2019-2020学年湖南省株洲市茶陵县第三中学高一上学期第三次月考数学试题（解析版）

2019-2020学年湖南省株洲市茶陵县第三中学高一上学期第三次月考数学试题（解析版）

‎2019-2020学年湖南省株洲市茶陵县第三中学高一上学期第三次月考数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合， ，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得，选A.‎ ‎2．已知函数，则的解析式是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由于，所以.‎ ‎3．（2012•雁峰区校级学业考试）函数y=ax﹣2+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点（ ）‎ A．（0，1） B．（1，1） C．（2，0） D．（2，2）‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：根据a0=1（a≠0）时恒成立，我们令函数y=ax﹣2+1解析式中的指数部分为0，即可得到函数y=ax﹣2+1（a＞0且a≠1）的图象恒过点的坐标．‎ 解：∵当X=2时 y=ax﹣2+1=2恒成立 故函数y=ax﹣2+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点（2，2）‎ 故选D ‎【考点】指数函数的单调性与特殊点．‎ ‎4．若直线//平面，直线，则与的位置关系是( )‎ A．// B．与异面 C．与相交 D．与没有公共点 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：因为直线，所以直线与平面没有交点，因为直线，所以直线与直线也没有交点，故选择D ‎【考点】线与线的位置关系 ‎5．已知函数为奇函数，且时，，则（ ）‎ A． B． C．2 D．-2‎ ‎【答案】D ‎【解析】由于函数为奇函数，故.所以.故选.‎ ‎6．设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一平面的一条垂线，则两面垂直，可得，‎ 可得 ‎【考点】空间线面平行垂直的判定与性质 ‎7．已知圆锥的底面半径为，且它的侧面开展图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】半径为的半径卷成一圆锥，‎ 则圆锥的母线长为，‎ 设圆锥的底面半径为，‎ 则，即，‎ ‎∴圆锥的高，‎ ‎∴圆锥的体积，‎ 所以的选项是正确的．‎ ‎8．函数f（x）=log2x+x–4的零点所在的区间是 A． B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）‎ ‎【答案】C ‎【解析】连续函数f（x）=log2x+x﹣4在（0，+∞）上单调递增且f（2）=﹣1＜0，f（3）=log23﹣1＞0，根据函数的零点的判定定理可求 ‎【详解】‎ ‎∵函数f（x）=log2x+x–4在（0，+∞）上图象连续，f（2）=–1<0，f（3）=log23–1>0，‎ ‎∴f（x）=log2x+x–4的零点所在的区间为（2，3）．‎ 故选:C．‎ ‎【点睛】‎ 函数的零点问题，常根据零点存在性定理来判断，如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，且有，那么，函数在区间内有零点，即存在使得这个也就是方程的根，由此可判断根所在区间.‎ ‎9．设长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 A．3a2 B．6a2 C．12a2 D．24a2‎ ‎【答案】B ‎【解析】【详解】‎ 方体的长、宽、高分别为,其顶点都在一个球面上,长方体的对角线的 长就是外接球的直径，所以球直径为：，‎ 所以球的半径为，所以球的表面积是，故选B ‎10．如图，三棱柱中，侧棱，底面三角形是正三角形，是中点，则下列叙述正确的是（ ）‎ A．与是异面直线 B．‎ C．，为异面直线，且 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】可证明平面，再根据异面直线的判断方法可得C是正确的，其他情形可通过反证法或反面情况给予证明或说明.‎ ‎【详解】‎ 是共面直线，故A错；‎ 若平面，因平面，故，这与矛盾，故B错；‎ 因为平面，故平面，因平面，故.由三棱柱可以得到，故，由，可以得到.而，从而有平面，而平面，故，又平面， 平面，，故是异面直线，故C正确；‎ 若平面，因平面，故.因平面， 平面，故，而，故平面，又 平面，故，这与矛盾，故D错；‎ 综上，选C.‎ ‎【点睛】‎ 异面直线的证明可以用判断定理（即与平面相交的直线与平面内不过交点的直线的是异面直线），也可以用反证法来说明.关于线面关系的判断题，也可通过反证法来说明.‎ ‎11．