2018-2019学年安徽省淮北市第一中学高二下学期开学考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年安徽省淮北市第一中学高二下学期开学考试数学（理）试题（解析版）

安徽省淮北市第一中学2018-2019学年高二下学期开学考试数学（理）试题 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 命题“‎∀x∈R，x‎2‎‎+‎2‎x-1<0‎”的否定是‎(‎　　‎‎)‎ A. ‎∀x∈R，x‎2‎‎+‎2‎x-1≥0‎ B. ‎∃x∈R，x‎2‎‎+‎2‎x-1<0‎ C. ‎∃x∈R，x‎2‎‎+‎2‎x-1≥0‎ D. ‎∃x∈R，‎x‎2‎‎+‎2‎x-1>0‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：由全称命题的否定为特称命题可知：‎∀x∈R，x‎2‎‎+‎2‎x-1<0‎的否定为‎∃x∈R，x‎2‎‎+‎2‎x-1≥0‎， 故选：C． 直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可． 本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题． ‎ 2. 抛物线y‎2‎‎=3x的准线方程是‎(‎　　‎‎)‎ A. y=-‎‎3‎‎4‎ B. x=-‎‎3‎‎4‎ C. y=-‎‎1‎‎12‎ D. ‎x=-‎‎1‎‎12‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：抛物线y‎2‎‎=3x的准线方程是：x=-‎‎3‎‎4‎． 故选：B． 直接利用抛物线方程求解即可． 本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题． ‎ 3. 已知一组数据x‎1‎，x‎2‎，x‎3‎，x‎4‎，x‎5‎的平均数是2，方差是‎1‎‎3‎，那么另一组数据‎3x‎1‎-2‎，‎3x‎2‎-2‎，‎3x‎3‎-2‎，‎3x‎4‎-2‎，‎3x‎5‎-2‎的平均数和方差分别为‎(‎　　‎‎)‎ A. 2，‎1‎‎3‎ B. 4，3 C. 4，‎2‎‎3‎ D. 2，1‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：‎∵‎x‎1‎，x‎2‎，‎…‎，x‎5‎的平均数是2，则x‎1‎‎+x‎2‎+…+x‎5‎=2×5=10‎． ‎∴‎数据‎3x‎1‎-2‎，‎3x‎2‎-2‎，‎3x‎3‎-2‎，‎3x‎4‎-2‎，‎3x‎5‎-2‎的平均数是：x‎-‎‎'=‎1‎‎5‎[(3x‎1‎-2)+(3x‎2‎-2)+(3x‎3‎-2)+(3x‎4‎-2)+(3x‎5‎-2)]=‎1‎‎5‎[3×(x‎1‎+x‎2‎+…+x‎5‎)-10]=4‎， S‎'‎‎2‎=‎1‎‎5‎×[(3x‎1‎-2-4‎)‎‎2‎+(3x‎2‎-2-4‎)‎‎2‎+…+(3x‎5‎-2-4‎)‎‎2‎]‎， ‎=‎1‎‎5‎×[(3x‎1‎-6‎)‎‎2‎+…+(3x‎5‎-6‎)‎‎2‎]=9×‎1‎‎5‎[(x‎1‎-2‎)‎‎2‎+(x‎2‎-2‎)‎‎2‎+…+(x‎5‎-2‎)‎‎2‎]=3‎． 故选：B． 本题可将平均数和方差公式中的x换成‎3x-2‎，再化简进行计算． 本题考查的是方差和平均数的性质‎.‎设平均数为E(x)‎，方差为D(x).‎则E(cx+d)=cE(x)+d ‎；D(cx+d)=c‎2‎D(x)‎． ‎ 1. 如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据‎(‎单位：cm)‎，可知此几何体的体积是‎(‎　　‎‎)‎ A. ‎24cm‎3‎ B. ‎64‎‎3‎cm‎3‎ C. ‎(6+2‎5‎+2‎2‎)cm‎3‎ D. ‎‎(24+8‎5‎+8‎2‎)cm‎3‎ ‎【答案】B ‎【解析】集体：由题意可得，几何体的直观图如图： 是正方体的一部分，正方体的棱长为4， 所以几何体的体积为：‎1‎‎3‎‎×4×4×4=‎64‎‎3‎.