，即，‎ 解得.‎ 结合的取值范围，即可得或.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查由余弦型函数的单调区间以及对称中心，求参数范围的问题，属基础题.‎ ‎12.函数，关于的方程恰有四个不同实数根，则正数的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导函数讨论函数单调性与极值情况，转化为讨论的根的情况，结合根的分布求解.‎ ‎【详解】，令，得或，‎ 当时，，函数在上单调递增，且;‎ 当时，，函数在上单调递减;‎ 当时，，函数在上单调递增.‎ 所以极大值，极小值，作出大致图象：‎ 令，则方程有两个不同的实数根，‎ 且一个根在内，另一个根在内，‎ 或者两个根都在内.‎ 因为两根之和为正数，所以两个根不可能在内.‎ 令，因为，所以只需，即，得，即的取值范围为.‎ 故选：D ‎【点睛】此题考查复合函数零点问题，根据零点个数求参数范围，关键在于准确讨论函数图象特征，结合二次方程根分布知识求解.‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知甲、乙两名篮球运动员进行罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个，每组命中个数的茎叶图如图所示，则命中率较高的为_______.‎ ‎【答案】甲.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 甲运动员的命中个数集中在茎叶图的下方，而乙运动员的命中个数集中在茎叶图的上方．从数据的分布情况来看，甲运动员的罚球命中率较高 ‎【详解】甲运动员的命中个数集中在茎叶图的下方，‎ 而乙运动员的命中个数集中在茎叶图的上方．‎ 从数据的分布情况来看，甲运动员的罚球命中率较高．‎ 故答案为甲 ‎【点睛】画茎叶图时的注意事项 ‎（1）将每个数据分为茎（高位）和叶（低位）两部分，当数据是两位整数时，茎为十位上的数字，叶为个位上的数字；当数据是由整数部分和小数部分组成，可以把整数部分作为茎，把小数部分作为叶； ‎ ‎（2）将茎上的数字按大小次序排成一列．‎ ‎（3）为了方便分析数据，通常将各数据的叶按大小次序写在其茎右（左）侧．‎ ‎（4）用茎叶图比较数据时，一般从数据分布的对称性、中位数，稳定性等方面来比较．‎ ‎14.已知，则曲线在点处的切线方程为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 求出导函数，令，求出，从而求出函数表达式以及导函数表达式，求出以及，再利用导数的几何意义以及点斜式方程即可求解.‎ 详解】由，则，‎ 当时，，解得，‎ 所以，，‎ 即，，‎ 所以曲线在点处的切线方程为：，‎ 即为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了导数的几何意义、基本初等函数的导数以及导数的运算法则，属于基础题.‎ ‎15.如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东，与观测站A距离海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北的C处，且，已知A、C两处的距离为10海里，则该货船的船速为海里／小时___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由已知，‎ 所以，，‎ 由余弦定理得，‎ ‎,故（海里），‎ 该货船的船速为海里/小时．‎ 考点：三角函数同角公式，两角和与差的三角函数，余弦定理的应用．‎ ‎16.已知三棱锥中，三点在以为球心的球面上，若，，且三棱锥的体积为，则球的表面积为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用面积公式求出的面积，再利用余弦定理求出的长度，利用正弦定理求出的外接圆半径，根据勾股定理求出球的半径，由球的表面积公式即可求解.‎ ‎【详解】的面积，‎ 设球心到平面的距离为，‎ 则，解得，‎ 在中，由余弦定理 ‎，‎ ‎ ‎ 设的外接圆半径为，由正弦定理 则，解得，‎ 设球的半径为，则，‎ 所以球的表面积为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了球的表面积公式、三棱锥的体积公式、三角形的面积公式以及余弦定理解三角形，正弦定理解三角形的外接圆半径，属于中档题.‎ 三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17.等差数列的前项和为，已知，.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式及前项和为；‎ ‎（Ⅱ）设为数列的前项的和，求证：.‎ ‎【答案】（Ⅰ）， （Ⅱ）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据等差数列公式直接计算得到答案.