2019-2020学年黑龙江省鹤岗市第一中学高二上学期开学考试（8月）数学（文）试题（解析版）

2019-2020学年黑龙江省鹤岗市第一中学高二上学期开学考试（8月）数学（文）试题（解析版）

‎2019-2020学年黑龙江省鹤岗市第一中学高二上学期开学考试（8月）数学（文）试题 一、单选题 ‎1．不等式的解集是 ( )‎ A． B． C．（-2，1） D．∪‎ ‎【答案】C ‎【解析】 等价于，则，不等式的解集为，故选B.‎ ‎2．设，则下列不等式一定成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：本题主要考查不等式的性质，在不等式的性质中，与乘除相关的性质中有条件“均为正数”，否则不等式不一定成立，如本题中当都是负数时， 都不成立，当然只能选D，事实上由于函数是增函数，故是正确的．‎ ‎【考点】不等式的性质．‎ ‎3．圆台上底半径为2，下底半径为6，母线长为5，则圆台的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】作出圆台的轴截面，由圆台的上、下底面半径分别为2，6，构造直角三角形，结合母线长 为5，由勾股定理求出圆台的高．再求圆台的体积.‎ ‎【详解】‎ 作出圆台的轴截面如图所示：‎ 上底面半径，下底面半径，过做垂直，‎ 则 由 故 即圆台的高为3,‎ 所以圆台的体积为.‎ 故选．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是旋转体及其体积的计算，圆台的几何特征，其中画出轴截面，将空间问题转化为平面问题是解答的关键．‎ ‎4．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】当时，不等式恒成立，‎ 对一切非零实数均成立，‎ 由于 当且仅当时取等号，‎ 故的最小值等于 则实数的取值范围为 故答案选 ‎5．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于 A． B．3+2‎ C．2 D．6+2‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由正视图可知底面边长为2,高为1,所以其表面积为.‎ ‎【考点】本小题考查了空间几何体的三视图，及其表面积公式.‎ 点评：根据三视图可知正视图可看出底面的长和几何体的高，侧视图可看出底面的宽和高，俯视图可看出底面的形状.‎ ‎6．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题为真命题的序号是（ ）‎ ‎①若，则；‎ ‎②若，则；‎ ‎③若,则；‎ ‎④若，则．‎ A．①④ B．①③ C．②④ D．②③‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由无法推出，只有当是相交直线时，才能得到，①不正确；由直线与平面平行的性质可知，若，那么，②正确；若,可能有或，③不正确；由可知，，又，所以，，④正确．故选．‎ ‎【考点】1．平行关系；2．垂直关系．‎ ‎7．长方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】建立坐标系如图所示．‎ 则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，＝(－1,0,2)，＝(－1，2,1)．‎ cos〈，〉＝＝.‎ 所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.‎ ‎8．不等式的解集为，则不等式的解集为（）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】将不等式的解代入不等式对应方程，得到的关系，判断为负数，将的关系代入后一个不等式，解得答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意知：是方程的两个解，代入方程得到 ‎， ‎ 不等式可化为：‎ 即解得 故答案选B ‎【点睛】‎ 本题考查了解不等式，抓住不等式与对应方程的关系得到系数关系是解题的关键.‎ ‎9．已知圆锥的高为，底面圆的半径为，它的顶点和底面的圆周都在同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设球的半径为R，‎ 则∵圆锥的高h=5，底面圆的半径r= ，‎ ‎∴R2=（R﹣h）2+r2，即R2=（R﹣5）2+5，‎ 解得：R=3，‎ 故该球的表面积S=4πR2=36π，‎ 故选B ‎10．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】将原问题转化为求最值的问题，然后利用均值不等式求最值即可确定实数m的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 若不等式有解，即即可，‎ ‎，，‎ 则 ‎，‎ 当且仅当，即，即时取等号，此时，，‎ 即，‎ 则由得，即，‎ 得或，‎ 即实数m的取值范围是，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查基本不等式的应用，利用不等式有解转化为最值问题是解决本题的关键．