(cm‎3‎)‎ 故选：B． 判断几何体的形状，画出直观图，然后求解几何体的体积即可． 本题考查几何体的体积的求法，三视图的应用，是基本知识的考查． ‎ 2. 曲线x‎2‎‎16‎‎+y‎2‎‎25‎=1‎与曲线x‎2‎‎16-k‎+y‎2‎‎25-k=1(k<16)‎的‎(‎　　‎‎)‎ A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 ‎【答案】D ‎【解析】解：由曲线x‎2‎‎16‎‎+y‎2‎‎25‎=1‎得a‎2‎‎=25‎，b‎2‎‎=16‎，得c‎2‎‎=a‎2‎-b‎2‎=9‎，‎∴c=3‎． 椭圆x‎2‎‎16‎‎+y‎2‎‎25‎=1‎的焦点坐标为‎(0,±3)‎； 由曲线x‎2‎‎16-k‎+y‎2‎‎25-k=1(k<16)‎的可知该曲线为焦点在y轴上的椭圆， 且a‎2‎‎=25-k，b‎2‎‎=16-k，得c‎2‎‎=25-k-16+k=9‎，‎∴c=3‎． 椭圆x‎2‎‎16-k‎+y‎2‎‎25-k=1(k<16)‎的焦点坐标为‎(0,±3)‎． ‎∴‎曲线x‎2‎‎16‎‎+y‎2‎‎25‎=1‎与曲线x‎2‎‎16-k‎+y‎2‎‎25-k=1(k<16)‎的有相同的焦点‎.‎ 焦距相等． 故选：D． 由两曲线方程分别求出焦点坐标得答案． 本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，是基础题． ‎ 1. 已知变量x和y之间的几组数据如表‎(‎　　‎‎)‎ x ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎12‎ y ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ 若根据上表数据所得线性回归方程为y‎=0.65x+m，则m=(‎　　‎‎)‎ A. ‎-1.6‎ B. ‎-1.7‎ C. ‎-1.8‎ D. ‎‎-1.9‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：根据上表数据，计算x‎-‎‎=‎1‎‎5‎×(4+6+8+10+12)=8‎， y‎-‎‎=‎1‎‎5‎×(1+2+3+5+6)=3.4‎， 代入线性回归方程y‎=0.65x+m中， 计算m=3.4-0.65×8=-1.8‎． 故选：C． 根据上表数据计算x‎-‎、y‎-‎，代入线性回归方程中求得m的值． 本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题． ‎ 2. 执行如图所示的程序框图，若输入n=8‎，则输出的k=(‎　　‎)‎ ‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 ‎ ‎ ‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：模拟程序的运行，可得 n=8‎，k=0‎， n=17‎ 不满足条件n>100‎，执行循环体，k=1‎，n=35‎ 不满足条件n>100‎，执行循环体，k=2‎，n=71‎ 不满足条件n>100‎，执行循环体，k=3‎，n=143‎ 满足条件n>100‎，退出循环，输出k的值为3． 故选：B． 根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算n的值并输出相应变量k的值，模拟程序的运行过程，可得答案． 本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答，属于基础题． ‎ 1. 若变量x，y满足x+y≤2‎‎2x-3y≤9‎x≥0‎，则x‎2‎‎+‎y‎2‎的最大值是‎(‎　　‎‎)‎ A. 4 B. 9 C. 10 D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：由约束条件x+y≤2‎‎2x-3y≤9‎x≥0‎作出可行域如图， ‎∵A(0,-3)‎，C(0,2)‎， ‎∴|OA|>|OC|‎， 联立‎2x-3y=9‎x+y=2‎，解得B(3,-1)‎． ‎∵|OB‎|‎‎2‎=(‎3‎‎2‎‎+(-1‎‎)‎‎2‎‎)‎‎2‎=10‎， ‎∴x‎2‎+‎y‎2‎的最大值是10． 