已知在长方体中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点到截面的距离是(　 　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】点到截面的距离是，由，可得，解得，故选C.‎ ‎12．已知长方体中， ，，分别是和中点,则异面直线与所成角的大小为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】取中点为，连接，，根据题意，得到即是异面直线与所成的角，设，根据题中条件，得到，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 取中点为，连接，，‎ 因为为的中点，所以，且，‎ 因此即是异面直线与所成的角，‎ 又是中点，为长方体中心，‎ 所以在长方体中，，‎ 设，所以在长方体中，，‎ 因此，‎ 又，且，所以，‎ 因此，‎ 所以，即，‎ 故异面直线与所成的角为.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查求异面直线所成的角，在几何体中作出异面直线所成的角，即可由题中数据求解，属于常考题型.‎ 二、填空题 ‎13．设函数，若，则实数 .‎ ‎【答案】-4,2.‎ ‎【解析】先根据自变量范围分类讨论，再根据对应解析式列方程，解出结果.‎ ‎【详解】‎ 当 时， ，所以 ；‎ 当 时， ，所以 ‎ 故 .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据函数值求自变量,考查分类讨论思想以及基本分析求解能力.‎ ‎14．已知圆柱OO′的母线l＝4 cm，全面积为42π cm2，则圆柱OO′的底面半径r＝ ______cm.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】圆柱OO′的侧面积为2πrl＝8πr(cm2)，两底面积为2×πr2＝2πr2(cm2)，‎ ‎∴2πr2＋8πr＝42π，‎ 解得r＝3或r＝－7(舍去)，‎ ‎∴圆柱的底面半径为3 cm.‎ ‎15．水平放置的的直观图如图所示，已知，则原图中边上中线的实际长度为_____． ‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】根据斜二测画法的原则，得到，，，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 由斜二测画法的原则可得：，，,‎ 因此，‎ 所以原图中边上中线的实际长度为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查斜二测画法的应用，熟记斜二测画法的原则即可，属于常考题型.‎ ‎16．已知，，对任意，都存在，使，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意知，“对任意，都存在，使”等价于“在上的值域是函数在上的值域的子集”，‎ 易知，‎ 根据二次函数的图象可知，‎ ‎∵，‎ ‎∴，解得．‎ ‎∴实数的取值范围是．‎ 答案：‎ 点睛：解答函数中的恒成立、能成立问题时要注意以下结论，借助结论将问题转化为函数的最值（或值域）问题处理．‎ ‎①任意的x1A,x2B,f(x1)>g(x2) f(x)min>g(x)max；‎ ‎②存在x1A,x2B,f(x1)>g(x2)f(x)max> g(x)min；‎ ‎③任意的x1A, 存在x2B, f(x1)>g(x2)f(x)min> g(x)min；‎ ‎④存在的x1A, 任意x2B, f(x1)>g(x2)f(x)max> g(x)max；‎ ‎⑤任意的x1A, 存在x2B, f(x1)=g(x2)f(x)的值域是g(x)值域的子集．‎ 三、解答题 ‎17．设函数.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围。‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】（1）根据函数解析式，由内到外，逐步代入，即可得出结果；‎ ‎（2）分，两种情况讨论，解对应不等式，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，所以，‎ 因此；‎ ‎（2）当时，由可得：，即，解得，所以；‎ 当时，由可得：，即，解得：，所以；‎ 综上，实数的取值范围是或.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查求函数值，以及解分段函数对应的不等式，熟记分段函数的性质，以及函数单调性即可，属于常考题型.‎ ‎18．如图，在三棱锥中，平面平面为等边三角形，且分别为的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面平面；‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】（I）因为分别为的中点，所以，由线面平行的判定定理，即可得到平面；‎ ‎（II）因为为的中点，得到，进而证得平面，由面面垂直的判定定理，即可得到平面平面．