‎ ‎（Ⅱ），根据裂项求和法计算得到得到证明.‎ ‎【详解】（Ⅰ）等差数列的公差为，由，得，，‎ 即，，解得，.‎ ‎∴，.‎ ‎（Ⅱ），∴，‎ ‎∴，即.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的基本量的计算，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.‎ ‎18.某中学从甲乙两个教师所教班级的学生中随机抽取100人，每人分别对两个教师进行评分，满分均为100分，整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：，，，，，.得到甲教师的频率分布直方图，和乙教师的频数分布表：‎ 乙教师分数频数分布表 分数区间 频数 ‎3‎ ‎3‎ ‎15‎ ‎19‎ ‎35‎ ‎25‎ ‎（1）在抽样的100人中，求对甲教师的评分低于70分的人数；‎ ‎（2）从对乙教师的评分在范围内的人中随机选出2人，求2人评分均在范围内的概率；‎ ‎（3）如果该校以学生对老师评分的平均数是否大于80分作为衡量一个教师是否可评为该年度该校优秀教师的标准，则甲、乙两个教师中哪一个可评为年度该校优秀教师？（精确到0.1）‎ ‎【答案】(1)人；（2）；（3）乙可评为年度该校优秀教师 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据频率分布直方图求出70分以上的频率，总频率之和为可得70分以下的频率，由频率即可求解. ‎ ‎（2）根据频数分布表有3人，有3人，分别进行标记，利用列举法求出随机选出2人的基本事件个数，然后再求出评分均在范围内的基本事件个数，根据古典概型的概率计算公式即可求解.‎ ‎（3）利用平均数小矩形的面积小矩形底边中点横坐标之和，求出甲的平均分，再利用平均数的公式求出乙的平均分即可得出结果.‎ ‎【详解】（1）由频率分布直方图可知，70分以上的频率为， ‎ ‎70分以下的频率为，‎ 所以对甲教师的评分低于70分的人数：.‎ ‎（2）由频数分布表有3人，有3人， ‎ 记的3人为A、B、C，的3人为、、，‎ 随机选出2人：，，，，，，‎ ‎， ，，， ，，，‎ ‎ ，，共种；‎ 评分均在的抽取方法：， ，，共3种；‎ 所以2人评分均在范围内的概率.‎ ‎（3）由频率分布直方图可得的频率为：‎ ‎ ‎ 甲教师的平均数为：‎ ‎，‎ 乙教师的平均数为：‎ ‎，‎ 由于乙教师的平均数大于80分，故乙可评为年度该校优秀教师.‎ ‎【点睛】本题考查了频率分布直方图求平均数、频数分布表、古典概型的概率计算公式，考查了学生的数据分析处理能力，属于基础题.‎ ‎19.如图1，在中, 分别为的中点，点为线段上的一点，将沿折起到的位置，使，如图2.‎ ‎ ‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）线段上是否存在点，使平面？说明理由.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）线段上存在点，使平面.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）由题意可证DE⊥平面A1DC，从而有DE⊥A‎1F，又A‎1F⊥CD，可证A‎1F⊥平面BCDE，问题解决； ‎ ‎（2）取A‎1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC，平面DEQ即为平面DEP，由DE⊥平面，P是等腰三角形DA‎1C底边A‎1C的中点，可证A‎1C⊥平面DEP，从而A‎1C⊥平面DEQ．‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：由已知得且，‎ ‎，又，‎ 平面，面平面，‎ ‎，‎ 又平面，‎ ‎.‎ ‎（2）线段上存在点，使平面.‎ 理由如下：如图，分别取的中点，则.‎ 平面即为平面.‎ 由（1）知平面，‎ 又是等腰三角形底边的中点，‎ 平面，从而平面，‎ 故线段上存在点，使平面.‎ ‎ ‎ 点睛：‎ 证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论 ‎；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.‎ ‎20.如图,椭圆：的左、右焦点分别为，椭圆上一点与两焦点构成的三角形的周长为6,离心率为， ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线交椭圆于两点,问在轴上是否存在定点,使得为定值？证明你的结论.‎ ‎【答案】（1）（2）存在定点,使得为定值.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据点与两焦点构成的三角形的周长为6,离心率为，结合性质 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、，即可得结果；（Ⅱ）设出直线方程，直线方程与椭圆方程联立，消去可得关于的一元二次方程，表示为，利用韦达定理化简可得，令可得结果.