浙江专用2021届高考数学一轮复习第七章平面向量7-2平面向量的数量积及向量的综合应用课件

浙江专用2021届高考数学一轮复习第七章平面向量7-2平面向量的数量积及向量的综合应用课件

§７.２ 平面向量的数量积及向量的综合应用 高考数学 考点一　平面向量的数量积 1.两个向量的夹角   考点 清单 2.平面向量的数量积的有关概念 易错警示 　(1)若 a , b , c ( b ≠ 0)为实数,则 ab = bc ⇒ a = c ;但对于向量就不适用, 即 a · b = b · c ⇒ / a = c . (2)数量积的运算不适合乘法结合律,即( a · b ) c 不一定等于 a ( b · c ). 3.平面向量数量积的性质 设 a 、 b 都是非零向量, e 是与 b 方向相同的单位向量, θ 是 a 与 e 的夹角,则 (1) e · a = a · e =| a |cos θ . (2) a ⊥ b ⇔ a · b =⑦ 　0     . (3)当 a 与 b 同向时, a · b =| a || b |; 当 a 与 b 反向时, a · b =-| a || b |. 特别地, a · a =| a | 2 ;| a |=   . (4)cos θ =⑧             . (5)| a · b | ≤ | a |·| b |. 考点二　平面向量数量积的应用 　　1.已知 a =( x 1 , y 1 ), b =( x 2 , y 2 ),则 (1)证明垂直问题,常用向量垂直的充要条件: a ⊥ b ⇔ a · b =0 ⇔ ⑨      x 1 x 2 + y 1 y 2 =0     . (2)求夹角问题,利用夹角公式: cos θ =   =⑩             . (3)求线段的长度,可以用向量的线性运算.向量的模| a |=   =   或| AB|=|   |=   . 2.向量中常用的结论 在△ ABC 中,∠ A ,∠ B ,∠ C 所对的边分别为 a , b , c . (1)在   = λ   的条件下,存在 λ 使得 I 为△ ABC 的内心; a   + b   + c   =0 ⇔ P 为△ ABC 的内心. (2)|   |=|   |=|   | ⇔ P 为△ ABC 的外心. (3)   +   +   =0 ⇔ G 为△ ABC 的重心. (4)   ·   =   ·   =   ·   ⇔ P 为△ ABC 的垂心. 考法一　求向量模的方法 知能拓展 例1 　(1)(2017课标Ⅰ,13,5分)已知向量 a , b 的夹角为60 ° ,| a |=2,| b |=1,则| a +2 b | = 　　　     . (2)已知向量 a =(2,-4), b =(-3, x ), c =(1,-1),若(2 a + b )⊥ c ,则| b |=   (　　) A.9　    B.3　    C.   　    D.3   解题导引 　(2)本题给出的是向量的坐标,应先求出向量 b 的纵坐标,可由条 件(2 a + b )⊥ c ,即(2 a + b )· c =0,求出 b ,再用| b |=   求得. 解析　 (1)解法一:由题意知 a · b =| a |·| b |·cos 60 ° =2 × 1 ×   =1,则| a +2 b | 2 =( a +2 b ) 2 =| a | 2 +4| b | 2 +4 a · b =4+4+4=12.所以| a +2 b |=2   . 解法二:根据已知条件建立恰当的坐标系,由题意,取 a =(2,0), b =   ,则 a +2 b =(3,   ),所以| a +2 b |=   =2   . (2)∵ a =(2,-4), b =(-3, x ),∴2 a + b =(1,-8+ x ),又 c =(1,-1),(2 a + b )⊥ c ,∴1+8- x =0,则 x =9,∴ b =(-3,9),∴| b |=   =3   ,故选D. 答案　 (1)2   　(2)D 方法总结 　向量的长度即向量的模,通常有以下求解方法: (1)| a |=   ; (2)| a ± b |=   ; (3)若 a =( x , y ),则| a |=   . 考法二 　求平面向量夹角的方法 例2　 (1)(2019福建漳州八校4月联考,5)已知平面向量 a , b 的夹角为   ,且| a |= 1,| b |=2,则2 a + b 与 b 的夹角是   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   (2)(2019豫北名校10月联考,14)已知 a , b 是两个非零向量,且| a |=| b |=| a - b |,则 a 与 a + b 的夹角为 　　　     . 解析 　(1)设2 a + b 与 b 的夹角是 θ ,由题意有|2 a + b |=   =2   ,(2 a + b )· b =2 a · b + b 2 =2| a |·| b |cos   + b 2 =6,所以cos θ =   =   =   , 所以θ=   . (2)设 a 与 a + b 的夹角为 θ ,由| a |=| b |得| a | 2 =| b | 2 ,又由| b |=|a-b|得| b | 2 =| a - b | 2 ,则 a · b =   | a | 2 ,∴| a + b | 2 =| a | 2 +2 a · b +| b | 2 =3| a | 2 ,∴| a + b |=   | a |. ∴cos θ =   =   =   =   . 又知 θ ∈[0,π], ∴ θ =   ,即 a 与 a + b 的夹角为   . 答案 　(1)D　(2)   例     (2019湖南长郡中学第五次月考,11)已知 P 是边长为3的等边三角形 ABC 外接圆上的动点,则|   +   +2   |的最大值是   (　　) A.2   　    B.3   　    C.4   　    D.5   实践探究 解题导引 　这是一个求模的最值问题,一种方法是找到取最值的几何位置 求解,再一种是建立函数关系求解.思路一:设外接圆的圆心为 O ,则   +   + 2   =   +   +   +   +2(   +   )=4   +   +   +2   ,正三角形外接圆 的圆心为 O (亦为三角形的重心),则   +   +   =0,从而把所求转化为求4   +   模的最大值;思路二:可以考虑以△ ABC 外接圆的圆心为原点, OA 所 在直线为 y 轴,过 O 与 OA 垂直的直线为 x 轴建立坐标系,设 P (   cos θ ,   sin θ ),以 θ 为参量,转化为求三角函数最值问题. 解析　 解法一:设△ ABC 的外接圆的圆心为 O .由正弦定理得圆的半径为   ×   =   .由正三角形的圆心也是其重心得   +   +   =0,故   +   +2   =4   +   .|4   +   | ≤ |4   |+|   |=5 R =5   ,当且仅当   与   同向,即 PC 为圆 O 直径时,取得最大值5   . 解法二:设 O 为△ ABC 外接圆的圆心,以 O 为圆心, OA 所在直线为 y 轴,过 O 与 OA 垂直的直线为 x 轴建立平面直角坐标系,如图所示,   连接 OB , OC . 易知|   |=|   |=|   |=   ,∴ A (0,   ), B   , C   ,设 P (   cos θ ,   sin θ )(0 ≤ θ <2π). 则   =(-   cos θ ,   -   sin θ ),   =   ,   =   ,∴   +   +2   =   , ∴|   +   +2   |=   =   =   ≤ 5   ,当sin   =1,即 θ =   π时,取“=”. 答案     D