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文档介绍
2018-2019学年安徽省淮北市第一中学高二下学期开学考试数学(理)试题(解析版)
安徽省淮北市第一中学2018-2019学年高二下学期开学考试数学(理)试题 一、选择题(本大题共12小题,共60.0分) 1. 命题“∀x∈R,x2+2x-1<0”的否定是( ) A. ∀x∈R,x2+2x-1≥0 B. ∃x∈R,x2+2x-1<0 C. ∃x∈R,x2+2x-1≥0 D. ∃x∈R,x2+2x-1>0 【答案】C 【解析】解:由全称命题的否定为特称命题可知:∀x∈R,x2+2x-1<0的否定为∃x∈R,x2+2x-1≥0, 故选:C. 直接利用全称命题的否定是特称命题,写出结果即可. 本题考查命题的否定,全称命题与特称命题的否定关系,是基础题. 2. 抛物线y2=3x的准线方程是( ) A. y=-34 B. x=-34 C. y=-112 D. x=-112 【答案】B 【解析】解:抛物线y2=3x的准线方程是:x=-34. 故选:B. 直接利用抛物线方程求解即可. 本题考查抛物线的简单性质的应用,是基础题. 3. 已知一组数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数是2,方差是13,那么另一组数据3x1-2,3x2-2,3x3-2,3x4-2,3x5-2的平均数和方差分别为( ) A. 2,13 B. 4,3 C. 4,23 D. 2,1 【答案】B 【解析】解:∵x1,x2,…,x5的平均数是2,则x1+x2+…+x5=2×5=10. ∴数据3x1-2,3x2-2,3x3-2,3x4-2,3x5-2的平均数是:x-'=15[(3x1-2)+(3x2-2)+(3x3-2)+(3x4-2)+(3x5-2)]=15[3×(x1+x2+…+x5)-10]=4, S'2=15×[(3x1-2-4)2+(3x2-2-4)2+…+(3x5-2-4)2], =15×[(3x1-6)2+…+(3x5-6)2]=9×15[(x1-2)2+(x2-2)2+…+(x5-2)2]=3. 故选:B. 本题可将平均数和方差公式中的x换成3x-2,再化简进行计算. 本题考查的是方差和平均数的性质.设平均数为E(x),方差为D(x).则E(cx+d)=cE(x)+d ;D(cx+d)=c2D(x). 1. 如图是一个几何体的三视图,根据图中的数据(单位:cm),可知此几何体的体积是( ) A. 24cm3 B. 643cm3 C. (6+25+22)cm3 D. (24+85+82)cm3 【答案】B 【解析】集体:由题意可得,几何体的直观图如图: 是正方体的一部分,正方体的棱长为4, 所以几何体的体积为:13×4×4×4=643.(cm3) 故选:B. 判断几何体的形状,画出直观图,然后求解几何体的体积即可. 本题考查几何体的体积的求法,三视图的应用,是基本知识的考查. 2. 曲线x216+y225=1与曲线x216-k+y225-k=1(k<16)的( ) A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 【答案】D 【解析】解:由曲线x216+y225=1得a2=25,b2=16,得c2=a2-b2=9,∴c=3. 椭圆x216+y225=1的焦点坐标为(0,±3); 由曲线x216-k+y225-k=1(k<16)的可知该曲线为焦点在y轴上的椭圆, 且a2=25-k,b2=16-k,得c2=25-k-16+k=9,∴c=3. 椭圆x216-k+y225-k=1(k<16)的焦点坐标为(0,±3). ∴曲线x216+y225=1与曲线x216-k+y225-k=1(k<16)的有相同的焦点. 焦距相等. 故选:D. 由两曲线方程分别求出焦点坐标得答案. 本题考查椭圆的标准方程,考查了椭圆的简单性质,是基础题. 1. 已知变量x和y之间的几组数据如表( ) x 4 6 8 10 12 y 1 2 3 5 6 若根据上表数据所得线性回归方程为y=0.65x+m,则m=( ) A. -1.6 B. -1.7 C. -1.8 D. -1.9 【答案】C 【解析】解:根据上表数据,计算x-=15×(4+6+8+10+12)=8, y-=15×(1+2+3+5+6)=3.4, 代入线性回归方程y=0.65x+m中, 计算m=3.4-0.65×8=-1.8. 