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题设得,又,解得,∴.‎ 故椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）,当直线的斜率存在时,设此时直线的方程为,‎ 设,,把代入椭圆的方程,消去并整理得,‎ ‎,则,,‎ 可得.设点,‎ 那么,‎ 若轴上存在定点,使得为定值,则有,解得,‎ 此时,,‎ 当直线的斜率不存在时,此时直线的方程为,把代入椭圆方程解得,‎ 此时,,, ,‎ 综上,在轴上存在定点,使得为定值.‎ ‎【点睛】本题主要考查待定系数法求椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（1）若函数在，上单调递增，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若函数在处的切线平行于轴，是否存在整数，使不等式在时恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）a；（2）不存在，理由见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对原函数求导，根据导数和函数的单调性的关系即可求出的取值范围；‎ ‎（2）问题转化为即在时恒成立，令，求导后分和求函数的单调区间，进一步求得函数的最值得答案．‎ ‎【详解】解：（1）函数在，上单调递增，‎ ‎ 在， 上恒成立，‎ ‎，‎ 当时，有最小值，‎ ‎；‎ ‎（2），‎ ‎（1），‎ 函数在处的切线平行于轴，‎ ‎，‎ ‎，‎ 不等式在时恒成立，‎ 在时恒成立，‎ 即在时恒成立，‎ 令，，‎ ‎，‎ 当时，在上恒成立，即在上单调递增，‎ ‎（1），则，矛盾，‎ 当时，令，解得，‎ 令，解得：，‎ 令，解得：，‎ 在单调递减，在，单调递增，‎ ‎，‎ 令，，‎ ‎，‎ 当时，，函数单调递增，‎ 当时，，函数单调递减，‎ ‎，‎ 不存在整数使得恒成立，‎ 综上所述不存在满足条件的整数．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，导数的几何意义，还运用分离参数法和函数构造法解决恒成立问题，同时考查了数学转化思想方法以及推理能力和运算能力，属难题．‎ 选考题：（请考生在第22、23两道题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑）‎ ‎22.已知直线的参数方程为（其中为参数），以原点为极点，以轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（为常数，且），直线与曲线交于两点.‎ ‎（1）若，求实数的值；‎ ‎（2）若点的直角坐标为，且，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将直线的参数方程化为为普通方程，曲线C 的极坐标方程化为普通方程，再利用直线与圆的弦长公式求解.‎ ‎（2）直线的参数方程与圆的普通方程联立，根据参数的几何意义，则有求解.‎ ‎【详解】（1）曲线的极坐标方程可化为，‎ 化为直角坐标系下的普通方程为：，即.‎ 直线的普通方程为：，‎ 而点到直线的距离为，‎ 所以，即，‎ 又因为，所以.‎ ‎（2）显然点在直线上，把代入 并整理可得，‎ 设点对应的参数分别为.‎ 则，解得或.‎ 则，解得或.‎ 而，实数m的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查了参数方程，极坐标方程与普通方程间的转化以及直线与圆的弦长，参数的几何意义，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎23.已知，且.‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）求证：.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析 ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）由条件等式将用表示，再从，进一步求出 的范围，将问题转化为求二次函数的取值范围，二次函数配方，即可求解；‎ ‎（2）根据已知条件转化证明，利用基本不等式即可得证.‎ ‎【详解】（1）依题意，，故.‎ 所以，‎ 所以，即的取值范围为.‎ ‎（2）因为，‎ 所以 ‎，‎ 当且仅当时，等号成立，‎ 又因为，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查配方法、基本不等式和不等式证明等基础知识，解题中注意应用条件等式，属于中档题.‎