‎ ‎11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体外接球的表面积为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据三视图得到原图是三棱锥，顶点在底面的投影落在底面三角形的外面，边长分别为3，2，1.将该三棱锥补成四棱锥，该四棱锥的外接球的球心和三棱锥的球心重合，都是在最长的边的中点；故得到半径为故外接球的面积为 ‎ 故答案为：B。‎ 点睛：这个题目考查的是三视图和球的问题相结合的题目，涉及到三视图的还原，外接球的体积或者表面积公式。一般三试图还原的问题，可以放到特殊的正方体或者长方体中找原图。找外接球的球心，常见方法有：提圆心；建系，直角三角形共斜边则求心在斜边的中点上。‎ ‎12．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是AB上的动点，记四面体EFMC的体积为V1，多面体ADF－BCE的体积为V2，则＝‎ A． B． C． D．不是定值，随点M位置的变化而变化 ‎【答案】B ‎【解析】根据三视图得到多面体ADF－BCE是直三棱柱，其底面是等腰直角三角形(直角边长为a)，且四边形DFEC与四边形ABCD都是正方形，它们的边长均为a，再由棱锥和柱体的体积的求法得到结果.‎ ‎【详解】‎ 由三视图可知多面体ADF－BCE是直三棱柱，其底面是等腰直角三角形(直角边长为a)，且四边形DFEC与四边形ABCD都是正方形，它们的边长均为a.‎ ‎∵M是AB上的动点，且易知AB∥平面DFEC，∴点M到平面DFEC的距离等于点B到平面DFEC的距离，为a，∴V1＝VE－FMC＝VM－EFC＝ ‎ 又 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.‎ 二、填空题 ‎13．底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求得圆锥的高，再根据圆锥的体积公式，计算即可．‎ ‎【详解】‎ 如图，‎ OA＝1，PA＝3，则OP．‎ 又圆锥的底面积S＝π×12＝π，‎ ‎∴体积V．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆锥的体积求法，是基础的计算题．‎ ‎14．知，则的取值范围是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：因为，所以，又因为，所以，所以的取值范围是.‎ ‎【考点】不等式的性质.‎ ‎15．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】（，4)‎ ‎【解析】 。‎ ‎16．棱长为1的正方体中，点、分别在线段、‎ 上运动（不包括线段端点），且.以下结论：①；②若点、分别为线段、的中点，则由线与确定的平面在正方体上的截面为等边三角形；③四面体的体积的最大值为；④直线与直线的夹角为定值.其中正确的结论为______.（填序号）‎ ‎【答案】① ② ③‎ ‎【解析】①作NE⊥BC，MF⊥AB，垂足分别为E，F，可得四边形MNEF是矩形，可得MN∥FE，利用AA1⊥面AC，可得结论成立；‎ ‎②截面为△AB1C，为等边三角形，故正确．‎ ‎③设，则＝dM﹣BCN=，故③成立；‎ ‎④设，当接近于0时，直线与直线的夹角接近于，当接近于1时，夹角接近于，故④不正确；‎ ‎【详解】‎ ‎①作NE⊥BC，MF⊥AB，垂足分别为E，F，∵AM＝BN，∴NE＝MF，∴四边形MNEF是矩形，∴MN∥FE，∵AA1⊥面AC，EF⊂面AC，∴AA1⊥EF，∴AA1⊥MN，故①正确；‎ ‎②点M、N分别为线段AB1、BC1的中点，则由线MN与AB1确定的平面在正方体ABCD﹣A1B1C1D1 上的截面为△AB1C，为等边三角形，故②正确．‎ ‎③设，则＝dM﹣BCN，又AM=BN=,‎ ‎∴=，dM﹣BCN =，∴＝dM﹣BCN=，当且仅当时取得最大值，故③成立；‎ ‎④设，当接近于0时，直线与直线的夹角近似于直线和直线的夹角，接近于，当接近于1时，直线与直线 的夹角近似于直线和直线的夹角，接近于，故④不正确；‎ 综上可知，正确的结论为①②③‎ 故答案为①②③‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面平行、垂直，考查点到面的距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17．已知关于的不等式的解集为.‎ ‎（1）当时，求；‎ ‎（2）当时，求.‎ ‎【答案】(1) (2)见解析 ‎【解析】（1）直接解一元二次不等式得M;（2）对a分类讨论解一元二次不等式.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题得，所以不等式的解集为，‎ 故M= .‎ ‎（2）①当时，此时关于的不等式为，；‎ ‎②当时，此时；‎ ‎③当时，此时.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查一元二次不等式的解法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎18．已知函数 ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）或.