故选:C. 根据上表数据计算x-、y-,代入线性回归方程中求得m的值. 本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题,是基础题. 2. 执行如图所示的程序框图,若输入n=8,则输出的k=( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】解:模拟程序的运行,可得 n=8,k=0, n=17 不满足条件n>100,执行循环体,k=1,n=35 不满足条件n>100,执行循环体,k=2,n=71 不满足条件n>100,执行循环体,k=3,n=143 满足条件n>100,退出循环,输出k的值为3. 故选:B. 根据已知中的程序框图可得,该程序的功能是计算n的值并输出相应变量k的值,模拟程序的运行过程,可得答案. 本题考查的知识点是程序框图,当程序的运行次数不多或有规律时,可采用模拟运行的办法解答,属于基础题. 1. 若变量x,y满足x+y≤22x-3y≤9x≥0,则x2+y2的最大值是( ) A. 4 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】解:由约束条件x+y≤22x-3y≤9x≥0作出可行域如图, ∵A(0,-3),C(0,2), ∴|OA|>|OC|, 联立2x-3y=9x+y=2,解得B(3,-1). ∵|OB|2=(32+(-1)2)2=10, ∴x2+y2的最大值是10. 故选:C. 由约束条件作出可行域,然后结合x2+y2的几何意义,即可行域内的动点与原点距离的平方求得x2+y2的最大值. 本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法,是中档题. 1. 下列说法中正确的是( ) A. 斜三棱柱的侧面展开图一定是平行四边形 B. 水平放置的正方形的直观图有可能是梯形 C. 一个直四棱柱的正视图和侧视图都是矩形,则该直四棱柱就是长方体 D. 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分形成的几何体就是圆台 【答案】D 【解析】解:由斜三棱柱的各个侧面为平行四边形,侧面展开图只能为平行四边形构成, 且上下边不平行,故A错误; 由直观图的画法,以及平行性不变,可得B错误; 一个直四棱柱的正视图和侧视图都是矩形,该直四棱柱不一定是长方体, 还要看俯视图是不是矩形,故C错误; 由定义可得,用平行于圆锥底面的平面去截圆锥, 底面与截面之间的部分形成的几何体就是圆台,故D正确. 故选:D. 由侧面展开图可判断A;由直观图的画法和性质可判断B;由三视图可判断C;由圆台的定义可判断D. 本题考查多面体的定义和运用,以及直观图和侧面展开图的画法,考查判断能力和空间想象能力,属于基础题. 2. 《九章算术》之后,人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题.《张丘建算经》(成书约公元5世纪)卷上二十二“织女问题”:今有女善织,日益功疾.初日织五尺,今一月日织九匹三丈,问日益几何?其意思为:有一个女子很会织布,一天比一天织得快,而且每天比前一天多织相同量的布.已知第一天织5尺,经过一个月(按30天计)后,共织布九匹三丈.问从第2天起,每天比前一天多织布多少尺?(注:1匹=4丈,1丈=10尺)那么此问题的答案为( ) A. 12尺 B. 815尺 C. 1631尺 D. 1629尺 【答案】D 【解析】解:设每天多织布d尺, 由题意每天织布的量是等差数列,且a1=5, 得:30×5+30×292d=390, 解得d=1629, 故选:D. 设每天多织布d尺,利用等差数列前n项和公式列出方程,能求出结果. 本题考查等差数列的公差的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用. 1. 函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,要得到函数g(x)=2sin(2x+π4)的图象,只需将函数f(x)的图象( ) A. 向右平移π12长度单位 B. 向左平移π24长度单位 C. 向左平移π12长度单位 D. 