专题5-4 平面向量应用（练）-2018年高考数学一轮复习讲练测（江苏版）

专题5-4 平面向量应用（练）-2018年高考数学一轮复习讲练测（江苏版）

‎【基础巩固】‎ 一、填空题 ‎1．已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝，则a·b＝________.‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】因为a＝(－2，－6)，‎ 所以|a|＝＝2，‎ 又|b|＝，向量a与b的夹角为60°，‎ 所以a·b＝|a|·|b|·cos 60°＝2××＝10.‎ ‎2．在△ABC中，(＋)·＝||2，则△ABC的形状一定是________三角形(填“等边”、“等腰”、“直角”、“等腰直角”)．【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎【答案】直角 ‎3．(2017·深圳调研)在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，则·＝________.‎ ‎【答案】－2‎ ‎【解析】由余弦定理得 cos A＝＝＝－，‎ 所以·＝||·||cos A ‎＝2×2×＝－2.‎ ‎4．(2017·扬州中学质检)设O是△ABC的外心(三角形外接圆的圆心)．若＝＋，则∠BAC等于________(用角度表示)．‎ ‎【答案】60°‎ ‎【解析】取BC的中点D，连接AD，则＋＝2 .由题意得3＝2，∴AD为BC的中线且O为重心．又O为外心，∴△ABC为正三角形，∴∠BAC＝60°.‎ ‎5．(2017·南京师大附中模拟)在平面内，若A(1,7)，B(5,1)，M(2,1)，点P是直线OM上的一个动点，且·＝－8，则cos∠APB＝________.‎ ‎【答案】－ ‎6．(2017·苏北四市模拟)已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(，－1)，则|‎2a－b|的最大值与最小值的和为________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】由题意可得a·b＝cos θ－sin θ＝2cos，则|‎2a－b|＝＝＝∈[0,4]，所以|‎2a－b|的最大值与最小值的和为4. ‎ ‎7．(2017·苏州调研)已知m＝(cos α，sin α)，n＝(2,1)，α∈，若m·n＝1，则sin＝________.‎ ‎【答案】－ ‎【解析】因为m·n＝2cos α＋sin α＝1，所以sin α＝1－2cos α，代入sin2α＋cos2α＝1中，整理得5cos2α－4cos α＝0，解得cos α＝或cos α＝0(舍去)，故sin＝－cos 2α＝1－2cos2α＝－.‎ ‎8．(2017·南京、盐城模拟)在△ABC中，A＝120°，AB＝4.若点D在边BC上，用＝2，AD＝‎ eq f(2 (7),3)，则AC的长为________．‎ ‎【答案】3【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎【解析】由题意可得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，则||2＝2＝||2＋·||·||cos A＋||2，即＝＋×4||×＋||2，化简得||2－2||－3＝0，解得||＝3，即AC的长为3.‎ 二、解答题 ‎9．(2017·泰州模拟)在△ABC中，角A，B的对边分别为a，b，向量m＝(cos A，sin B)，n＝(cos B，sin A)．‎ ‎(1)若acos A＝bcos B，求证：m∥n；‎ ‎(2)若m⊥n，a>b，求tan的值．‎ ‎(1)证明　因为acos A＝bcos B，‎ 所以sin Acos A＝sin BcosB，所以m∥n.‎ ‎(2)解　因为m⊥n，所以cos Acos B＋sin Asin B＝0，‎ 即cos(A－B)＝0，‎ 因为a>b，所以A>B，‎ 又A，B∈(0，π)，所以A－B∈(0，π)，‎ 则A－B＝，所以tan ＝tan＝1.‎ ‎10．(2017·南通调研)已知向量m＝，n＝.‎ ‎(1)若m·n＝1，求cos的值；‎ ‎(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(‎2a－c)cos B＝bcos C，求f(A)的取值范围．‎ ‎ 【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎∴cos B＝，B＝.∴0＜A＜.‎ ‎∴＜＋＜，＜sin＜1.‎ 又∵f(x)＝m·n＝sin＋，‎ ‎∴f(A)＝sin＋，故1＜f(A)＜.‎ 故f(A)的取值范围是.‎ ‎【能力提升】‎ ‎11．(2017·南京调研)在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B分别为x轴、y轴上一点，且AB＝2，若点P(2，)，则|＋＋|的取值范围是________．‎ ‎【答案】[7,11]‎ ‎【解析】设A(x,0)，B(0，y)，则x2＋y2＝4.令x＝2cos θ，y＝2sin θ，则|＋＋|＝∈[7,11]，其中tan φ＝.‎ ‎12．△ABC外接圆的半径等于1，其圆心O满足＝(＋)，||＝||，则向量在方向上的投影等于________．‎ ‎【答案】 ‎13．(2017·苏、锡、常、镇四市调研)在平面直角坐标系xOy中，设M是函数f(x)＝(x>0)的图象上任意一点，过M点向直线y＝x和y轴作垂线，垂足分别是A，B，则·＝________.‎ ‎【答案】－2‎ ‎【解析】由题意可得∠AMB＝135°.设M(x>0)，则||＝＝，所以·＝||·||cos 135°＝·x·＝－2. ‎ ‎14．(2017·苏州期中)如图，半径为1，圆心角为的圆弧上有一点C.‎ ‎(1)当C为圆弧的中点时，D为线段OA上任一点，求|＋|的最小值；‎ ‎(2)当C在圆弧上运动时，D，E分别为线段OA，OB的中点，求·的取值范围．【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎＝sin＋，‎ 因为0≤α≤，所以≤α＋≤，‎ 所以sin∈[－1,1]，则sin＋∈.‎ 所以·∈.‎ ‎ ‎