四川省眉山市2020届高三第三次诊断性考试 数学（理）试题（PDF版）

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书书书 数学!理工类"试题 第 !!!!! 页!共"页" 秘密 " 启用前 !考试时间"!"!"年#月$%日$&'""!$('""# 眉山市高!"#$级第三次诊断性考试 数!学!理工类" !考试时间"$!"分钟!试卷满分"$&"分# 注意事项" $)答卷前$考生务必将自己的姓名%准考证号填写在答题卡上& !)回答选择题时$选出每小题答案后$用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑&如需改 动$用橡皮擦干净后$再选涂其它答案标号&回答非选择题时$将答案写在答题卡上&写在本试 卷上无效& %)考试结束后$将本试卷和答题卡一并交回& 一$选择题"本题共$!小题%每小题&分%共*"分&在每小题给出的四个选项中%只有一项是符 合题目要求的& $!已知集合 "+ # $+ $ !,槡# $# %%+#,!%,$%"%$%!%%$%则!#%""$%+!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! -!#,!%,$%"%$%!$ .!#"%$%!%%$ /!#$%!%%$ 0!#!%%$ !!若1为虚数单位%则复数&+,213!" % 41562!" % 的共轭复数%& 在复平面内对应的点位于 -!第一象限 .!第二象限 /!第三象限 0!第四象限 %!&!+," 7'是&函数'!#"+213!%#4!"的图象关于直线#+," 7对称'的 -!充分不必要条件 .!必要不充分条件 /!充要条件 0!既不充分也不必要条件 #!幻方最早起源于我国%由正整数$%!%%%((%(! 这(! 个数填入(8( 方格中% 使得每行)每列)每条对角线上的数的和相等%这个正方形数阵就叫( 阶幻方! 定义'!("为(阶幻方对角线上所有数的和%如'!%"+$&%则'!$""+ -!&& .!&"" /!&"& 0!&"&" &!已知 )%(是两条不重合的直线%"%#是两个不重合的平面%则下列命题中错误的是 -!若 )&"%"&#%则 )&#或)'# .!若 )&(%)&"%(("%则(&" /!若 ))(%))"%()#%则")# 0!若 ))(%))"%则(&" *!!#!,!"!#4!"& 的展开式中含## 的项的系数为 -!,!" .!*" /!(" 0!7" (!若不相等的非零实数#%$%&成等差数列%且#%&%$ 成等比数列%则#4$ & + -!,& ! .!,! /!! 0!( ! 7!*周易+是我国古代典籍%用&卦'描述了天地世间万象变化!右图是一 个八卦图%包含乾)坤)震)巽)坎)离)艮)兑八卦!每一卦由三个爻组 成%其中& '表示一个阳爻%& '表示一个阴爻"!若从八卦中 任取两卦%这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为 -!% &* .!% !7 /!% $# 0!$ # 9!在*"%* 中%点 + 为%* 中点%过点 + 的直线与"%%"* 所在直线分别交于点 , %-%若 +,,",+ $ +,,"%% +,,"-+% +,,"*!$-"%%-""%则$4% 的最小值为 -!& # .!! /!% 0!( ! $"!如图%平面四边形 "*%. 中%"%)%*%"% 槡+ %%%*+!%*"%. 为 等边三角形%现将*"%. 沿"% 翻折%使点 . 移动至点+%且+%) %*%则三棱锥 +,"%* 的外接球的表面积为 -!7" .!*" /!#" 0!槡7 ! % " $$!若函数'!#"+:# 的图象上两点, %- 关于直线$+# 的对称点在/!#"+0#,!的图象上%则 0的取值范围是 -! ,;%:! "! .!!,;%:" /!"%:! "! 0!!"%:" $!!已知抛物线*,$!+## 和点.!!%""%直线#+1$,!与抛物线* 交于不同两点"%%%直线%. 与抛物线* 交于另一点2!给出以下判断, #以%2 为直径的圆与抛物线准线相离- $直线3% 与直线32 的斜率乘积为,!- %设过点 "%%%2 的圆的圆心坐标为!0%4"%半径为5%则0!,5!+#! 其中%所有正确判断的序号是 -!#$ .!#% /!$% 0!#$% 二$填空题"本题共#小题%每小题&分%共!"分& $%!已知实数#%$ 满足约束条件 #,$4$."% %#,$,%/"% $." 0 1 2 % 则&+!#4$ 的最大值为!!!! 