向右平移π24长度单位 【答案】D 【解析】解:由图象知A=2, T4=7π12-π3=3π12=π4,即T=π, 即2πω=π,即ω=2, 即f(x)=2sin(2x+φ),由五点对应法知2×π3+φ=π,即φ=π3, 则f(x)=2sin(2x+π3), ∵g(x)=2sin(2x+π4)=2sin(2x+π4-π3+π3)=2sin(2x-π12+π3)=2sin[2(x-π24)+π3], ∴只需将函数f(x)的图象向右平移π24长度单位,即可得到g(x)的图象, 故选:D. 根据函数图象确定A,ω和φ的值,利用三角函数的图象变换关系进行求解即可. 本题主要考查三角函数解析式的求解以及三角函数图象变换关系,求出函数的解析式是解决本题的关键. 2. 设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,|F1F2|=2c,过F2作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A,已知Q(c,3a2),|F2Q|>|F2A|,点P是双曲线C右支上的动点,且|PF1|+|PQ|>32|F1F2|恒成立,则双曲线的离心率的取值范围是( ) A. (102,+∞) B. (1,76) C. (76,102) D. (1,102) 【答案】B 【解析】解:令x=c代入双曲线的方程可得y=±bc2a2-1=±b2a, 由|F2Q|>|F2A|,可得3a2>b2a, 即为3a2>2b2=2(c2-a2), 即有e=ca<102① 又|PF1|+|PQ|>32|F1F2|恒成立, 由双曲线的定义,可得2a+|PF2|+|PQ|>3c恒成立, 由F2,P,Q共线时,|PF2|+|PQ|取得最小值|F2Q|=3a2, 可得3c<2a+3a2, 即有e=ca<76② 由e>1,结合①②可得, e的范围是(1,76). 故选:B. 将x=c代入双曲线的方程,求得A的纵坐标,由|F2Q|>|F2A|,结合a,b,c和离心率公式可得e的范围;再由双曲线的定义和恒成立思想,讨论F2,P,Q共线时,|PF2|+|PQ|取得最小值|F2Q|,结合离心率公式可得e的范围,再由e>1,取交集即可得到所求范围. 本题考查双曲线的离心率的范围,注意运用双曲线的定义和三点共线的性质,考查运算能力,属于中档题. 二、填空题(本大题共4小题,共20.0分) 1. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=4,AA1=5,则直线AC1与平面ABCD所成角的大小为______. 【答案】45∘ 【解析】解:连接AC,则∠C1AC为直线AC1与平面ABCD所成角 ∵AB=3,AD=4, ∴AC=5, ∵AA1=5, ∴∠C1AC=45∘ 故答案为:45∘ 连接AC,则∠C1AC为直线AC1与平面ABCD所成角,从而可得结论. 本题考查线面角,考查学生的计算能力,属于中档题. 2. 已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),则a与b的夹角为______. 【答案】2π3 【解析】解:∵非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),设a与b的夹角为θ, 则a⋅(2a+b)=2a2+a⋅b=2|a|2+|a|⋅4|a|⋅cosθ=0,∴cosθ=-12,∴θ=23π, 故答案为:2π3. 利用两个向量垂直的性质、两个向量的数量积的定义,求得a与b的夹角θ的值. 本题主要考查两个向量的数量积的定义,两个向量垂直的性质,属于基础题. 1. 已知动点A(2,0),B(4,0),动点P在抛物线y2=-4x上运动,则AP⋅BP取得最小值时的点P的坐标是______. 【答案】(0,0) 【解析】解:由点P在抛物线y2=-4x上移动, 设点P的坐标为(-14t2,t), ∵A(2,0)、B(4,0), ∴AP=(-14t2-2,t),BP=(-14t2-4,t), 根据向量数量积的公式, 可得AP⋅BP=(-14t2-2)(-14t2-4)+t2=116t4+52t2+8, ∴AP⋅BP≥8, 116t4≥0且t2≥0,当且仅当t=0时即P坐标为(0,0)时,等号成立. 即当点P与原点重合时AP⋅BP的最小值为8. 