故选：C． 由约束条件作出可行域，然后结合x‎2‎‎+‎y‎2‎的几何意义，即可行域内的动点与原点距离的平方求得x‎2‎‎+‎y‎2‎的最大值． 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题． ‎ 1. 下列说法中正确的是‎(‎　　‎‎)‎ A. 斜三棱柱的侧面展开图一定是平行四边形 B. 水平放置的正方形的直观图有可能是梯形 C. 一个直四棱柱的正视图和侧视图都是矩形，则该直四棱柱就是长方体 D. 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分形成的几何体就是圆台 ‎【答案】D ‎【解析】解：由斜三棱柱的各个侧面为平行四边形，侧面展开图只能为平行四边形构成， 且上下边不平行，故A错误； 由直观图的画法，以及平行性不变，可得B错误； 一个直四棱柱的正视图和侧视图都是矩形，该直四棱柱不一定是长方体， 还要看俯视图是不是矩形，故C错误； 由定义可得，用平行于圆锥底面的平面去截圆锥， 底面与截面之间的部分形成的几何体就是圆台，故D正确． 故选：D． 由侧面展开图可判断A；由直观图的画法和性质可判断B；由三视图可判断C；由圆台的定义可判断D． 本题考查多面体的定义和运用，以及直观图和侧面展开图的画法，考查判断能力和空间想象能力，属于基础题． ‎ 2. ‎《‎九章算术‎》‎之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题‎.《‎张丘建算经‎》(‎成书约公元5世纪‎)‎卷上二十二“织女问题”：今有女善织，日益功疾‎.‎初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何？其意思为：有一个女子很会织布，一天比一天织得快，而且每天比前一天多织相同量的布‎.‎已知第一天织5尺，经过一个月‎(‎按30天计‎)‎后，共织布九匹三丈‎.‎问从第2天起，每天比前一天多织布多少尺？‎(‎注：1匹‎=4‎丈，1丈‎=10‎尺‎)‎那么此问题的答案为‎(‎　　‎‎)‎ A. ‎1‎‎2‎尺 B. ‎8‎‎15‎尺 C. ‎16‎‎31‎尺 D. ‎16‎‎29‎尺 ‎【答案】D ‎【解析】解：设每天多织布d尺， 由题意每天织布的量是等差数列，且a‎1‎‎=5‎， 得：‎30×5+‎30×29‎‎2‎d=390‎， 解得d=‎‎16‎‎29‎， 故选：D． 设每天多织布d尺，利用等差数列前n项和公式列出方程，能求出结果． 本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用． ‎ 1. 函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π‎2‎)‎的部分图象如图所示，要得到函数g(x)=2sin(2x+π‎4‎)‎的图象，只需将函数f(x)‎的图象‎(‎　　‎‎)‎ A. 向右平移π‎12‎长度单位 B. 向左平移π‎24‎长度单位 C. 向左平移π‎12‎长度单位 D. 向右平移π‎24‎长度单位 ‎【答案】D ‎【解析】解：由图象知A=2‎， T‎4‎‎=‎7π‎12‎-π‎3‎=‎3π‎12‎=‎π‎4‎，即T=π， 即‎2πω‎=π，即ω=2‎， 即f(x)=2sin(2x+φ)‎，由五点对应法知‎2×π‎3‎+φ=π，即φ=‎π‎3‎， 则f(x)=2sin(2x+π‎3‎)‎， ‎∵g(x)=2sin(2x+π‎4‎)=2sin(2x+π‎4‎-π‎3‎+π‎3‎)=2sin(2x-π‎12‎+π‎3‎)=2sin[2(x-π‎24‎)+π‎3‎]‎， ‎∴‎只需将函数f(x)‎的图象向右平移π‎24‎长度单位，即可得到g(x)‎的图象， 故选：D． 根据函数图象确定A，ω和φ的值，利用三角函数的图象变换关系进行求解即可． 