数学!理工类"试题 第 # 页!共"页" 数学!理工类"试题 第 "!!!! 页!共"页" $#!某中学举行了一次消防知识竞赛%将参赛学生的成绩进行 整理后分为&组%绘制如图所示的频率分布直方图%记图 中从左到右依次为第一)第二)第三)第四)第五组%已知第 二组的频数是7"%则成绩在区间.7"%$""/的学生人数是 !!!! $&!设双曲线*,#! 0! ,$! 4! +$!0-"%4-""的左焦点为6%过点6 且倾斜角为#&<的直线与双曲线* 的两条渐近线顺次交于 "%% 两点!若 +,,6%+% +,,6"%则* 的离心率为!!!! $*!已知'!#"是定义在 % 上的偶函数%其导函数为 '7!#"!若 #-" 时%'7!#"3!#%则不等式 '!!#",'!#,$"-%#!4!#,$的解集是!!!! 三$解答题"共("分&解答应写出文字说明%证明过程或演算步骤&第$(!!$题为必考题%每个 试题考生都必须作答&第!!$!%题为选考题%考生依据要求作答& '一(必考题"共*"分& $(!!本小题满分$!分" 某商场为改进服务质量%随机抽取了!""名进场购物的顾客进行问卷调查!调查后%就顾客 &购物体验'的满意度统计如下, 满意 不满意 男 #" #" 女 7" #" !$"是否有9(=&>的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关0 !!"为答谢顾客%该商场对某款价格为$""元1件的商品开展促销活动!据统计%在此期间顾客 购买该商品的支付情况如下, 支付方式 现金支付 购物卡支付 -??支付 频率 $"> %"> *"> 优惠方式 按9折支付 按7折支付 其中有$1% 的顾客按# 折支付% $1!的顾客按*折支付%$1*的顾 客按7折支付 将上述频率作为相应事件发生的概率%记某顾客购买一件该促销商品所支付的金额为 8% 求 8 的分布列和数学期望! 附表及公式,9!+ (!0:,4;"! !044"!;4:"!04;"!44:"! +!9!.<"" "=$& "=$" "="& "="!& "="$" "=""& "=""$ <" !="(! !=("* %=7#$ &="!# *=*%& (=7(9 $"=7!7 $7!!本小题满分$!分" 已知0%4%;分别是*"%* 三个内角"%%%* 的对边%0562* 槡4 %;213"+44;! !$"求 "- !!"若0 槡+ %%44;+%%求4%;! $9!!本小题满分$!分" 如图%在 四 棱 锥 +,"%*. 中%底 面 "%*. 是 菱 形% 4%".+*"<%*+". 是 边 长 为 ! 的 正 三 角 形%+*+ 槡$"%2 为线段". 的中点! !$"求证,平面 +%*)平面 +%2- !!"若6 为线段+* 上一点%当二面角 +,.%,6 的余 弦值为槡& & 时%求三棱锥%,+.6 的体积! !"!!本小题满分$!分# 已知椭圆* 的中心在坐标原点3%其短半轴长为$%一个焦点坐标为!$%""%点" 在椭圆* 上% 点% 在直线$ 槡+ !上%且3")3%! !$"证明,直线 "% 与圆#!4$!+$相切- !!"设 "% 与椭圆* 的另一个交点为.%当*"3% 的面积最小时%求3. 的长! !$!!本小题满分$!分" 已知函数'!#"+:#,#@3#40#%'7!#"为'!#"的导数%函数'7!#"在#+#" 处取得最小值! !$"求证,@3#"4#"+"- !!"若#.#" 时%'!#".$恒成立%求0的取值范围! '二(选考题"共$"分&请考生在第!!$!%题中任选一题作答%如果多做%则按所做的第一题记分& !!!!本小题满分$"分"选修#,#,坐标系与参数方程 在直角坐标系#3$ 中%曲线*$的参数方程为 #+562&% $+213& 0 1 2 ! 以 3 为极点%# 轴正半轴为极轴建立 极坐标系%设点 " 在曲线*!,'213&+$上%点% 在曲线*%,&+," *!'-""上%且*"3% 为正 三角形! !$"求点 "%% 的极坐标- !!"若点 + 为曲线*$上的动点%, 为线段"+ 的中点%求5%,5的最大值! !%!!本小题满分$"分"选修#,&,不等式选讲 已知函数'!#"+5!#4$5! !$"解不等式,'!#"4'!#,!"/*- !!"求证,'!#40!",'!#,$"/5#4!0!4%545#4!0,0!5! 数学!理工类"试题 第 $ 页!共"页" 书书书 数学!理工类"试题答案 第 !!!!! 页!共"页" 数学!理工类"参考答案 评分说明! !"本解答给出了一种或几种解法供参考!