故答案为:(0,0). 根据题意,点P的坐标为(-14t2,t),从而得到向量AP、BP关于t的坐标形式,算出AP⋅BP=(-14t2-2)(-14t2-4)+t2=116t4+52t2+8.再根据平方非负的性质加以计算,可得当点P与原点重合时AP⋅BP的最小值为8,求得此时P的坐标. 本题给出定点A、B的坐标与抛物线上的动点P,求AP⋅BP的最小值,着重考查了向量数量积的坐标公式、抛物线的标准方程与简单几何性质等知识,属于中档题. 2. 下列命题中 ①已知点A(-3,0),B(3,0),动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹是一个圆; ②已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=3,则动点P的轨迹是双曲线右边一支; ③两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1; ④在平面直角坐标系内,到点(1,1)和直线x+2y=3的距离相等的点的轨迹是抛物线; ⑤设定点F1(0,2),F2(0,-2),动点P满足条件|PF1|+|PF2|=a+4a(a>0),则点P的轨迹是椭圆. 正确的命题是______. 【答案】①②③ 【解析】解:①中|PA|=(x+3)2+y2,|PB|=(x-3)2+y2,根据|PA|=2|PB|,化简得:(x-5)2+y2=16.,所以点P的轨迹是个圆; ②因为|PM|-|PN|=3<|MN|=4,所以根据双曲线的定义,P点的轨迹是双曲线右支,正确; ③根据相关性定义,两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1,正确; ④因为点在直线上,不符合抛物线定义,错误; ⑤因为a+4a≥4,且当a=2时取等号,不符合椭圆的定义,错误.综上正确的是①②③. 故答案为:①②③. 求出轨迹方程判断①的正误;利用双曲线的定义判断②的正误;线性相关的定义判断③的正误;利用哦王孝的定义判断④的正误;椭圆的定义判断⑤的正误. 本题考查命题的直接的判断与应用,轨迹方程的求法,考查转化思想以及计算能力. 三、解答题(本大题共6小题,共70.0分) 1. 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cos2B-cos2C=sin2A+sinAsinB. (1)求角C的大小; (2)若A=π6,△ABC的面积为43,M为BC的中点,求AM. 【答案】解:(1)∵在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 且cos2B-cos2C=sin2A+sinAsinB. ∴sin2C-sin2B=sin2A-sinAsinB. 由正弦定理,得c2-b2=a2-ab, 即c2=a2+b2-ab. 又由余弦定理,得cosC═a2+b2-c22ab=12. ∵0<∠C<π, ∴∠C=π3. (2)∵由∠A=π6,∠C=π3,可得:∠B=π2, ∴tanC=tanπ3=3=cb,可得:c=3b, 又∵S△ABC=12bc=43,可得:bc=3b2=83,解得:b=22,c=26, ∵M为BC的中点, ∴BM=2, ∴CM=c2+BM2=(26)2+(2)2=26. 【解析】(1)推导出sin2C-sin2B=sin2A-sinAsinB,由正弦定理,得c2=a2+b2-ab.由余弦定理得cosC,结合C的范围即可求出∠C. (2)由已知可得∠B=π2,利用三角函数的定义可求c=3b ,利用三角形面积公式可求b,c的值,根据勾股定理即可解得AM的值. 本题考查考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想,属于基础题. 1. 设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a>0;q:实数x满足x2-x-6≤0. (1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围; (2)若¬q是¬p的充分不必要条件,求实数a的取值范围. 【答案】解:(1)由x2-4ax+3a2<0得(x-3a)(x-a)<0,又a>0,所以a查看更多