浙江省2021届高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量第2节空间几何体的表面积与体积含解析

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浙江省2021届高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量第2节空间几何体的表面积与体积含解析

第2节 空间几何体的表面积与体积 考试要求 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.‎ 知 识 梳 理 ‎1.多面体的表(侧)面积 多面体的各个面都是平面,则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和,表面积是侧面积与底面面积之和.‎ ‎2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧=2πrl S圆锥侧=πrl S圆台侧=π(r1+r2)l ‎3.柱、锥、台和球的表面积和体积 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱)‎ S表面积=S侧+2S底 V=Sh 锥体(棱锥和圆锥)‎ S表面积=S侧+S底 V=Sh 台体(棱台和圆台)‎ S表面积=S侧+S上+S下 V=(S上+S下+)h 球 S=4πR2‎ V=πR3‎ ‎[常用结论与易错提醒]‎ ‎1.表面积应为侧面积和底面积的和,要注意组合体中哪些部分暴露或遮挡.‎ ‎2.求空间几何体体积的常用方法 ‎(1)公式法:直接根据相关的体积公式计算.‎ ‎(2)等积法:根据体积计算公式,通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易,或是求出一些体积比等.‎ ‎(3)割补法:把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形,转化为可计算体积的几何体.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断下列说法的正误.‎ ‎(1)锥体的体积等于底面面积与高之积.(  )‎ ‎(2)球的体积之比等于半径比的平方.(  )‎ ‎(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.(  )‎ ‎(4)已知球O的半径为R,其内接正方体的边长为a,则R=a.(  )‎ 解析 (1)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一,故不正确.‎ ‎(2)球的体积之比等于半径比的立方,故不正确.‎ 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√‎ ‎2.已知圆锥的表面积等于12π cm2,其侧面展开图是一个半圆,则底面圆的半径为(  )‎ A.1 cm B.2 cm ‎ C.3 cm D. cm 解析 S表=πr2+πrl=πr2+πr·2r=3πr2=12π,∴r2=4,∴r=2(cm).‎ 答案 B ‎3.(2020·北京通州期末)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中面积最小的侧面面积为(  )‎ A.1 B. ‎ C.2 D. 解析 由三视图画出该四棱锥的直观图,如图所示:在此四棱锥P-ABCD的四个侧面中,面积最小的侧面是Rt△PBC,它的面积为BC·PB=×1×=.‎ 答案 B ‎4.(2018·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3‎ ‎)是(  )‎ A.2 B.4 ‎ C.6 D.8‎ 解析 由三视图可知,该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱,所以该几何体的体积V=×(1+2)×2×2=6.故选C.‎ 答案 C ‎5.(2019·江苏卷)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD的体积是________.‎ 解析 设长方体中BC=a,CD=b,CC1=c,则abc=120,‎ ‎∴VE-BCD=×ab×c=abc=10.‎ 答案 10‎ ‎6.(2020·杭州质检)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是________cm3;表面积是________cm2.‎ 解析 由三视图得该几何体为一个长、宽、高分别为6,6,8的长方体挖去两个底面半径为3,高为4的圆锥体后剩余的部分,则其体积为6×6×8-2××4×π×32=288-24π,表面积为2(6×6+6×8+6×8)-2×π×32+2××5×2×π×3=264+12π.‎ 答案 288-24π 264+12π 考点一 空间几何体的表面积 ‎【例1】 (1)(2020·温州适应性测试)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是(  )‎ A.8 cm2 B.12 cm2‎ C.(4+2)cm2 D.(4+4)cm2‎ ‎(2)(2020·浙江新高考仿真卷五)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=(  )‎ A.1         B.2‎ C.4 D.8‎ 解析 (1)由视图得该几何体是底面为边长为2的正方形,高为2的正四棱锥,则其侧面的高为=,所以该几何体的表面积为2×2+4××2×=4+4,故选D.‎ ‎(2)由三视图得该几何体为一个半球和一个半圆柱的组合体,且半圆柱的底面和半球体的一半底面重合,则其表面积为×4πr2+πr2+2r×2r+×2πr×2r=4r2+5πr2=16+20π,解得r=2,故选B.‎ 答案 (1)D (2)B 规律方法 空间几何体表面积的求法.‎ ‎(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题,关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.‎ ‎(2)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理.‎ ‎(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.‎ ‎【训练1】 (1)一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与侧视图均为半径是2的圆,则这个几何体的表面积是________.‎ ‎(2)(2020·浙江新高考仿真卷一)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.现有一“阳马”P-ABCD,已知其体积为8,AB=2,BC=3,则该“阳马”的最长侧棱长为________,表面积为________.‎ 解析 (1)根据给定的三视图可知该几何体为个球体,其半径为2,因此该几何体的表面积为S=×4π×22+π×22=16π.‎ ‎(2)由题意知,该“阳马”直观图如图所示.由体积V=×AB×BC×PA=8可知高PA=4,∴该四棱锥的最长侧棱长PC==,表面积为2×3+(2×4+3×4+2×5+3×2)=21+3.‎ 答案 (1)16π (2) 21+3 考点二 空间几何体的体积 ‎【例2】 (1)(一题多解)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为(  )‎ A.90π B.63π ‎ C.42π D.36π ‎(2)(2019·北京卷)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积为________.‎ 解析 (1)法一 (割补法)由几何体的三视图可知,该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得,如图所示.‎ 将圆柱补全,并将圆柱体从点A处水平分成上下两部分.由图可知,该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的,所以该几何体的体积V=π×32×4+π×32×6×=63π.‎ 法二 (估值法)由题意知,V圆柱
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