数学卷·2018届甘肃省天水一中高二上学期第二次段考数学试卷（兰天班） （解析版）

数学卷·2018届甘肃省天水一中高二上学期第二次段考数学试卷（兰天班） （解析版）

‎2016-2017学年甘肃省天水一中高二（上）第二次段考数学试卷（兰天班）‎ ‎　‎ 一、选择题（每小题4分，共40分）‎ ‎1．已知条件p：x＞y，条件q：＞，则p是q的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2．若实数x，y满足则z=x﹣2y的最小值是（　　）‎ A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2‎ ‎3．过抛物线y2=4x的焦点作两条垂直的弦AB，CD，则+=（　　）‎ A．2 B．4 C． D．‎ ‎4．下列命题错误的个数（　　）‎ ‎①“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题是真命题；‎ ‎②命题p：x≠2或y≠3，命题q：x+y≠5，则p是q的必要不充分条件；‎ ‎③命题“若a2+b2=0，则a，b都是0”的否命题是“若a2+b2≠0，则a，b都不是0”．‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎5．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（　　）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎6．已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．在椭圆+=1（a＞b＞0）上有一点P，椭圆内一点Q在PF2‎ 的延长线上，满足QF1⊥QP，若sin∠F1PQ=，则该椭圆离心率取值范围是（　　）‎ A．（，1） B．（，1） C．（） D．（）‎ ‎8．已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2+（y﹣4）2=1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．设F为抛物线y2=16x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若，则的值为（　　）‎ A．36 B．24 C．16 D．12‎ ‎10．设F1、F2是双曲线x2﹣=1的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点 P，使（+）•=0（ O为坐标原点）且且|PF1|=λ|PF2|，则λ的值为（　　）‎ A．2 B． C．3 D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题4分，共16分）‎ ‎11．命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是　　．‎ ‎12．若双曲线的渐近线方程为y=±x，则双曲线的离心率为　　．‎ ‎13．设正实数x，y，z满足x2﹣xy+4y2﹣z=0．则当取得最小值时，x+4y﹣z的最大值为　　．‎ ‎14．在平面直角坐标系xOy中，已知点A在椭圆+=1上，点P满足=（λ﹣1）（λ∈R），且•‎ ‎=72，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎15．已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜m的解集为（c，c+2）．‎ ‎（1）求实数m的值；‎ ‎（2）若x＞1，y＞0，x+y=m，求+的最小值．‎ ‎16．点P在圆O：x2+y2=8上运动，PD⊥x轴，D为垂足，点M在线段PD上，满足．‎ ‎（Ⅰ） 求点M的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ） 过点Q（1，）作直线l与点M的轨迹相交于A、B两点，使点Q为弦AB的中点，求直线l的方程．‎ ‎17．已知直线l与抛物线y2=8x交于A．B两点，且线段AB恰好被点P（2，2）平分．‎ ‎（1）求直线l的方程；‎ ‎（2）抛物线上是否存在点C和D，使得C．D关于直线l对称？若存在，求出直线CD的方程；若不存在，说明理由．‎ ‎18．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，椭圆C过点P（1，），直线PF1交y轴于Q，且=2，O为坐标原点．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设M是椭圆C的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆C于A，B两点，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=2，证明：直线AB过定点．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年甘肃省天水一中高二（上）第二次段考数学试卷（兰天班）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题4分，共40分）‎ ‎1．已知条件p：x＞y，条件q：＞，则p是q的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据充分必要条件的定义分别判断充分性和不必要性，从而得到答案．‎ ‎【解答】解：由条件p：x＞y，不能推出条件q：＞，p是q的不充分条件，‎ 由条件q：＞，推出条件p：x＞y，p是q的必要条件，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．若实数x，y满足则z=x﹣2y的最小值是（　　）‎ A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数的图象求出z的最小值即可．