本题主要考查三角函数解析式的求解以及三角函数图象变换关系，求出函数的解析式是解决本题的关键． ‎ 2. 设双曲线C：x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)‎的左、右焦点分别为F‎1‎，F‎2‎，‎|F‎1‎F‎2‎|=2c，过F‎2‎作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A，已知Q(c,‎3a‎2‎)‎，‎|F‎2‎Q|>|F‎2‎A|‎，点P是双曲线C右支上的动点，且‎|PF‎1‎|+|PQ|>‎3‎‎2‎|F‎1‎F‎2‎|‎恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是‎(‎　　‎‎)‎ A. ‎(‎10‎‎2‎,+∞)‎ B. ‎(1,‎7‎‎6‎)‎ C. ‎(‎7‎‎6‎,‎10‎‎2‎)‎ D. ‎‎(1,‎10‎‎2‎)‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：令x=c代入双曲线的方程可得y=±bc‎2‎a‎2‎‎-1‎=±‎b‎2‎a， 由‎|F‎2‎Q|>|F‎2‎A|‎，可得‎3a‎2‎‎>‎b‎2‎a， 即为‎3a‎2‎>2b‎2‎=2(c‎2‎-a‎2‎)‎， 即有e=ca<‎10‎‎2‎①‎ 又‎|PF‎1‎|+|PQ|>‎3‎‎2‎|F‎1‎F‎2‎|‎恒成立， 由双曲线的定义，可得‎2a+|PF‎2‎|+|PQ|>3c恒成立， 由F‎2‎，P，Q共线时，‎|PF‎2‎|+|PQ|‎取得最小值‎|F‎2‎Q|=‎‎3a‎2‎， 可得‎3c<2a+‎‎3a‎2‎， 即有e=ca<‎7‎‎6‎②‎ 由e>1‎，结合‎①②‎可得， e的范围是‎(1,‎7‎‎6‎).‎ 故选：B． 将x=c代入双曲线的方程，求得A的纵坐标，由‎|F‎2‎Q|>|F‎2‎A|‎，结合a，b，c和离心率公式可得e的范围；再由双曲线的定义和恒成立思想，讨论F‎2‎，P，Q共线时，‎|PF‎2‎|+|PQ|‎取得最小值‎|F‎2‎Q|‎，结合离心率公式可得e的范围，再由e>1‎，取交集即可得到所求范围． 本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用双曲线的定义和三点共线的性质，考查运算能力，属于中档题． ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 1. 在长方体ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中，AB=3‎，AD=4‎，AA‎1‎=5‎，则直线AC‎1‎与平面ABCD所成角的大小为______．‎ ‎【答案】‎‎45‎‎∘‎ ‎【解析】解：连接AC，则‎∠C‎1‎AC为直线AC‎1‎与平面ABCD所成角 ‎∵AB=3‎，AD=4‎， ‎∴AC=5‎， ‎∵AA‎1‎=5‎， ‎∴∠C‎1‎AC=‎45‎‎∘‎ ‎故答案为：‎45‎‎∘‎ 连接AC，则‎∠C‎1‎AC为直线AC‎1‎与平面ABCD所成角，从而可得结论． 本题考查线面角，考查学生的计算能力，属于中档题． ‎ 2. 已知非零向量a，b满足‎|b|=4|a|‎，且a‎⊥(2a+b)‎，则a与b的夹角为______．‎ ‎【答案】‎‎2π‎3‎ ‎【解析】解：‎∵‎非零向量a，b满足‎|b|=4|a|‎，且a‎⊥(2a+b)‎，设a与b的夹角为θ， 则a‎⋅(2a+b)=2a‎2‎+a⋅b=2|a‎|‎‎2‎+|a|⋅4|a|⋅cosθ=0‎，‎∴cosθ=-‎‎1‎‎2‎，‎∴θ=‎2‎‎3‎π， 故答案为：‎2π‎3‎． 利用两个向量垂直的性质、两个向量的数量积的定义，求得a与b的夹角θ的值． 本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于基础题． ‎ 1. 已知动点A(2,0)‎，B(4,0)‎，动点P在抛物线y‎2‎‎=-4x上运动，则AP‎⋅‎BP取得最小值时的点P的坐标是______．