如果考生的解法与本解答不同!可根据试题的主要 考查内容比照评分参考制定相应的评分细则" #"对计算题!当考生的解答在某一步出现错误时!如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度!可视影响的程度决定后继部分的给分!但不得超过该部分正确解答应得分数的一半#如果 后继部分的解答有较严重的错误!就不再给分" $"解答右端所注分数!表示考生正确做到这一步应得的累加分数" %"只给整数分"选择题和填空题不给中间分" !"&!#"'!$"(!%")!*"&!+"'!,"(!-")!."'!!/"(!!!"&!!#"& !$!,!!!%!$/!!!*!槡*!!!+! 0!#! "! $ !,!解析$!!"由题得 "#1#//!%/2%/0-/2%/"# !#/2-/2-/2!#/ 1*/ ."*3**+#*3/#%# 所以#有.,3*4的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关! %分………………………… !#"由题意可知 # 的可能取值为%/#+/#-/#./3 *分…………………………………………… $!#1%/"1! $2+/41! *#$!#1+/"1! #2+/41$ !/# $!#1-/"1$/45! +2+/41# *#$!#1./"1!/41! !/! .分……………………………… 则 # 的分布列为 # %/ +/ -/ ./ $ ! * $ !/ # * ! !/ !!!!!!!!!!! !/分………………………………………………………………… 所以#%#1%/2! *5+/2$ !/5-/2# *5./2! !/1+,!元"! !#分……………………………… !-!解析$!!"由&678' 槡5 $(89:)1*5(及正弦定理得 89:)678' 槡5 $89:'89:)189:+589:'! #分…………………………………………………… 因为+1!0)0'#所以89:+189:)678'5678)89:'#代入上式并化简得 槡$89:'89:)1678)89:'589:'! 数学!理工类"试题答案 第 #!!!! 页!共"页" 由于89:'$/#所以89: )0!! "+ 1! #! *分…………………………………………………… 又/%)%!#故 )1! $! +分……………………………………………………………………… !#"因为& 槡1 $#*5(1$#)1! $# 由余弦定理得
*#5(#0#*(678) 即$1!*5("#0#*(0*(1.0$*(# 所以*(1#! -分…………………………………………………………………………………… 而*5(1$# 所以*#(为一元二次方程,#0$,5#1/的两根! 所以*1!#(1#或*1##(1!! !#分…………………………………………………………… !.!解析$!!"证明$因为&$)- 是正三角形#% 为线段)- 的中点# 所以 $%')-! !分……………………………………………………………………………… 因为 )+'- 是菱形#所以 )-1)+! 因为(+)-1+/;#所以&)+- 是正三角形# 所以+%')-# $分……………………………………………………………………………… 所以 )-'平面 $+%! %分……………………………………………………………………… 又 )-)+'#所以+''平面 $+%! *分………………………………………………………… 因为+'*平面 $+'#所以平面 $+''平面 $+%! +分……………………………………… !#"解$由!!"知+''平面 $+%# 所以+''$+#$+1 $'#0+'槡 # 槡1 +! 而 $%1+% 槡1 $#所以 $+#1$%#5+%##$%'%+! 又 $%')-#所以 $%'平面 )+'-! ,分……………………………………………………… 以% 为坐标原点#建立如图所示空间直角坐标系%0,./! 则+!/#槡$#/"#$!/#/#槡$"#'!0##槡$#/"#-!0!#/#/"! -分………………………………… 于是#+,,-$1!!#/#槡$"#+,,-+1!!#槡$#/"! 设面 -+$ 的一个法向量!1!,#.#/"# 由 !% +,,-+1/# !% +,,-$1/ - . / # 得 , 槡5 $.1/# , 槡5 $/1/ - . / ! 令, 槡1 $# 则.1/10!#即 !1!槡$#0!#0!"! .分……………………………………………………… 设 +,,$01! +,,$'!/0!0!"#易得0!0#!#槡$!