‎ ‎【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：‎ ‎，‎ 由，解得A（1，1），‎ 由z=x﹣2y得：y=x﹣，‎ 显然直线过A（1，1）时，z最小，‎ z的最小值是﹣1，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．过抛物线y2=4x的焦点作两条垂直的弦AB，CD，则+=（　　）‎ A．2 B．4 C． D．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】设出两直线的倾斜角，利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|，|CD|即可求得答案．‎ ‎【解答】解：抛物线y2=4x，可知2p=4，‎ 设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为﹣θ，‎ 过焦点的弦，|AB|=，|CD|=，‎ ‎∴+=，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．下列命题错误的个数（　　）‎ ‎①“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题是真命题；‎ ‎②命题p：x≠2或y≠3，命题q：x+y≠5，则p是q的必要不充分条件；‎ ‎③命题“若a2+b2=0，则a，b都是0”的否命题是“若a2+b2≠0，则a，b都不是0”．‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】①根据大角对大边，正弦定理可得结论；‎ ‎②根据原命题和逆否命题为等价命题，可相互转化；‎ ‎③在否定中，且的否定应为或．‎ ‎【解答】解：①“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题是 在三角形ABC中，若A＞B，则a＞b，由正弦定理得sinA＞sinB，故逆命题为真命题；‎ ‎②命题p：x≠2或y≠3，命题q：x+y≠5，则非p：x=2且y=3，非q：x+y=5，‎ 显然非p⇒非q，‎ ‎∴q⇒p，则p是q的必要不充分条件，故正确；‎ ‎③命题“若a2+b2=0，则a，b都是0”的否命题是“若a2+b2≠0，则a≠=或b≠0”故错误．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎5．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（　　）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】设M在双曲线﹣=1的左支上，由题意可得M的坐标为（﹣2a， a），代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：设M在双曲线﹣=1的左支上，‎ 且MA=AB=2a，∠MAB=120°，‎ 则M的坐标为（﹣2a， a），‎ 代入双曲线方程可得，‎ ‎﹣=1，‎ 可得a=b，‎ c==a，‎ 即有e==．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】已知条件易得直线l的斜率为1，设双曲线方程，及A，B点坐标代入方程联立相减得x1+x2=﹣24，根据=，可求得a和b的关系，再根据c=3，求得a和b，进而可得答案．‎ ‎【解答】解：由已知条件易得直线l的斜率为k=kPN=1，‎ 设双曲线方程为，‎ A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则有，‎ 两式相减并结合x1+x2=﹣24，y1+y2=﹣30得 ‎=，‎ 从而==1‎ 即4b2=5a2，‎ 又a2+b2=9，‎ 解得a2=4，b2=5，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．在椭圆+=1（a＞b＞0）上有一点P，椭圆内一点Q在PF2的延长线上，满足QF1⊥QP，若sin∠F1PQ=，则该椭圆离心率取值范围是（　　）‎ A．（，1） B．（，1） C．（） D．（）‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】当满足QF1⊥QP，由点P在y轴上时，∠F1PQ=2α，sin2α=．sinα=e，解得．当点Q在最下端时，∠F1QF2最大，此时F1Q⊥F2Q．可得点Q在椭圆的内部，当b=c时，e=，即可得出．‎ ‎【解答】解：∵满足QF1⊥QP，‎ ‎∴点P在y轴上时，∠F1PQ=2α，‎ sin2α=．‎ sinα=e，cosα=，‎ ‎∴2e=，‎ 解得．‎ 当点Q在最下端时，∠F1QF2最大，此时F1Q⊥F2Q．‎ 可得点Q在椭圆的内部，当b=c，e=，因此．‎ 综上可得：．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2+（y﹣4）2=1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】抛物线的应用．‎ ‎【分析】‎ 先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据圆的方程求得圆心坐标，根据抛物线的定义可知P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而问题转化为求点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点F的距离减去圆的半径．‎ ‎【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），圆x2+（y﹣4）2=1的圆心为C（0，4），‎ 根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离，‎ 进而推断出当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小为：，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎9．