‎ ‎【答案】‎‎(0,0)‎ ‎【解析】解：由点P在抛物线y‎2‎‎=-4x上移动， 设点P的坐标为‎(-‎1‎‎4‎t‎2‎,t)‎， ‎∵A(2,0)‎、B(4,0)‎， ‎∴AP=(-‎1‎‎4‎t‎2‎-2,t)‎，BP‎=(-‎1‎‎4‎t‎2‎-4,t)‎， 根据向量数量积的公式， 可得AP‎⋅BP=(-‎1‎‎4‎t‎2‎-2)(-‎1‎‎4‎t‎2‎-4)+t‎2‎=‎1‎‎16‎t‎4‎+‎5‎‎2‎t‎2‎+8‎， ‎∴AP⋅BP≥8‎， ‎1‎‎16‎t‎4‎‎≥0‎且t‎2‎‎≥0‎，当且仅当t=0‎时即P坐标为‎(0,0)‎时，等号成立． 即当点P与原点重合时AP‎⋅‎BP的最小值为8． 故答案为：‎(0,0)‎． 根据题意，点P的坐标为‎(-‎1‎‎4‎t‎2‎,t)‎，从而得到向量AP、BP关于t的坐标形式，算出AP‎⋅BP=(-‎1‎‎4‎t‎2‎-2)(-‎1‎‎4‎t‎2‎-4)+t‎2‎=‎1‎‎16‎t‎4‎+‎5‎‎2‎t‎2‎+8.‎再根据平方非负的性质加以计算，可得当点P与原点重合时AP‎⋅‎BP的最小值为8，求得此时P的坐标． 本题给出定点A、B的坐标与抛物线上的动点P，求AP‎⋅‎BP的最小值，着重考查了向量数量积的坐标公式、抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题． ‎ 2. 下列命题中 ‎①‎已知点A(-3,0)‎，B(3,0)‎，动点P满足‎|PA|=2|PB|‎，则点P的轨迹是一个圆； ‎②‎已知M(-2,0)‎，N(2,0)‎，‎|PM|-|PN|=3‎，则动点P的轨迹是双曲线右边一支； ‎③‎两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1； ‎④‎在平面直角坐标系内，到点‎(1,1)‎和直线x+2y=3‎的距离相等的点的轨迹是抛物线； ‎⑤‎设定点F‎1‎‎(0,2)‎，F‎2‎‎(0,-2)‎，动点P满足条件‎|PF‎1‎|+|PF‎2‎|=a+‎4‎a(a>0)‎，则点P的轨迹是椭圆． 正确的命题是______．‎ ‎【答案】‎‎①②③‎ ‎【解析】解：‎①‎中‎|PA|=‎‎(x+3‎)‎‎2‎+‎y‎2‎，‎|PB|=‎‎(x-3‎)‎‎2‎+‎y‎2‎，根据‎|PA|=2|PB|‎，化简得：‎(x-5‎)‎‎2‎+y‎2‎=16.‎，所以点P的轨迹是个圆； ‎②‎因为‎|PM|-|PN|=3<|MN|=4‎，所以根据双曲线的定义，P点的轨迹是双曲线右支，正确； ‎③‎根据相关性定义，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1，正确； ‎④‎因为点在直线上，不符合抛物线定义，错误； ‎⑤‎因为a+‎4‎a≥4‎，且当a=2‎时取等号，不符合椭圆的定义，错误‎.‎综上正确的是‎①②③‎． 故答案为：‎①②③‎． 求出轨迹方程判断‎①‎的正误；利用双曲线的定义判断‎②‎的正误；线性相关的定义判断‎③‎的正误；利用哦王孝的定义判断‎④‎的正误；椭圆的定义判断‎⑤‎的正误． 本题考查命题的直接的判断与应用，轨迹方程的求法，考查转化思想以及计算能力． ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ 1. 在‎△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos‎2‎B-cos‎2‎C=sin‎2‎A+sinAsinB． ‎(1)‎求角C的大小； ‎(2)‎若A=‎π‎6‎，‎△ABC的面积为‎4‎‎3‎，M为BC的中点，求AM．‎ ‎【答案】解：‎(1)∵‎在‎△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 且cos‎2‎B-cos‎2‎C=sin‎2‎A+sinAsinB． ‎∴sin‎2‎C-sin‎2‎B=sin‎2‎A-sinAsinB． 由正弦定理，得c‎2‎‎-b‎2‎=a‎2‎-ab， 即c‎2‎‎=a‎2‎+b‎2‎-ab． 