湖南省株洲市2018届高三教学质量统一检测（一）数学（理）参考答案

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数学（理科）参考答案 第 1 页（共 5 页） 株洲市 2018 届高三年级教学质量统一检测（一） 理科数学参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B C A D B C B B D A C 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．3 14．4 15． 51 2 16．7 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．） 17．（本小题满分 12 分） 【解析】解：（Ⅰ）∵ 25BC  ， 2CD  ， 1 sin 42BCDS BC CD BCD      ， ∴ 25sin 5BCD ．∴ 5cos 5BCD；----------------5 分 （Ⅱ）在 BCD 中， 52, 2 5,cos 5CD BC BCD    ， 由余弦定理得： 2 2 2 2 cos 16DB CD BC CD BC BCD       ，即 4DB  ， ∵ 2 2 2DB CD BC，∴ 90BCD  ，即 ACD 为直角三角形， ∵ 30A ，∴ 24AC CD．----------------12 分 18．（本题满分 12 分） 【解析】解：（1）证明： 垂直 且CB BE ， 的交线为 BE 所以，CB BDE 面 ，-----------------2 分 又 ED BDE 面 数学（理科）参考答案 第 2 页（共 5 页） 所以，CB ED -----------------3 分 在矩形 ADEF 中， ED AD 又四边形 ABCD为梯形， AB ∥CD 所以 AD 与CB 相交， 故 ED ABCD 平面 -----------------5 分 （2）由（1）知，ED 垂直 DA，ED 垂直 DC，又 AD 垂直 AB，AB 平行 CD，所以 DC 垂直 DA，如图，以 D 为坐标原点，DA、DC、DE 分别为 x，y，z 轴建立空间坐标系。-----------------6 分 AD=AB=1， AB AD ，BD= 2 又CB BD ， CDB= 045 ，所以 DC=2，-----------------7 分 设 DE=a 则 B（1，1，0）， C（0，2，0）， E（0，0，a） BE=（-1，-1，a）， BC=（-1，1，0） 设平面 BEC 的法向量为 n  =（x，y，z） 0 0 n BE n BC        0 0 x y az xy        ，令 x=1，则 y=1，z= 2 a 所以平面 BEC 的法向量为 =（1，1， ）， -----------------9 分 易知，平面 ADEF 的法向量为 m  =（0，1，0）-----------------10 分 因为平面 BCE 与平面 ADEF 所成锐二面角的余弦值为 6 6 ，则 6cos , 6nm     ， 即 2 1 2 4 a = ，解得 a=1，即 AF=DE=1-----------------12 分 19．（本题满分 12 分） 【解析】解：（Ⅰ）由对 B 服务机构的频率分布直方图，得 对 B 服务机构“满意度指数”为0 的频率为(0.003 0.005 0.012) 10 0.2    ，------2 分 所以，对 B 服务机构评价“满意度指数”为 的人数为1000 0.2 200人．------3 分 （Ⅱ）设“对 B 服务机构评价‘满意度指数’比对 A 服务机构评价‘满意度指数’高”为事件 C． 记“对 B 服务机构评价‘满意度指数’为1”为事件 1B ；“对 B 服务机构评价‘满意度指数’为 2 ” 为事件 2B ；“对 A 服务机构评价‘满意度指数’为0 ”为事件 0A ；“对 A 服务机构评价‘满意度 指数’为 ”为事件 1A ． E F B D C A 数学（理科）参考答案 第 3 页（共 5 页） 所以 1(B ) (0.02 0.02) 10 0.4P ， 2(B ) 0.4P ，---------------------5 分 由用频率估计概率得： 0(A ) 0.1P 1(A ) 0.55P ，---------------------7 分 因为事件 Ai 与 B j 相互独立，其中 1,2i  ， 0,1j  ． 