【数学】江苏省无锡市辅仁高级中学2019-2020学年高一上学期期中考试试题（解析版）
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江苏省无锡市辅仁高级中学2019-2020学年
高一上学期期中考试试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.设集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】,选B.
2.已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵∴
故选：A．
3.函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】要使原函数有意义，则4x﹣3＞0，解得：x．
∴函数的定义域是．
4.已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解不等式得，
所以，
所以可以求得，故选B.
5.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，为时间，则与故事情节相吻合的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意，对于乌龟，其运动过程可分为两端，
从起点到终点乌龟没有停歇，其路程不断增加，
到达终点后等兔子这段时间路程不变，此时图象为水平线段，
对于兔子，其运动过程可分为三段：
开始跑的快，所以路程增加快，中间睡觉时路程不变，图象为水平线段，
醒来时追赶乌龟路程加快，
分析图象，可知只有选项B符合题意.
故选B.
6.函数的零点所在区间是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在上为增函数，且，
，，
，的零点所在区间为．
故选C．
7.已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵x＝20.2＞20＝1，＝0，
，∴y＜z＜x．
故选：B．
8.已知集合，，若，则实数的取值范围为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】B＝{x|x
﹣1．
故选：B.
9.设，且，则（ ）
A. B. C. 或 D. 10
【答案】A
【解析】由题意可得，由等式（）两边取对数，
可得，
所以可得，选A.
10.已知函数，，若的最小值为，则实数m的值为
A B. C. 3 D. 或3
【答案】C
【解析】函数，即，，
当时，不成立；
当，即时，在递减，可得取得最小值，且，解得成立；
当，即时，在递增，可得取得最小值，且，不成立；
综上可得．
故选C．
11.设函数，对任意实数，关于的方程总有实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】若对任意实数b，关于x的方程f（x）﹣b＝0总有实数根，
即对任意实数b，函数f（x）的图象与直线y＝b总有交点，
即函数f（x）的值域为R，
∵f（x），
在同一坐标系中画出y＝x与y＝x2的图象，
由图可得：当a∈[0，1]时，函数f（x）的值域为R，
故a的取值范围是[0，1]，
故选：B．
12.定义在上的函数满足，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值是（ ）
A. -1 B. -2 C. D.
【答案】C
【解析】f（﹣x）＝f（x），可得f（x）为偶函数，
当x≥0时，f（x），
可得0≤x＜1时，f（x）＝1﹣x2递减，f（x）∈（0，1]；
当x≥1时，f（x）递减，且f（1）＝0，f（x）∈（﹣∞，0]，
f（x）在x≥0上连续，且为减函数，
对任意的x∈[m﹣1，m]，不等式f（2﹣x）≤f（x+m）恒成立，
可得f（|2﹣x|）≤f（|x+m|），即为|x﹣2|≥|x+m|，
平方得到（2m+4）x≤4﹣m2，
①当2m+4＞0即m＞﹣2时，得到x任意的x∈[m﹣1，m]成立，
∴m，得到m，∴﹣2＜m；
②当2m+4＝0，不满足题意；
③当2m+4＜0即m＜﹣2时，得到x任意的x∈[m﹣1，m]成立，
∴m﹣1，得到m，不满足题意；
综上，﹣2＜m，故m的最大值为，
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.设集合，．若，则__________．
【答案】
【解析】因为，
所以为方程的解，
则，解得，
所以，，集合．
14.已知函数（且），则的图象恒过定点_________.
【答案】
【解析】因为指数函数y＝ax恒过点（0，1），
∴函数y＝2﹣ax+1的图象可看作把y＝ax的图象先沿轴反折，再左移1个单位，最后向上平移2个单位得到，
∴函数y＝2﹣ax+1恒过（﹣1，1）点，
故答案为：．
15.关于的二次函数有两个不相等的实数根，其中一个根小于1，另一个根大于2，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】∵x的方程有两个不同的实根，
∴△＝＞0，∴m＞3或m＜﹣1，
∵方程对应的二次函数f（x）＝的开口向上，
而方程有两个不同的实根，并且有一个根小于1，另一个根大于2，
∴f（1）＜0，且f（2）＜0，
∴，∴m，
故答案为：m．
16.已知函数是定义在上的奇函数，且，偶函数的定义域为，且当时，，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是_________.