又由余弦定理，得cosC═a‎2‎‎+b‎2‎-‎c‎2‎‎2ab=‎‎1‎‎2‎． ‎∵0<∠C<π， ‎∴∠C=‎π‎3‎． ‎(2)∵‎由‎∠A=‎π‎6‎，‎∠C=‎π‎3‎，可得：‎∠B=‎π‎2‎， ‎∴tanC=tanπ‎3‎=‎3‎=‎cb，可得：c=‎3‎b， 又‎∵S‎△ABC=‎1‎‎2‎bc=4‎‎3‎，可得：bc=‎3‎b‎2‎=8‎‎3‎，解得：b=2‎‎2‎，c=2‎‎6‎， ‎∵M为BC的中点， ‎∴BM=‎‎2‎， ‎∴CM=c‎2‎‎+BM‎2‎=‎(2‎6‎‎)‎‎2‎+(‎‎2‎‎)‎‎2‎=‎‎26‎．‎ ‎【解析】‎(1)‎推导出sin‎2‎C-sin‎2‎B=sin‎2‎A-sinAsinB，由正弦定理，得c‎2‎‎=a‎2‎+b‎2‎-ab.‎由余弦定理得cosC，结合C的范围即可求出‎∠C． ‎(2)‎由已知可得‎∠B=‎π‎2‎，利用三角函数的定义可求c=‎3‎b ‎，利用三角形面积公式可求b，c的值，根据勾股定理即可解得AM的值． 本题考查考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，属于基础题． ‎ 1. 设p：实数x满足x‎2‎‎-4ax+3a‎2‎<0‎，其中a>0‎；q：实数x满足x‎2‎‎-x-6≤0‎． ‎(1)‎若a=1‎，且p∧q为真，求实数x的取值范围； ‎(2)‎若‎￢q是‎￢p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】解：‎(1)‎由x‎2‎‎-4ax+3a‎2‎<0‎得‎(x-3a)(x-a)<0‎，又a>0‎，所以a3‎， 由‎￢q是‎￢p的充分不必要条件，有a≥-2‎‎3a≤3‎a>0‎ 得‎0￢q，即a的取值范围为‎(0,1]‎．‎ ‎【解析】‎(1)‎运用真值表判断命题真假即可；‎(2)‎运用充分必要条件的判断可解出． 本题考查充分必要条件和命题真假的判断． ‎ 2. 某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：‎[50,60)‎，‎[60,70)‎，‎[70,80)‎，‎[80,90)‎，‎[90,100]‎． ‎(1)‎求图中a的值； ‎(2)‎根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分； ‎(3)‎若这100名学生语文成绩某些分数段的人数‎(x)‎与数学成绩相应分数段的人数‎(y)‎之比如表所示，求数学成绩在‎[50,90)‎之外的人数．‎ 分数段 ‎[50,60)‎ ‎[60,70)‎ ‎[70,80)‎ ‎[80,90)‎ x：y ‎1：1‎ ‎2：1‎ ‎3：4‎ ‎4：5‎ ‎【答案】解：‎(1)‎依题意得，‎10(2a+0.02+0.03+0.04)=1‎，解得a=0.005‎； ‎(2)‎这100名学生语文成绩的平均分为：‎55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73(‎分‎)‎； ‎(3)‎数学成绩在‎[50,60)‎的人数为：‎100×0.05=5‎， 数学成绩在‎[60,70)‎的人数为：‎100×0.4×‎1‎‎2‎=20‎， 数学成绩在‎[70,80)‎的人数为：‎100×0.3×‎4‎‎3‎=40‎， 数学成绩在‎[80,90)‎的人数为：‎100×0.2×‎5‎‎4‎=25‎， 所以数学成绩在‎[50,90)‎之外的人数为：‎100-5-20-40-25=10‎．‎ ‎【解析】‎(1)‎由频率分布直方图的性质可‎10(2a+0.02+0.03+0.04)=1‎，解方程即可得到a的值； ‎(2)‎由平均数加权公式可得平均数为‎55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05‎，计算出结果即得； ‎(3)‎按表中所给的数据分别计算出数学成绩在分数段的人数，从总人数中减去这些段内的人数即可得出数学成绩在‎[50,90)‎之外的人数． 本题考查频率分布估计总体分布，解题的关键是理解频率分布直方图，熟练掌握频率分布直方图的性质，且能根据所给的数据建立恰当的方程求解． ‎ 1. 