数学（理）卷·2018届黑龙江省牡丹江市第一高级中学高三上学期期中考试（2017

数学（理）卷·2018届黑龙江省牡丹江市第一高级中学高三上学期期中考试（2017

牡一中2015级高三学年上学期期中考试 理 数 试 题 一、选择题（每题5分，共60分）‎ 1、 设集合，，则( )‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2、已知是虚数单位，若，则z＝（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3、某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎4、执行右面的程序框图，输出S的值为（ ）‎ ‎ A．1 B． 5 C．21 D．85‎ ‎ 5、已知直线，平面且，给出下列四个命题中，正确命题为( )‎ ‎(1)若，则； (2)若，则 ；‎ ‎(3)若，则 ； (4)若，则 A. (1)、(2) 　 B. (1)、(4) C. (3)、(4) D. (2)、 (4)‎ ‎6．已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若，，则x+y的值是（　　）‎ A. －3或1　　　　　 B.3或－‎1　　‎　　　 C. －3　　　　　 D.1‎ ‎7、 直线与圆相切，则实数等于（ ）‎ A．或 B．或 C．或 D．或 ‎8、已知直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎9、 一台风中心在港口南偏东方向上，距离港口400千米的海面上形成，并以每小时25千米的速度向正北方向移动，距台风中心350千米以内的范围将受到台风的影响，港口受到台风影响的时间为（ ）小时。‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎10．已知长方体A1B1C1D1—ABCD中,M为棱AB的中点，,则下列判断正确的有（ ）个。‎ ‎①与平面AC,平面A1C1的交线可能相交； ②与平面AB1,平面BC1的交线不能平行；‎ ‎③与平面CD1的交线可能与直线CD平行； ④与平面AD1的交线不能与平面MB1C平行。‎ A．0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎11、已知满足，则的最小值是( )‎ A. B. C. 13 D. 10‎ 第12题 ‎12、已知是椭圆的右焦点，点在椭圆上，‎ 线段与圆相切于点(其中为椭圆的半焦距)，‎ 且，则椭圆的离心率等于（ ）‎ ‎ A B C D ‎ 二、填空题（每题5分，共20）‎ ‎13、直线与平行，则实数的值______‎ ‎14、如图，圆锥中，为底面圆的两条直径，交于，且，，为的中点，则异面直线与所成角的正切值为________‎ ‎15、已知球的直径是该球球面上的两点，，则棱锥的体积为 ‎ ‎16、下列命题正确的是 （填正确的命题序号）‎ ‎①如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行, 那么另一条直线也与这个平面平行;‎ ‎②若直线与平面平行, 则与平面内的任意一条直线都没有公共点;‎ ‎③过一点, 一定存在和两条异面直线都平行的平面;‎ ‎④当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，半径为的圆的方程为x2＋y2－2x＋4y＝0；‎ ‎⑤夹在两个平行平面间的两条线段中点连线与这两个平面平行；‎ 三、解答题（12分+12分+12分+12分+12分+10分）‎ ‎17、已知等差数列的前项和为，且，‎ ‎1）求； ‎ ‎2）令，求数列的前项和.‎ ‎18、已知锐角△ABC 中,内角A、B、C 的对边分别为a、b、c,且.‎ ‎(1)求角C 的大小;‎ ‎(2)求函数的值域.‎ ‎19、如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，‎ ‎，,是的中点．‎ ‎（1）求证:平面⊥平面；‎ ‎（2）若直线与平面所成角的正弦值为，‎ 求二面角的余弦值.‎ ‎20、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，左顶点为，左焦点为，点在椭圆上，直线与椭圆交于两点，直线，分别与轴交于点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）在轴上是否存在点，使得无论非零实数怎样变化，总有为直角？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎21、已知函数 ‎1）求函数的极值；‎ ‎2）若，且对任意恒成立，求实数的最大值；‎ 请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分．做答时请写清题号。‎ ‎22. 选修4-4:极坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为，M是曲线上的动点，点P满足 （1） 求点P的轨迹方程；‎ （2） 以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，射线与曲线、交于不同于极点的A、B两点，求.‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 设函数．‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若f(x)≤2的解集为[-1，3]，，求证：．