所以 1 0 2 0 2 1(C) P(B A B A B A ) 0.3P ---------------------- 9 分 所以该学生对 B 服务机构评价的“满意度指数”比对 A 服务机构评价的“满意度指数”高的概率为 0.3． （Ⅲ）如果从学生对 A，B 两服务机构评价的“满意度指数”的期望角度看： B 服务机构“满意度指数”X 的分布列为： X 0 1 2 P 0.2 0.4 0.4 A 服务机构“满意度指数”Y 的分布列为： Y P 0.1 0.55 0.35 因为 ( ) 0 0.2 1 0.4 2 0.4 1.2EX        ； ( ) 0 0.1 1 0.55 2 0.35 1.25EY        ， 所以 ( ) ( )E X E Y ，会选择 A 服务机构． ---------------------- 12 分 20. （本题满分 12 分） 【解析】解：（1）椭圆 C 的方程为 22 116 4 xy ----------------5 分 （2）设直线 m 为： 1 2y x t， 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 联立： 22 116 4 1 2 xy y x t     ，得 222 2 8 0x bx b    于是 2 1 2 1 22 8, 2x x b x x b     ---------------6 分 设直线 MBMA, 的斜率为 ,MA MBkk ，要证 MEF 为等腰三角形，只需 0MA MBkk 12 12 22, 2 2 2 2MA MB yykk xx   ----------------8 分 数学（理科）参考答案 第 4 页（共 5 页） 1 2 1 2 12 ( 2 2)( ) ( 2 2)( 2 2)MA MB x x b x xkk xx     22 12 2 8 4 2 2 4 2 8 ( 2 2)( 2 2) b b b b xx       0 所以 MEF 为等腰三角形----------------12 分 21．（本小题满分 12 分） 【解析】解：（1） 2 ' 2 2 1() ax axfx x  ，----------------1 分 ①当02a 时， ' ( ) 0fx ，  y f x 在 (0, ) 上单调递增----------------3 分 ②当 2a  时，设 22 2 1 0ax ax   的两个根为 1 2 1 2 1, (0 )2x x x x   ，且 22 12 22,22 a a a a a axxaa      y f x 在 12(0, ),( , )xx 单调递增，在 12( , )xx 单调递减。----------------5 分 （2）依题可知 (1) 0f  ，若  fx在区间 (0,1) 内有唯一的零点 0x ，由（1）可知 ， 且 01 1(0, )2xx .----------------7 分 于是： 2 00ln ( 1) 0x a x   ……………. ① 2 002 2 1 0ax ax   …………….②----------------9 分 由①②得 0 0 0 1ln 02 xx x  ，设 1( ) ln ,( (0,1))2 xg x x xx    ， 则 ' 2 21() 2 xgx x  ，因此 ()gx在 1(0, )2 上单调递减， 又 3 3 2 2 4( ) 02 ege ， 1 1 3( ) 02 ege   ----------------12 分 根据零点存在定理，故 3 12 0e x e . 数学（理科）参考答案 第 5 页（共 5 页） 22．(本小题满分 10 分) 选修 4—4：坐标系与参数方程 【解析】解：（Ⅰ）有 4cos 得 2 4 cos   ，∵ 2 2 2xy， cosx  ， siny  ， ∴曲线C 的直角坐标方程为 2240x y x   ，即 22( 2) 4xy   ．----------------5 分 （Ⅱ）将 1 cos sin xt yt      代入圆的方程得 22( cos 1) ( sin ) 4tt   ， 化简得 2 2 cos 3 0tt   ， 设 A ， B 两点对应的参数分别为 1t ， 2t ，则 12 12 2cos , 3, tt tt    ， ∴ 22 1 2 1 2 1 2| | | | ( ) 4 4 4cos 12 14AB t t t t t t         ． ∴ 24cos 2  ， 2cos 2  ， 4   或 3 4  ．--------------10 分 23．(本小题满分 10 分) 选修 4—5：不等式选讲 【解析】解：（Ⅰ）当 1a  时，不等式 ( ) 0fx 可化为： 2 1 1 0xx    ， 解得： 2x  或 0x  ，----------------5 分 （Ⅱ）由 ( ) 2f x x 得： 2 2 1a x x x    ， 令 ( ) 2 2 1g x x x x    ， 作出函数 ()y g x 的图象如图示， 结合图象知：当 11-2a   时，函数 ya 与 的图 象有三个不同交点，即方程 有三个不同的解 ∴ a 的取值范围为 1( 1,- )2 ----------------10 分 - 1 2 o -1 y x y=f(x) y=a