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为O,M分别为AB,VA的中点，所以OM//VB 又因为VB平面MOC，所以VB//平面MOC，‎ ‎（2）因为AC=BC,O为AB的中点，‎ 所以OCAB，又因为平面VAB平面ABC，且OC平面ABC，‎ 所以OC平面VAB．∴平面MOC平面VAB.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．‎ ‎19．已知是矩形，平面，，，‎ 为的中点．‎ ‎（1）求证：平面．‎ ‎（2）求直线与平面所成的角．‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）直线与平面所成的角为 ‎【解析】（1）在中，， ‎ ‎ 平面，平面， ‎ 又， 平面……7分 ‎（2）为与平面所成的角 在，，在中，‎ 在中，， ‎ ‎20．已知四棱锥(图1)的三视图如图2所示，为正三角形，垂直底面，俯视图是直角梯形．‎ ‎(1)求正视图的面积； ‎ ‎(2)求四棱锥的体积。‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】（1）先过作，根据三视图得到是的中点，且，由题意求出，，进而可求出正视图的面积；‎ ‎（2）先由（1）得到四棱锥的高，根据棱锥的体积公式，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)过作，根据三视图可知，是的中点，且.‎ 又∵为正三角形，‎ ‎∴，且，‎ ‎∴.‎ ‎∵平面，平面，∴.‎ ‎∴，即.‎ 因此，正视图的面积为；‎ ‎(2)由(1)可知，四棱锥的高，底面积为，‎ ‎∴四棱锥的体积为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由几何体的三视图求正视图的面积，以及几何体的体积，熟记棱锥的体积公式，以及几何体的结构特征即可，属于常考题型.‎ ‎21．某商品的进价为每件元，售价为每件元，每个月可卖出件；如果每件商品在该售价的基础上每上涨元，则每个月少卖件（每件售价不能高于元）.设每件商品的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元.‎ ‎（1）求与的函数的函数关系式并直接写出自变量的取值范围；‎ ‎（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？‎ ‎【答案】（1）（且为正整数）；（2）当售价定为每件或元，每个月的利润最大，最大的月利润是元.‎ ‎【解析】本试题主要是考查了函数在实际生活中的运用。‎ ‎（1）根据已知的进价和售价，以及利润函数可知结论，注明定义域，‎ ‎（2）由上可知，那么利用二次函数的性质得到最值。‎ ‎21．（1）（且为正整数）；‎ ‎（2）．，当时，有最大值2402.5．‎ ‎，且为正整数，当时，，（元），当时，，（元）当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元；‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）判断函数的单调性,不需要说明理由．‎ ‎（2）判断函数的奇偶性，并说明理由．‎ ‎（3）对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）增函数； （2）奇函数，理由见解析； （3）.‎ ‎【解析】（1）将函数化为，即可直接得出结果；‎ ‎（2）先由解析式，得到函数定义域， 再由，即可判断出结果；‎ ‎（3）先由函数奇偶性与单调性，将原不等式化为，在恒成立，令，，分别讨论，，三种情况，结合二次函数的单调性，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）为上的增函数；‎ ‎（2）根据题意，函数，其定义域为，‎ 有，‎ 则函数为奇函数； ‎ ‎（3）由（2）的结论，为上的奇函数，‎ 则可化为：，‎ 即，‎ 又由在上是单调递增的函数，则有，在恒成立；‎ 即，在恒成立，‎ 设，，则等价于即可．‎ 即，‎ 当时，函数在上单调递增，其最小值为，得，不成立；‎ 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，其最小值为，解得，所以；‎ 当时，函数在上单调递减，其最小值为，可得，所以 综上可得：的取值范围为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查判断函数单调性与奇偶性，以及由函数单调性与奇偶性求参数的范围，熟记函数单调性与奇偶性的判定方法，以及二次函数性质即可，属于常考题型.‎