广东省中山市第一中学2019-2020学年高二上学期11月月考数学试题

广东省中山市第一中学2019-2020学年高二上学期11月月考数学试题

中山市第一中学 2019-2020学年第一学期高二年级第二次统测数学 第Ⅰ卷（共52分）‎ 一、选择题（共10个小题,每小题4分，共40分．每题只有一项是符合题目要求．）‎ ‎1.不等式的解集是（ ）‎ A. 或 B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接解不等式得到答案.‎ ‎【详解】‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了解不等式，意在考查学生的计算能力.‎ ‎2.在中，，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 中，∵，故三个内角分别为 ， 则 ‎ 故选A．‎ ‎3.设R，则“＞1”是“＞1”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：由可得成立，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件 考点：充分条件与必要条件 ‎4.设F1、F2是椭圆的两焦点，P为椭圆上的点，若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为（ ）‎ A. 8 B. 4 C. 4 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆的定义和勾股定理，建立关于的方程，求得，结合直角三角形的面积公式，即可求得的面积.‎ ‎【详解】由椭圆，可得，则，‎ 设，‎ 由椭圆的定义可知：，‎ 因为，得，‎ 由勾股定理可得：，即，‎ 可得，解得，即，‎ 所以的面积为.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，以及椭圆的定义和焦点三角形的应用，其中解答中熟练应用椭圆的定义和勾股定理，求得 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎5.设为数列的前项和,，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算，再利用分组求和法计算得到答案.‎ ‎【详解】则 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列通项公式，分组求和法，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.‎ ‎6.已知抛物线的焦点在直线上,则此抛物线的标准方程是（ ）‎ A. B. ‎ C. 或 D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 讨论焦点在轴上和焦点在轴上两种情况，分别计算得到答案.‎ ‎【详解】当抛物线焦点在轴上时：‎ 直线与轴的交点为，此时抛物线为；‎ 当抛物线焦点在轴上时：‎ 直线与轴的交点为，此时抛物线为；‎ 综上所述：抛物线的标准方程是或 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线的标准方程，漏解是容易发生的错误.‎ ‎7.已知双曲线满足,且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用待定系数法求解双曲线方程即可 ‎【详解】由题意可得椭圆的焦点坐标为，据此可得，双曲线方程中：‎ ‎，解得：，‎ 双曲线的方程为.‎ 本题选择A选项.‎ ‎【点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.‎ ‎8.若实数x，y满足不等式组：则该约束条件所围成平面区域的面积是(　　)‎ A. 3 B. C. 2 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 可行域为直角三角形，其面积为S＝×2×＝2．‎ ‎9.已知数列是各项均为正数的等差数列,其前项和，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据等差数列前项和公式得到，变形得到展开利用均值不等式计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 当即 时等号成立 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的前项和，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力，变形 是解题的关键.‎ ‎10.已知双曲线的左焦点为，点的坐标为，点为双曲线右支上的动点，且周长的最小值为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设双曲线右焦点为，变换得到周长为，计算得到答案.‎ ‎【详解】设双曲线的右焦点为，则的周长为 ‎ 当 共线时等号成立；‎ 即 ‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线的离心率，变换得到是解题的关键.‎ 二、选择题（共3个小题,每小题4分，共12分．每题有多个选项是符合题目要求．全对得4分，有错选的得0分，部分选对的得2分）‎ ‎11.对于实数,下列命题正确的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若则 D. 若，，则 ‎【答案】CD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依次判断每个选项的正误：当时，不成立，排除；根据等式性质判断正确；得到答案.‎ ‎【详解】A. 若，则，当时不成立，排除； ‎ B. 若，故 则，不正确；‎ C. 若则，，正确；‎ D. 若，，正确；‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了不等式正误判断，意在考查学生对于不等式性质的综合运用.‎ ‎12.已知曲线，则曲线（ ）‎ A. 关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线轴对称 ‎【答案】ABCD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据；；；都成立得到答案.‎ ‎【详解】，则；；成立 故曲线关于轴对称；关于轴对称；关于原点对称；‎ 取曲线任一点 关于直线轴对称点为 成立.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了曲线的对称问题，意在考查学生对于轴对称和点对称的理解和应用.‎ ‎13.数列的前项和为，若数列的各项按如下规律排列：，以下运算和结论正确的是（ ）‎ A. ‎ B. 数列是等比数列 C. 数列的前项和为 D. 若存在正整数，使，则 ‎【答案】ACD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依次判断每个选项的正误：计算；得出通项公式和前项和得到错误正确；计算得到，，；得到答案.‎ ‎【详解】以为分母的数共有个，故，故正确；‎ 为等差数列，错误；‎ 数列的前项和为，正确；‎ 根据（3）知：即；，此时，正确；‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了数列的通项公式，前项和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.