设F为抛物线y2=16x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若，则的值为（　　）‎ A．36 B．24 C．16 D．12‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】由题意可得F（4，0），是三角形ABC的重心，故 =4，再由抛物线的定义可得=xA+4+xB+4+xC+4=24．‎ ‎【解答】解：由题意可得F（4，0），是抛物线的焦点，也是三角形ABC的重心，故故 =4，‎ ‎∴xA+xB+xC=12． ‎ 再由抛物线的定义可得： =xA+4+xB+4+xC+4=12+12=24，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎10．设F1、F2是双曲线x2﹣‎ ‎=1的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点 P，使（+）•=0（ O为坐标原点）且且|PF1|=λ|PF2|，则λ的值为（　　）‎ A．2 B． C．3 D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】设点P（，m），由 =0解出 m，根据双曲线的第二定义得e==，求出|PF2|的值，再利用第一定义求出|PF1|的值，即得λ值．‎ ‎【解答】解：由题意得 a=1，b=2，∴c=，F1（﹣，0），F2 （，0），e=．‎ 设点P（，m），∵=（+，m）•（﹣，m）‎ ‎=1+﹣5+m2=0，m2=，m=±．‎ 由双曲线的第二定义得 e==，∴|PF2|=2，‎ ‎∴|PF1|=2a+|PF2|=4，∴λ===2，‎ 故选A．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题4分，共16分）‎ ‎11．命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是　∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0　．‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．‎ ‎【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜‎ ‎0”的否定是∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0；‎ 故答案为：∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0．‎ ‎　‎ ‎12．若双曲线的渐近线方程为y=±x，则双曲线的离心率为　或　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】当焦点在x轴上时， =，根据 == 求出结果；当焦点在y轴上时，‎ ‎=，根据 == 求出结果．‎ ‎【解答】解：由题意可得，当焦点在x轴上时， =，∴===．‎ 当焦点在y轴上时， =，∴===，‎ 故答案为： 或．‎ ‎　‎ ‎13．设正实数x，y，z满足x2﹣xy+4y2﹣z=0．则当取得最小值时，x+4y﹣z的最大值为　　．‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用；简单线性规划．‎ ‎【分析】将z=x2﹣xy+4y2代入，利用基本不等式化简即可得到当取得最小值时的条件，用x，z表示y后利用配方法求得x+2y﹣z的最大值．‎ ‎【解答】解：∵x2﹣xy+4y2﹣z=0，‎ ‎∴z=x2﹣xy+4y2，又x，y，z为正实数，‎ ‎∴=+﹣1≥2﹣1=3（当且仅当x=2y时取“=”），‎ 当且仅当=，即x=2y（y＞0）时取等号，‎ 此时x+4y﹣z=2y+4y﹣（x2﹣xy+4y2）=6y﹣6y2‎ ‎=﹣6（y﹣）2+≤．‎ ‎∴x+4y﹣z的最大值为．‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎14．在平面直角坐标系xOy中，已知点A在椭圆+=1上，点P满足=（λ﹣1）（λ∈R），且•=72，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为　15　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】根据向量共线定理可得||||=72，设A（x，y）、PB为点A在x轴的投影，求出OP在x轴上的投影长度为||cosθ，再利用基本不等式求最值，可得结论．‎ ‎【解答】解：∵=（λ﹣1），∴=λ，则O，P，A三点共线，‎ ‎∵•=72，∴||||=72，‎ 设OP与x轴夹角为θ，设A（x，y），B为点A在x轴的投影，‎ 则OP在x轴上的投影长度为||cosθ==72×=72×≤72×=15．‎ 当且仅当|x|=时等号成立．‎ 则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为15．‎ 故答案为：15．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎15．已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜m的解集为（c，c+2）．‎ ‎（1）求实数m的值；‎ ‎（2）若x＞1，y＞0，x+y=m，求+的最小值．‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用．‎ ‎【分析】（1）根据函数的值域求出a与b的关系，然后根据不等式的解集可得x2+ax+﹣m=0的两个根为c，c+2，2=c+2﹣c，解之即可．‎ ‎（2）利用“1”的代换，即可求+的最小值．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），‎ ‎∴f（x）=x2+ax+b=0只有一个根，即△=a2﹣4b=0则b=．