2017-2018学年湖南省醴陵市第二中学高二上学期入学考试数学（理）试题（解析版）
2017-2018学年湖南省醴陵市第二中学高二上学期入学考试数学（理）试题
一、选择题
1．已知中， 所对的边分别为，且,那么角等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在中， ，由正弦定理得： , ,又a
0，S16<0，则使an>0成立的n的最大值为 ( )．
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】C
【解析】依题意得S15＝＝15a8>0，即a8>0；
S16＝＝8(a1＋a16)＝8(a8＋a9)<0，
即a8＋a9<0，a9<－a8<0.
因此使an>0成立的n的最大值是8，选C.
8．已知是方程的两根,则等于（ ）
A. -3 B. C. D. 3
【答案】C
【解析】∵是方程的两根，∴
∴
故选：C
9．如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵ ， =.
故选：B
10．函数在一个周期内的图象如图所示， 此函数的解析式为 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由函数在一个周期内的图象，易得： ， ，由五点法作图可知： ，即
，当k=0时， ，此函数的解析式为.
故选：A
点睛：已知函数的图象求解析式
(1) .
(2)由函数的周期求
(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.
11．已知为等差数列, ， =99，则等于 ( )
A. －1 B. 1 C. 3 D. 7
【答案】B
【解析】试题分析： 设等差数列的公差为： ，则
由，两式相减，得：
，
则有：
，
故选B．
【考点】等差数列的通项公式．
12．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A. 在区间上单调递减 B. 在区间上单调递增
C. 在区间上单调递减 D. 在区间上单调递增
【答案】B
【解析】试题分析：将函数的图象向右平移个单位长度，得，
∵，∴，∴函数为增函数．
【考点】函数图象的平移、三角函数的单调性．
二、填空题
13．设向量， ，若，则实数________.
【答案】
【解析】∵向量， ，∴， ，
又，即， ， ， .
14．已知则 =_____________；
【答案】
【解析】∵，∴
.
15．若，则______________．
【答案】
【解析】由，得： ,两边平方得： ，即.
点睛：应用公式时注意方程思想的应用：对于sinx＋cosx，sinx cosx，sinx－cosx这三个式子，利用(sinx±cosx)2＝1±2sinx cosx，可以知一求二．
16．对下列命题：①函数是奇函数； ②直线 是函数
图像的一条对称轴；③函数的图象关于点成中心对称图形；
④存在实数，使得．
其中正确的序号为___．(填所有正确的序号)
【答案】①②
【解析】①满足，显然定义域关于原点对称，令，则，故函数是奇函数，命题正确；
②当时， ，对应函数的最小值，故是函数图像的一条对称轴；命题正确；
③当时， ，对应的函数值不是零，故不是对称中心,命题错误；
④显然不存在实数，命题错误.
三、解答题
17．等差数列中，
（1）求该等差数列的通项公式 （2）求该等差数列的前n项和
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）利用等差数列基本公式求首项公差得到通项公式；（2）利用等差前n项和公式求和.
试题解析:
解：（1）∵ ∴ ∴
（2）∵ ∴ ∴
点睛：等差数列的基本量运算问题的常见类型及解题策略：
（1）化基本量求通项．求等差数列的两个基本元素和，通项便可求出，或利用知三求二，用方程求解．
（2）化基本量求特定项．利用通项公式或者等差数列的性质求解．
（3）化基本量求公差．利用等差数列的定义和性质，建立方程组求解．
（4）化基本量求和．直接将基本量代入前项和公式求解或利用等差数列的性质求解．
18．在中，
（1）求的值 （2）求边的长度.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：(1)利用正弦定理求角Ａ的正弦值；（2）利用余弦定理求边长.
试题解析:
解：（1）∵ ∴
（2）∵ ∴
∴ ∴
19．设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且.
当时，求a的值；
当的面积为3时，求a+c的值。
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）利用同角三角函数的基本关系式，求出，利用正弦定理求出a即可．
（2）通过三角形的面积求出ac的值，然后利用余弦定理即可求出a+c的值．
试题解析:
解：（1）.
由正弦定理得.
.
（2）的面积，
.
由余弦定理，
得4= ,即.
∴，
∴
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.
第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.
第三步：求结果.
20．已知函数的部分图象如图所示.
（1） 求函数的解析式；
（2） 如何由函数的通过适当图象的变换得到函数的图象， 写出变换过程;
（3） 若，求的值.
【答案】（1）（2）见解析（3）
【解析】试题分析：（1）直接由函数图象求得和周期，再由周期公式求得ω，由五点作图的第三点求；
（2）由先平移后改变周期和先改变周期后平移两种方法给出答案；
（3）由求出，然后把转化为余弦利用倍角公式得答案．
试题解析:
解：（1）.
（2）法1：先将的图象向左平移个单位，再将所得图象纵坐标不变，横坐标压缩为原来的倍，所得图象即为的图象.
法2：先将的图象纵坐标不变，横坐标压缩为原来的倍，再将所得图象向左平移个单位，，所得图象即为的图象.
（3）由,
得： ，
而.
点睛：图象变换
(1)振幅变换
(2)周期变换
(3)相位变换
(4)复合变换
21．已知, ， ， ．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）利用已知条件，通过二倍角公式以及的范围， 的值，即可求出的值．
（2）求出，通过，利用两角和的余弦公式展开，代入函数值求解即可．
试题解析:
解（1）由题知： ，
故
（2）因为所以，又，故
从而
22．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足
(Ⅰ）若，求的值
(Ⅱ）已知， 的最小值为，求实数m的值.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）利用共线条件确定实数的值；（2）化简得到
，分类讨论确定函数的最值，求出实数m的值.
试题解析:
解：（Ⅰ）由已知，即
∴=
(Ⅱ）
∵，∴
当时，当时，f(x)取最小值与已知相矛盾；
当时, 当时, f(x)取最小值，得 (舍)
当时，当时，f(x)取得最小值，得，
综上所述， 为所求.