‎ 理数答案：‎ BACDB ACCCB CA ‎0或；；；（2），（5）‎ ‎17、已知等差数列的前项和为，且，‎ ‎1）求； 2）令，求数列的前项和.‎ ‎（1）；（2）‎ ‎18、已知锐角△ABC 中,内角A、B、C 的对边分别为a、b、c,且.‎ ‎(1)求角C 的大小;‎ ‎(2)求函数的值域.‎ ‎(1);(2)‎ ‎19、如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，‎ ‎，,是的中点．‎ ‎（1）求证:平面⊥平面；‎ ‎（2）若直线与平面所成角的正弦值为，‎ 求二面角的余弦值.‎ ‎20、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，左顶点为，左焦点为，点在椭圆上，直线与椭圆交于两点，直线，分别与轴交于点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）在轴上是否存在点，使得无论非零实数怎样变化，总有为直角？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 解：（1）设椭圆的方程为，因为椭圆的左焦点为，所以，‎ 设椭圆的右焦点为，已知点在椭圆上，‎ 由椭圆的定义知，所以，‎ 所以，从而，所以椭圆的方程为． ………………4分 ‎（2）因为椭圆的左顶点为，则点的坐标为，‎ 因为直线与椭圆交于两点，，‎ 设点（不妨设），则点，‎ 联立方程组，消去得，所以，，………………6分 所以直线的方程为，因为直线与轴交于点，‎ 令得，即点，‎ 同理可得点． ………………10分 假设在轴上存在点，使得为直角，则，‎ 即，即． 解得或． ‎ 故存在点或，无论非零实数怎样变化，总有为直角．……………………12分[‎ ‎21、已知函数 ‎1）求函数的极值；‎ ‎2）若，且对任意恒成立，求实数的最大值；‎ ‎3）证明：对于中的任意一个常数，存在正数，使得成立。‎ ‎21、解：1）∵f（x）=ln（x+1）﹣x， ∴f′（x）=﹣1=﹣，‎ ‎∴当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＞0； 当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0；‎ 故当时，f（x）有极大值为0，无极小值。‎ ‎2）∵f（x﹣1）+x＞k（1﹣）， ∴lnx﹣（x﹣1）+x＞k（1﹣），‎ ‎∴lnx+1＞k（1﹣）， 即xlnx+x﹣kx+3k＞0，‎ 令g（x）=xlnx+x﹣kx+3k， 则g′（x）=lnx+1+1﹣k=lnx+2﹣k，‎ ‎∵x＞1， ∴lnx＞0， ‎ 若k≤2，g′（x）＞0恒成立，‎ 即g（x）在（1，+∞）上递增； ∴g（1）=1+2k≥0， 解得，k≥﹣；‎ 故﹣≤k≤2， 故k的最大值为2；‎ 若k＞2，由lnx+2﹣k＞0解得x＞ek﹣2，‎ 故g（x）在（1，ek﹣2）上单调递减，在（ek﹣2，+∞）上单调递增；‎ ‎∴gmin（x）=g（ek﹣2）=3k﹣ek﹣2，‎ 令h（k）=3k﹣ek﹣2，h′（k）=3﹣ek﹣2，‎ ‎∴h（k）在（1，2+ln3）上单调递增，在（2+ln3，+∞）上单调递减；‎ ‎∵h（2+ln3）=3+3ln3＞0，h（4）=12﹣e2＞0，h（5）=15﹣e3＜0；‎ ‎∴k的最大取值为4，‎ 综上所述，k的最大值为4．‎ ‎3）假设存在这样的x0满足题意，‎ ‎∵e＜1﹣x02， ∴x02+﹣1＜0，‎ 令h（x）=x2+﹣1， ∵h′（x）=x（a﹣），‎ 令h′（x）=x（a﹣）=0得ex=， 故x=﹣lna，取x0=﹣lna，‎ 在0＜x＜x0时，h′（x）＜0，当x＞x0时，h′（x）＞0；‎ ‎∴hmin（x）=h（x0）=（﹣lna）2﹣alna+a﹣1，‎ 在a∈（0，1）时，令p（a）=（lna）2﹣alna+a﹣1， 则p′（a）=（lna）2≥0，‎ 故p（a）在（0，1）上是增函数， 故p（a）＜p（1）=0，‎ 即当x0=﹣lna时符合题意．‎ ‎　‎ 请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分．做答时请写清题号。‎ ‎22. （本小题满分10分）选修4-4:极坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为，M是曲线上的动点，点P满足 （1） 求点P的轨迹方程；‎ （2） 以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，射线与曲线、交于不同于极点的A、B两点，求.‎ ‎22.（10分）解:(I)设,则由条件知.因为M点在上,所以 …………2分 即 从而的轨迹方程为 ‎ …………5分 (Ⅱ)曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为 射线与的交点A的极径为 射线与的交点B的极径为. ………………7分 ‎ 所以. ………………10分 ‎23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数．‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若f(x)≤2的解集为[-1，3]，，求证：．‎ ‎23．（本小题满分10分）解：（1）当时，不等式为，∴或或，∴或．‎ ‎∴不等式的解集为 ．　．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分 ‎（2）f(x)≤2即，解得，而f(x)≤2解集是[-1，3]， ．．．6分 ‎∴解得，所以 ．．．．．．．．．．．7分 ‎∴．（当且仅当 时取等号） ．．．．．．．．．10分