‎ 不等式f（x）＜m的解集为（c，c+2）．‎ 即为x2+ax+＜m的解集为（c，c+2）．‎ 则x2+ax+﹣m=0的两个根为c，c+2‎ ‎∴2=c+2﹣c ‎∴m=2；‎ ‎（2）x+y=2，∴x﹣1+y=1，‎ ‎∴+=（+）（x﹣1+y）=3++≥3+2．‎ 当且仅当=时， +的最小值为3+2．‎ ‎　‎ ‎16．点P在圆O：x2+y2=8上运动，PD⊥x轴，D为垂足，点M在线段PD上，满足．‎ ‎（Ⅰ） 求点M的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ） 过点Q（1，‎ ‎）作直线l与点M的轨迹相交于A、B两点，使点Q为弦AB的中点，求直线l的方程．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）判断M线段PD的中点，设M（x，y），则P（x，2y），运用代入法，即可得到所求轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ） 方法一、运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，化简整理可得斜率k，由点斜式方程可得直线方程；‎ 方法二、设A（x1，y1），B（x2，y2），A、B两点在椭圆上，代入椭圆方程，运用作差法和斜率公式，再由点斜式方程可得直线的方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵点M在线段PD上，满足，‎ ‎∴点M是线段PD的中点，‎ 设M（x，y），则P（x，2y），‎ ‎∵点P在圆O：x2+y2=8上运动，‎ 则x2+（2y）2=8，‎ 即，‎ 故点M的轨迹方程为． ‎ ‎（Ⅱ） 方法一：当直线l⊥x轴时，由椭圆的对称性可得弦AB的中点在x轴上，‎ 不可能是点Q，这种情况不满足题意． ‎ 设直线l的方程为，‎ 由，‎ 可得，‎ 由韦达定理可得x1+x2=﹣，‎ 由AB的中点为，可得﹣=2，‎ 解得，‎ 即直线l的方程为y﹣=﹣（x﹣1），‎ 则直线l的方程为x+2y﹣2=0． ‎ 方法二：当直线l⊥x轴时，由椭圆的对称性可得弦AB的中点在x轴上，‎ 不可能是点Q，这种情况不满足题意． ‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ A、B两点在椭圆上，‎ 满足，‎ 由（1）﹣（2）可得，‎ 则，‎ 由AB的中点为，可得x1+x2=2，y1+y2=1，代入上式，‎ 即直线l的方程为，‎ ‎∴直线l的方程为x+2y﹣2=0．‎ ‎　‎ ‎17．已知直线l与抛物线y2=8x交于A．B两点，且线段AB恰好被点P（2，2）平分．‎ ‎（1）求直线l的方程；‎ ‎（2）抛物线上是否存在点C和D，使得C．D关于直线l对称？若存在，求出直线CD的方程；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】直线与抛物线的位置关系．‎ ‎【分析】（1）利用点差法，求出直线的斜率，即可求出直线l的方程；‎ ‎（2）设直线CD的方程为x+2y+c=0，与抛物线联立，可得y2+16y+‎ ‎8c=0，求出CD的中点坐标，代入直线l，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4，y1+y2=4，‎ ‎∵y12=8x1，y22=8x2，∴4（y1﹣y2）=8（x1﹣x2），∴kAB=2，‎ ‎∴直线l的方程为：y﹣2=2（x﹣2），化为2x﹣y﹣2=0．‎ ‎（2）设直线CD的方程为x+2y+c=0，‎ 与抛物线联立，可得y2+16y+8c=0，‎ 设C（x3，y3），D（x4，y4），则y3y4=﹣8c，y3+y4=﹣16，‎ ‎∴x3+x4=（y32+y42）=32+2c，‎ ‎∴CD的中点坐标为（16+c，﹣8）‎ 代入2x﹣y﹣2=0，可得32+2c+8﹣2=0，‎ ‎∴c=﹣19，‎ ‎∴直线CD的方程为x+2y﹣19=0．‎ ‎　‎ ‎18．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，椭圆C过点P（1，），直线PF1交y轴于Q，且=2，O为坐标原点．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设M是椭圆C的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆C于A，B两点，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=2，证明：直线AB过定点．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由椭圆C过点，可得，由=2，可得PF2⊥F1F2，可得c=1，及其a2﹣b2=1，联立解出即可得出．‎ ‎（2）对直线AB的斜率分类讨论：当直线AB的斜率不存在时，利用k1+k2=2，及其斜率计算公式即可得出．当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y=kx+m（m≠1），A（x1，y1），B（x2，y2‎ ‎），直线方程与椭圆方程联立化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）∵椭圆C过点，∴①，‎ ‎∵=2，∴PF2⊥F1F2，则c=1，‎ ‎∴a2﹣b2=1，②‎ 由①②得a2=2，b2=1，‎ ‎∴椭圆C的方程为．‎ ‎（2）当直线AB的斜率不存在时，设A（x0，y0），则B（x0，﹣y0），由k1+k2=2得，得x0=﹣1．‎ 当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y=kx+m（m≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），，‎ 得，‎ ‎∴，‎ 即，‎ 由m≠1，（1﹣k）（m+1）=﹣km⇒k=m+1，‎ 即y=kx+m=（m+1）x+m⇒m（x+1）=y﹣x，‎ 故直线AB过定点（﹣1，﹣1）．‎ ‎　‎