如图，在四棱锥P-ABCD中，AD//BC，AD⊥CD，Q是AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2‎，BC=‎1‎‎2‎AD=1‎，CD=‎‎3‎，PB=‎‎6‎． ‎(1)‎求证：平面PAD⊥‎底面ABCD； ‎(2)‎设PM=tMC，若二面角M-BQ-C的平面角的大小为‎30‎‎∘‎，试确定t的值． ‎ ‎【答案】‎(1)‎证明：‎∵AD//BCBC=‎1‎‎2‎AD=1Q是AD的中点，‎∴BC‎-‎‎//‎DQB 则四边形BCDQ为平行四边形，从而CD//BQ∵AD⊥CD∴QB⊥AD…(2‎分‎)‎ ‎∵PA=PD=2‎，AD=2‎，Q是 AD的中点，‎∴PQ=‎3‎Z.‎ 又‎∵QB=CD=‎3‎Z，PB=‎6‎Z， ‎∴PB‎2‎=PQ‎2‎+QB‎2‎，即PQ⊥QB，又PQ∩AD=Q，‎∴BQ⊥‎平面PAD ‎∴‎平面PAD⊥‎底面ABCD.…5‎ 分 ‎(2)‎解：‎∵PA=PD，Q为AD的中点，‎∴PQ⊥AD． ‎∵‎平面PAD⊥‎平面ABCD，且平面PAD∩‎平面ABCD=AD， ‎∴PQ⊥‎平面ABCD．  如图，以Q为原点建立空间直角坐标系． 则面BQC的法向量为n‎=(0,‎0，‎1)‎； Q(0,‎0，‎0)‎，P(0,‎0，‎3‎‎)‎，B(0,‎3‎,0)‎，C(-1,‎3‎,0)‎． 设M(x,‎y，z)‎，则PM‎=(x,‎y，z-‎3‎)‎，MC‎=(-1-x,‎3‎-y,-z)‎， ‎∵PM=tMC，‎∴PM=tMC， 则x=t(-1-x)‎y=t(‎3‎-y)‎z-‎3‎=t(-z)‎， 即x=-‎t‎1+t，y=‎‎3‎t‎1+t，z=‎‎3‎‎1+t， 在平面MBQ中，QB‎=(0,‎3‎,0)‎，QM‎=(-t‎1+t,‎3‎t‎1+t,‎3‎‎1+t)‎， 设平面MBQ的一个法向量m‎=(p,‎q，f)‎， 由m‎⋅QB=0‎m‎⋅QM=0‎，即‎3‎q=0‎‎-t‎1+tp+‎3‎t‎1+tq+‎3‎‎1+tf=0‎，取f=t，得p=‎‎3‎． ‎∴‎平面MBQ法向量为m‎=(‎3‎,‎0，t)‎． ‎∵‎二面角M-BQ-C的平面角的大小为‎30‎‎∘‎， ‎∴cos‎30‎‎∘‎=n‎⋅‎m‎|m|⋅|n|‎=t‎3+0+‎t‎2‎=‎‎3‎‎2‎解得t=3.…12‎ 分．‎ ‎【解析】‎(1)‎根据面面垂直的判定定理证明即可； ‎(2)‎由PA=PD，Q为AD的中点，得PQ⊥AD.‎结合‎(1)‎可得PQ⊥‎平面ABCD.‎以Q为原点建立空间直角坐标系‎.‎然后求出平面BQC的一个法向量，再由PM=tMC把平面MBQ的一个法向量用含有t 的代数式表示，结合二面角M-BQ-C的平面角的大小为‎30‎‎∘‎求得t的值 本题考查平面与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题． ‎ 1. 已知数列‎{an}‎满足：a‎1‎‎=1‎，an+1‎‎=n+1‎nan+‎n+1‎‎2‎n． ‎(1)‎设bn‎=‎ann，求数列‎{bn}‎的通项公式； ‎(2)‎求数列‎{an}‎的前n项和Sn．‎ ‎【答案】解：‎(1)‎由an+1‎‎=n+1‎nan+‎n+1‎‎2‎n可得an+1‎n+1‎‎=ann+‎‎1‎‎2‎n，又∵bn=ann ,  ∴bn+1‎-bn=‎1‎‎2‎n , 由a‎1‎=1 , 得b‎1‎=1‎， 累加法可得：‎(b‎2‎-b‎1‎)+(b‎3‎-b‎2‎)+……+(bn-bn-1‎)=‎1‎‎2‎‎1‎+‎1‎‎2‎‎2‎+……+‎‎1‎‎2‎n-1‎ ‎=‎‎1‎‎2‎‎(1-‎1‎‎2‎n-1‎)‎‎1-‎‎1‎‎2‎， 化简并代入b‎1‎‎=1‎得：bn‎=2-‎‎1‎‎2‎n-1‎； ‎(2)‎由‎(1)‎可知an‎=2n-‎n‎2‎n-1‎，设数列‎{n‎2‎n-1‎}‎的前n项和Tn， 则 Tn‎=‎1‎‎2‎‎0‎+‎2‎‎2‎‎1‎+‎3‎‎2‎‎2‎+……+n‎2‎n-1‎①‎ ‎1‎‎2‎Tn‎=‎1‎‎2‎‎1‎+‎2‎‎2‎‎2‎+‎3‎‎2‎‎3‎+……+n‎2‎n② ①-②‎可得‎1‎‎2‎Tn‎=1+‎1‎‎2‎+‎1‎‎2‎‎2‎+…+‎1‎‎2‎n-1‎-‎n‎2‎n ‎=‎1-‎‎1‎‎2‎n‎1-‎‎1‎‎2‎-n‎2‎n=2-‎n+2‎‎2‎n， 则Tn‎=4-‎n+2‎‎2‎n-1‎， 前n项和Sn‎=n(n+1)-4+‎n+2‎‎2‎n-1‎．