【答案】
【解析】∵f（x），
∴当0≤x≤1时，2x﹣1∈[0，1]，
当x≥1时，∈（0，1]，
即x≥0时，f（x）的值域为[0，1]，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴x≤0时f（x）的值域为[﹣1，0]，
∴在R上的函数f（x）的值域为[﹣1，1]．
∵定义在{x|x≠0}上的偶函数g（x），x＞0的g（x）＝log2x，
∴g（x）＝log2|x|（x≠0）
∵存在实数a，使得f（a）＝g（b）成立，
∴令﹣1≤g（b）≤1．
即﹣1≤log2|b|≤1．即有|b|≤2，∴b≤2或﹣2≤b．
故答案为：．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.计算下列各式的值：
（1）化简：；
（2）计算：.
【解】（1），
∴.
（2）
=.
18.已知集合，.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【解】（1）因为，所以，
或,
又 ，
所以.
（2）若，由，
得
当，即时，，此时有，
综上，实数的取值范围是：.
19.已知函数.
（1）请写出分段函数并在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象（请用列表描点法作图）；
（2）根据函数的图象回答下列问题：
①求函数的单调区间；
②求函数的值域；
③求关于的方程在区间上解的个数.（回答上述3个小题只需直接写出结果，不需给出演算步骤）
【解】（1）去绝对值可得解析式，根据函数f（x）＝2|x﹣1|﹣x+1．
可得函数的图象，如图所示：
（2）结合函数的图象可得，
①函数f（x）的单调递增区间为[1，+∞），
函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，1]；
②函数f（x）值域为[0，+∞），
③方程f（x）＝2在区间[0，2]上解的个数为1个．
20.已知定义域为R的函数是奇函数.
（1）求的值；
（2）判断并用定义证明的单调性；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解】（1）由f（1）+f（﹣1）＝0，得．
检验：a＝2时，，
∴f（x）+f（﹣x）＝0对x∈R恒成立，即f（x）是奇函数．
（2）判断：单调递增．
证明：设x1∈R，x2∈R且x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）
，
∵，即．
又，∴，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
∴f（x）在R上是增函数．
（3）∵f（x）是奇函数，∴不等式f（mt2+1）+f（1﹣mt）＞0⇔f（mt2+1）＞f（mt﹣1），
∵f（x）在R上是增函数，∴对任意的t∈R，不等式f（mt2+1）+f（1﹣mt）＞0恒成立，
即mt2+1＞mt﹣1对任意的t∈R恒成立，即mt2﹣mt+2＞0对任意的t∈R恒成立．
m＝0时，不等式即2＞0恒成立，合题意；m≠0时，有，即0＜m＜8．
综上：实数m的取值范围为0≤m＜8
21. 某种新产品投放市场的100天中，前40天价格呈直线上升，而后60天其价格呈直线下降，现统计出其中4天的价格如下表：
时间
第4天
第32天
第60天
第90天
价格（千元）
23
30
22
7
（1）写出价格关于时间的函数关系式；（表示投放市场的第天）；
（2）销售量与时间的函数关系：，则该产品投放市场第几天销售额最高？最高为多少千元？
【解】（1）由题意，设
同样设
(2)设该产品的日销售额为
此时当
，此时
综上，销售额最高在第10天和第11天，最高销售额为808.5（千元）
22.集合是满足下列条件的函数全体：如果对于任意的，都有.
（1）函数是否为集合的元素，说明理由；
（2）求证：当时，函数是集合的元素；
（3）对数函数，求的取值范围.
【解】（1）取，，
，，，
∴函数不是集合M0的元素．
（2）任取，
，
∵，，根据指数函数的性质，得，∴，
同理，，∴，∴．
∴，∴函数是集合的元素．
（3）∵对数函数，∴任取，成立，即成立，
∴对一切成立，∴对一切成立，
∵，∴，∴，∴.