#槡 槡$0 $!"#+,,-01!!0#!#槡$!#槡 槡$0 $!"! 设面 -0+ 的一个法向量"1!,#.#/"# 数学!理工类"试题答案 第 $!!!! 页!共"页" 由 "% +,,-+1/# "% +,,-01/ - . / # 得 , 槡5 $.1/# !!0#!", 槡5 $!.5!槡 槡$0 $!"/1/ - . / ! 令, 槡1 $#则.10!#/1!0$! !0!#即" 槡1 $#0!#!0$! !! "0! ! !/分……………………………… 依题意1678&!#"'11槡* * #即 %5$!0! !0! 槡*% %5 !0$! !! "0!槡 # 1槡* * # 令$!0! !0!11#则110$ ##即$!0! !0!10$ ##即!1* .! !!分……………………………………… 所以2+0$-0 12$0+-' 0200+-' 1* .2$0+-' 1* .2! $ 槡 槡2 $2 $1* .! !#分…………………… #/!解析$!!"由题意#椭圆' 的焦点在, 轴上#且*1(1!#所以& 槡1 #! 所以椭圆' 的方程为,# #5.#1!! #分…………………………………………………………… 由点+ 在直线. 槡1 #上#且3)'3+ 知3) 的斜率必定存在# 当3) 的斜率为/时#13)1 槡1 ##13+1 槡1 ## 于是1)+11##3 到)+ 的距离为!#直线 )+ 与圆,#5.#1!相切! %分…………………… 当3) 的斜率不为/时#设3) 的方程为.14,#与,# #5.#1!联立得!!5#4#",#1## 所以,# ) 1 # !5#4##.# ) 1 #4# !5#4##从而13)1#1#5#4# !5#4#! 而3+'3)#故3+ 的方程为,104.#而+ 在. 槡1 #上#故, 槡10 #4# 从而13+1#1#5#4##于是 ! 13)1#5 ! 13+1#1!! 此时#3 到)+ 的距离为!#直线 )+ 与圆,#5.#1!相切! 综上#直线 )+ 与圆,#5.#1!相切! ,分……………………………………………………… !#"由!!"知#&)3+ 的面积为 51! #13)1%13+11 #5#4# # !5#4槡 # 1!5!!5#4#" # !5#4槡 # 1! # ! !5#4槡 # 5 !5#4槡! "# 2!# 上式中#当且仅当41/等号成立#所以&)3+ 面积的最小值为!! 此时#点 ) 在椭圆的长轴端点#+ 为!/#槡#"! !/分……………………………………………… 不妨设 ) 为长轴左端点#则直线 )+ 的方程为.1, 槡5 ## 代入椭圆' 的方程解得.- 1 槡# # $ # 即.# - 1- .#,# - 1# .#所以13-11 槡!/ $ ! !#分…………………………………………………… 数学!理工类"试题答案 第 %!!!! 页!共"页" #!!解析$!!"由题意67!,"1<,0=:,5&0!# 令8!,"1<,0=:,5&0!#则87!,"1<,0! ,#知87!,"为!/#5>"的增函数# 因为87!!"1<0!#/#87! "! # 槡1 <0#%/# 所以#存在! #%1/%!使得87!1/"1/#即<1/ 0! 1/ 1/! #分……………………………………… 所以#当,3!/#1/"时87!,"%87!1/"1/#8!,"为减函数# 当,3!1/#5>"时87!,"#87!1/"1/#8!,"为增函数# 故当,11/ 时#8!,"取得最小值#也就是67!,"取得最小值! %分……………………………… 故,/11/#于是有<,/ 0! ,/ 1/#即<,/ 1! ,/ # 所以有=:,/5,/1/#证毕! *分………………………………………………………………… 评分细则!"直接用$8%,&在,1,/ 处取得最小值!则87%,/&1/'的!扣掉#分#有8%,&的单 调性分析!说明取得最小值的点不是端点!从而得到87%,/&1/视为正确!即可不扣分" #分段给分点建议这样把握(求出一阶导数!分!二阶导数!分#正确说明87%,/&1/!#分# 得出结论!分"共*分" !#"由!!"知#67!,"1<,0=:,5&0!的最小值为! ,/ 5,/5&0!# "当! ,/ 5,/5&0!2/#即&2!0 ! ,/ 5,! "/ 时#6!,"为(,/#5>"的增函数# 所以6!,"?9:16!,/"1<,/ 0,/=:,/5,/&1! ,/ 5,/ #5,/&# 2! ,/ 5,/ #5,/ !0 ! ,/ 5,! "( )/ 1! ,/ 5,/0!# 由!!"中! #%,/%!