‎ ‎【解析】‎(1)‎由条件可得an+1‎n+1‎‎=ann+‎‎1‎‎2‎n，即有bn+1‎‎-bn=‎‎1‎‎2‎n，由累加法，结合等比数列的求和公式，可得所求通项公式； ‎(2)‎由‎(1)‎可知an‎=2n-‎n‎2‎n-1‎，设数列‎{n‎2‎n-1‎}‎的前n项和Tn，运用错位相减法，结合等差数列、等比数列的求和公式，以及分组求和，计算可得所求和． 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列恒等式和等比数列的求和公式的运用，考查错位相减法求和，以及分组求和，化简整理的运算能力，属于中档题． ‎ 2. 已知中心在原点，焦点在x轴的椭圆过点E(1,-‎2‎‎3‎‎3‎)‎，且焦距为2，过点P(1,1)‎分别作斜率为k‎1‎，k‎2‎的椭圆的动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点． ‎(1)‎求椭圆的标准方程； ‎(2)‎当k‎1‎‎+k‎2‎=1‎，直线MN 是否恒过定点？如果是，求出定点坐标‎.‎如果不是，说明理由．‎ ‎【答案】解：‎(1)‎由题意知c=1‎设右焦点F'(1,0)‎． ‎∴2a=|EF|+|EF'|=‎(1+1‎)‎‎2‎+(‎2‎‎3‎‎3‎-0‎‎)‎‎2‎+‎2‎‎3‎‎3‎=2‎‎3‎，‎…(2‎分‎)‎ ‎∴a=‎‎3‎，b‎2‎‎=a‎2‎-c‎2‎=2‎． ‎∴‎椭圆方程为x‎2‎‎3‎‎+y‎2‎‎2‎=1.…(4‎分‎)‎ ‎(2)‎由题意k‎1‎‎≠‎k‎2‎，设M(xM,yM)‎， 直线AB：y-1=k‎1‎(x-1)‎，即y=k‎1‎x+‎k‎2‎ 代入椭圆方程并化简得‎(2+3k‎1‎‎2‎)x‎2‎+6k‎1‎k‎2‎x+3k‎2‎‎2‎-6=0‎，‎…(5‎分‎)‎ ‎∴xM=‎‎-3‎k‎1‎k‎2‎‎2+3‎k‎1‎‎2‎，yM‎=‎2‎k‎2‎‎2+3‎k‎1‎‎2‎.…(7‎分‎)‎ 同理xN‎=‎‎-3‎k‎1‎k‎2‎‎2+3‎k‎2‎‎2‎，yN‎=‎2‎k‎1‎‎2+3‎k‎2‎‎2‎.…(8‎分‎)‎ 当k‎1‎k‎2‎‎≠0‎时，直线MN的斜率k=yM‎-‎yNxM‎-‎xN=‎‎10-6‎k‎1‎k‎2‎‎-9‎k‎1‎k‎2‎，‎…(9‎分‎)‎ 直线MN的方程为y-‎2‎k‎2‎‎2+3‎k‎1‎‎2‎=‎10-6‎k‎1‎k‎2‎‎-9‎k‎1‎k‎2‎(x-‎-3‎k‎1‎k‎2‎‎2+3‎k‎1‎‎2‎)‎ ‎…(10‎分‎)‎  又k‎1‎‎+k‎2‎=1‎ 化简得y=‎10-6‎k‎1‎k‎2‎‎-9‎k‎1‎k‎2‎x-‎‎2‎‎3‎，此时直线过定点‎(0,-‎2‎‎3‎)‎ 当k‎1‎k‎2‎‎=0‎时，直线MN即为y轴，也过点‎(0,-‎2‎‎3‎)…(12‎分‎)‎ 综上，直线过定点‎(0,-‎2‎‎3‎).‎ ‎【解析】‎(1)‎由题意知c=1‎设右焦点F'(1,0).‎可得‎2a=|EF|+|EF'|=2‎‎3‎，a=‎‎3‎，b‎2‎‎=a‎2‎-c‎2‎=2.‎即可得出‎.(2)‎由题意k‎1‎‎≠‎k‎2‎，设M(xM,yM)‎，直线AB：y-1=k‎1‎(x-1)‎，即y=k‎1‎x+‎k‎2‎代入椭圆方程并化简可得：M，N的坐标‎.‎当k‎1‎k‎2‎‎≠0‎时，直线MN的斜率k=‎yM‎-‎yNxM‎-‎xN与直线MN的方程，又k‎1‎‎+k‎2‎=1‎化简得y=‎10-6‎k‎1‎k‎2‎‎-9‎k‎1‎k‎2‎x-‎‎2‎‎3‎，此时直线过定点即可得出． 本题考查了椭圆与圆的定义标准方程及其性质、斜率计算公式、直线经过定点，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题． ‎