（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)利用零点分段将不等式转化为三个不等式组进行求解可得原不等式的解集为或.‎ ‎(2)利用绝对值不等式的性质，原问题转化为，实数的取值范围是.‎ 试题解析：‎ 解：（1）原不等式等价于 或或 解得：或，‎ 不等式的解集为或.‎ ‎（2） ，‎ 且在上恒成立，‎ ‎，解得，‎ 实数的取值范围是 ‎19．如图，在底面是正方形的四棱锥中，平面，交于点,是的中点，为上一动点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若是的中点，，求点到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）先证明平面，再证明；（2）利用等体积法可以求出点P到平面FGD的距离.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵平面，平面，∴，‎ ‎∵四边形是正方形，∴，‎ ‎∵，平面，平面，‎ ‎∴平面 ‎∵平面，∴ ；‎ ‎（2）连接，‎ 由（1）知平面，所以是三棱锥的高，‎ 且，‎ 又，‎ ‎，‎ 在中，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 记点到平面的距离为，由得，‎ 解得，‎ 所以点到平面的距离为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间垂直位置关系的证明，考查空间点到面的距离的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎20．已知分别是三个内角所对的边，且 .‎ ‎（1）求； ‎ ‎（2）如，的周长的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）先根据正弦定理边化为角，再化简即可；（2）先根据正弦定理表示，再求三角函数的最值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1） ‎ 由正弦定理得，‎ 即 ‎ 又 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又 ‎ ‎.‎ ‎（2）由正弦定理得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故的周长的取值范围.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理和三角函数的最值.‎ ‎21．已知递增的等比数列满足，且是，的等差中项. ‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）若，求使成立的的最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由已知且是的等差中项，联立方程组，求得，代入求得，即可求解等比数列的通项公式；‎ ‎（2）由，求得，利用乘公比错位相减法，求得，列出不等式，即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由已知且是的等差中项 得，解得，‎ 代入，可得，解得或，‎ 因为递增等比数列，所以，‎ 因为，所以，所以，所以．‎ ‎（2）由，所以，‎ ‎，‎ ‎，‎ 两式相减得：，‎ 所以，‎ 使，整理得，‎ 所以使成立的正整数的最小值为5．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差、等比数列的通项公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.‎ ‎22．如图1，在直角梯形中，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面(如图2).为中点 ‎(1)求证:；‎ ‎(2)求四棱锥的体积；‎ ‎(3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由 ‎【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在，‎ ‎【解析】（1）证明DG⊥AE，再根据面面垂直的性质得出DG⊥平面ABCE即可证明 ‎（2）分别计算DG和梯形ABCE的面积，即可得出棱锥的体积；‎ ‎（3）过点C作CF∥AE交AB于点F，过点F作FP∥AD交DB于点P，连接PC，可证平面PCF∥平面ADE，故CP∥平面ADE，根据PF∥AD计算的值．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)证明:因为为中点，，所以.‎ 因为平面平面，平面平面，平面，‎ 所以平面.又因为平面，故 ‎(2)在直角三角形中，易求，则 所以四棱锥的体积为 ‎(3)存在点，使得平面，且=3:4‎ 过点作交于点，则.‎ 过点作交于点，连接，则.‎ 又因为平面平面，‎ 所以平面.‎ 同理平面.又因为，‎ 所以平面平面.‎ 因为平面，所以平面，由，则=3:4‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了面面垂直的性质，面面平行性质，棱锥的体积计算，属于中档题．‎