#得 ! ,/ 5,! "/ 0!#!#即6!,"#!! 故&2!0 ! ,/ 5,! "/ 满足题意! ,分……………………………………………………………… #当! ,/ 5,/5&0!%/#即&%!0 ! ,/ 5,! "/ 时#67!,"有两个不同的零点,!#,## 且,!%,/%,##即67!,#"1<,# 0=:,#5&0!1/4&1=:,#0<,# 5!# 若,3!,/#,#"时67!,"%67!,#"1/#6!,"为减函数#!5" 若,3!,##5>"时67!,"#67!,#"1/#6!,"为增函数# 所以6!,"的最小值为6!,#"! 注意到6!!"1<5&1!时#&1!0<#且此时67!!"1<5&0!1/# 数学!理工类"试题答案 第 &!!!! 页!共"页" !$"当&2!0<时#67!!"1<5&0!2/167!,#"# 所以/%,#0!#即!0,#2/# 又6!,#"1<,# 0,#=:,#5&,#1<,# 0,#=:,#5!=:,#0<,# 5!",#1!!0,#"<,# 5,# 1!!0,#"!<,# 0!"5!# 而<,# 0!#/#所以!!0,#"!<,# 0!"5!#!#即6!,#"#!! !/分……………………………… 由于在! #%,/%!下#恒有 ! ,/ 5,! "/ %<#所以!0<%!0 ! ,/ 5,! "/ ! !%"当&%!0<时#67!!"1<5&0!%/167!,#"# 所以,##!#,/# 所以由!5"知,3!!#,#"时#6!,"为减函数# 所以6!,"%6!!"1<5&%!#不满足,2,/ 时#6!,"2!恒成立#故舍去! 故!0<0&%!0 ! ,/ 5,! "/ 满足条件! 综上所述$&的取值范围是(!0<#5>"! !#分………………………………………………… 选考题"!/分# ##!解析$!!"因为点+ 在曲线'$$"10! +!##/"上#&)3+ 为正三角形# 所以点 ) 在曲线"1! +!##/"上! #分…………………………………………………………… 又因为点 ) 在曲线'#$#89:"1!上# 所以点 ) 的极坐标是 ##!! "+ # %分……………………………………………………………… 从而#点+ 的极坐标是 ##0!! "+ ! *分………………………………………………………… !#"思路!$ 由!!"可知#点 ) 的直角坐标为!槡$#!"! 设点 9 的直角坐标为!,#."#则点 $ 的直角坐标为!#, 槡0 $##.0!"! 将此代入曲线'!的方程#有 ,1槡$ # 5! #678"# .1! #5! #89:" - . / ! -分…………………………………………… 即点 9 在以: 槡$ # #! "! # 为圆心#! #为半径的圆上! 计算可知1+:1 槡1 $# 所以1+91的最大值为1+:15! #1! # 槡5 $! !/分……………………………………………… 数学!理工类"试题答案 第 "!!!! 页!共"页" 思路#$ 设线段3) 的中点为:#则1+:1 槡1 $! 如图#易知 9:)$3#且19:11! #1$31# -分…………… 由已知#曲线'!是以3 为圆心#!为半径的圆# 所以点 9 在以: 为圆心#! #为半径的圆上! 所以#1+91的最大值为1+:15! #1! # 槡5 $! !/分………… #$!解析$!!"由于6!,"56!,0#"11#,5!151#,0$1# 于是原不等式化为1#,5!151#,0$10+# 若,%0! ##则0#,0!0!#,0$"0+#解得0!0,%0! #* #分……………………………… 若0! #0,0$ ##则0#,0!5!#,0$"0+#解得0! #0,0$ #* 若,#$ ##则#,5!5!#,0$"0+#解得$ #%,0#! 综上所述#不等式解集为+,10!0,0#,! *分………………………………………………… !#"由已知条件# 对于6,3!#可得 6!,5&#"06!,0!"11#,5#!101#,0!101##11##! +分………………… 又1,5#$151,5#&0y#$0!#&0&#"111$�#&5$1# 由于$�#&5$1$&0! "! $ # 5- $#/# 所以1,5#$151,5#&0$�#&5$! -分………………………………………… 又由于$�#&5$0!##"1�#&5!1!&0!"#2/# 于是$�#&5$2##! 所以6!,5&#"06!,0!"01,5#$151,5#&0
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