‎ 第Ⅱ卷（共98分）‎ 三、填空题（每小题4分，满分16分.）‎ ‎14.命题“，都有”的否定是______．‎ ‎【答案】，使得 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用全称命题的否定定义得到答案.‎ ‎【详解】命题“，都有”的否定是：，使得 故答案为：，使得 ‎【点睛】本题考查了全称命题的否定，意在考查学生的推断能力.‎ ‎15.若实数x，y满足x＞y＞0，且log2x＋log2y＝1，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ 由log2x＋log2y＝1，得xy＝2，＝＝＝x－y＋≥4，则的最小值为4.‎ ‎16.已知抛物线，焦点为，为平面上的一定点，为抛物线上的一动点，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】‎ 抛物线的准线方程为：，焦点为，过向准线作垂线，垂足为， ‎ 故答案为12．‎ ‎17.已知函数的值域为，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为 ．‎ ‎【答案】9．‎ ‎【解析】‎ ‎∵f(x)＝x2＋ax＋b的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝0，‎ ‎∴b－＝0，∴f(x)＝x2＋ax＋a2＝2.‎ 又∵f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，‎ ‎∴m，m＋6是方程x2＋ax＋－c＝0的两根．由一元二次方程根与系数的关系得解得c＝9.‎ 四、解答题 （本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎18.已知p:对任意q:存在 若“p或q”为真，“p且q”为假.求实数的取值范围.‎ ‎【答案】－1≤≤1或＞3‎ ‎【解析】‎ 试题分析：先化简 和 ，命题等价于真 假或假真，建立相应不等式组，解之得正解. ‎ 试题解析：‎ 若p真，则对任意即在上恒成立. ‎ ‎,则.若q真，则 又因为“p或q”为真，“p且q”为假，所以p,q中一个为真一个为假.‎ ‎(1)当p真q假时，有，所以－1≤≤1.‎ ‎(2)当p假q真时,有，所以＞3.‎ 综上所述,实数的取值范围为－1≤≤1或＞3.‎ ‎19.在中，角所对的边分别为，的面积为，.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）因为，由正弦定理得，即得，解出A（2）利用 得出，由得出，联立求即可.‎ ‎【详解】（1）因为，由正弦定理得， 化简得 ， ‎ ‎（2） 又 ，即 联立可得，又，.‎ ‎20.某化工企业2018年年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外，每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备年的年平均污水处理费用为（单位：万元）‎ ‎（1）用表示；‎ ‎（2）当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．‎ ‎【答案】（1）；（2）该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）污水处理总费用包括设备购买费用，每年运转费，每年的维护费，运用平均数公式即可建立.‎ ‎（2）利用基本不等式即可求解.‎ ‎【详解】（1）由题意得，，‎ 即．‎ ‎（2）由基本不等式得：，‎ 当且仅当时取等号．‎ 故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备．‎ ‎【点睛】主要考查了函数模型的实际应用，平均数求解以及基本不等式的应用，属于基础题.运用基本不等式求解最值问题，要注意前提条件，以及等号成立的条件.‎ ‎21.已知是一个公差大于的等差数列，且满足.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）等比数列满足：，若数列，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据等差数列公式联立方程组计算得到答案 ‎（2）计算得到，，利用错位相减法计算得到答案.‎ ‎【详解】(1)设等差数列的公差为，则依题设 ‎ 由.得， ① ‎ 由得， ② ‎ 由①得将其代入②得.即，‎ ‎,又,代入①得. ‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ 错位相减可得：‎ 整理得： ‎ ‎ .‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，利用错位相减法计算前项和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.‎ ‎22.已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.‎ ‎（Ⅰ）求C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据，两点关于y轴对称，由椭圆的对称性可知C经过，两点.另外由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C的方程；（2）先设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，再设直线l的方程，当l与x轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l：（），将代入，写出判别式，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1x2，进而表示出，根据列出等式表示出和的关系，从而判断出直线恒过定点.‎ 试题解析：（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.‎ 又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.‎ 因此，解得.‎ 故C的方程为.‎ ‎（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，‎ 如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，‎ ‎），（t，）.‎ 则，得，不符合题设.‎ 从而可设l：（）.将代入得 由题设可知.‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.‎ 而 ‎.‎ 由题设，故.‎ 即.‎ 解得.‎ 当且仅当时，，欲使l：，即，‎ 所以l过定点（2，）‎ 点睛:椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简.‎ ‎23.‎ 数列满足 ‎（1）设，求证是等比数列；（2） 求数列的通项公式；‎ ‎（3）设,数列的前项和为,求证:‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）（3）见解析 ‎【解析】‎ ‎【详解】（Ⅰ）由得 ‎，即，‎ 是以２为公比的等比数列 ‎（Ⅱ） 又 即，‎ 故 ‎（Ⅲ）‎ 又 ‎ ‎