2019-2020学年湖南省五市十校高一上学期第一次联考数学试题B卷（解析版）

2019-2020学年湖南省五市十校高一上学期第一次联考数学试题B卷（解析版）

‎2019-2020学年湖南省五市十校高一上学期第一次联考数学试题B卷 一、单选题 ‎1．设集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据交集定义直接求解可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由交集定义可得：‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.‎ ‎2．下列四组函数中，与相等的是（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】C ‎【解析】分别判断各个选项中函数的定义域和解析式是否全相同，由此可确定结果.‎ ‎【详解】‎ 中，定义域为，定义域为，不是同一函数，错误；‎ 中，定义域为，定义域为，不是同一函数，错误；‎ 中，与定义域均为，且，是同一函数，正确；‎ 中，定义域为，定义域为，不是同一函数，错误.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查同一函数的判断，关键是明确若两函数表示同一函数，则函数的定义域和解析式均相同，属于基础题.‎ ‎3．已知函数，则的值为（ ）‎ A．-1 B．0 C．1 D．9‎ ‎【答案】A ‎【解析】将代入解析式求得，求解即为所求结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据分段函数解析式求解函数值的问题，属于基础题.‎ ‎4．已知，则（ ）‎ A．-1 B．-5 C．-3 D．1‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用诱导公式化简所求式子为正余弦的齐次式，分子分母同时除以即可构造出关于的式子，代入求得结果.‎ ‎【详解】‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用诱导公式化简求值、正余弦齐次式的求解问题；关键是能够将齐次式配凑成关于的式子.‎ ‎5．函数的定义域为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由偶次根式、分式和对数有意义的要求可构造不等式求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由得：或 定义域为 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查具体函数定义域的求解问题，关键是明确偶次根式、分式和对数有意义的具体要求.‎ ‎6．函数的值域为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】将指数-x2+2x看作整体，求出指数范围，再结合指数函数性质即可得到结果．‎ ‎【详解】‎ ‎-x2+2x=-（x-1）2+1≤1；‎ ‎∴；‎ ‎∴f（x）的值域为．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复合函数求值域，考查二次函数和指数函数图像的性质.‎ ‎7．已知函数的一个零点，用二分法求精确度为0.01的的近似值时，判断各区间中点的函数值的符号最多需要的次数为（ ）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎【答案】C ‎【解析】假设对区间二等分次，则第次二等分后区间长度为，由精确度可构造不等式求得结果.‎ ‎【详解】‎ 设对区间二等分次，开始时区间长为 第次二等分后区间长为 ，即 ‎ ，解得：‎ 当时， 最多需要次 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据二分法求解方程根的近似值的问题，关键是能够通过二等分后区间长的规律来构造不等式求得结果.‎ ‎8．定义在上的偶函数满足，且在上单调递减，则不等式的解集为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由偶函数的性质可得在上单调递增且；分别在和两种情况下根据单调性得到自变量的大小关系，由此得到不等式求得结果.‎ ‎【详解】‎ 为上的偶函数且在上单调递减 在上单调递增 又 ‎ 当，即时，，解得：‎ 当，即时，，解得：‎ 综上所述：的解集为 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，奇偶性的作用在于求解对称区间的解析式和函数值；单调性的作用在于将函数值的大小关系变为自变量的大小关系.‎ ‎9．已知函数的部分图象如图所示，则的值为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据函数图象可求得最小正周期，求得；利用整体对应的方式可知，由的范围求得的值；利用求得，进而得到解析式，代入即可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由图象可得： ‎ 又，结合图象可知：，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据正弦型函数的图象求解函数解析式的问题，解决此类问题通常采用整体对应的方式，结合正弦函数图象和性质来构造方程求得结果.‎ ‎10．生活中万事万物都是有关联的，所有直线中有关联直线，所有点中也有相关点，现在定义：平面内如果两点、都在函数的图像上，而且满足、两点关于原点对称，则称点对（、）是函数的“相关对称点对”（注明：点对（、）与（、）看成同一个“相关对称点对”）.已知函数，则这个函数的“相关对称点对”有（ ）‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎【答案】B ‎【解析】设，将“相关对称点对”个数转化为方程根的个数上，进而将问题转化为与图象交点个数问题，利用数形结合的方式可确定交点个数，得到“相关对称点对”个数；通过验证关于原点的对称点不在上，可得到最终结论.‎ ‎【详解】‎ 设，则，则其“相关对称点对”为 在平面直角坐标系中画出与如下图所示：‎ 由图象可知与有且仅有一个交点 有且仅有一个解 “相关对称点对”有且仅有一个 又，则关于原点的对称点为不在上 的“相关对称点对”有且仅有一个 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数中的新定义问题，关键是能够通过新定义的含义将问题转化为方程根的个数的求解问题，即两函数交点个数的求解问题，进而通过数形结合的方式求得结果.‎ ‎11．定义在上的函数满足，且当时，‎ ‎，若方程有9个不同的实根，则正实数的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由知函数为以为周期的周期函数，由此可得到图象，将问题转化为与有个不同交点的问题；由数形结合可知，若要满足题意则需在上有两个不等实根且，结合二次函数图象可得到不等式组，从而求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ 是以为周期的周期函数 则可得图象如下图所示：‎ 在上有两个不等实根且 当时， ‎ 由得：，令 ‎，解得：‎ ‎ ‎ 综上所述：正实数的取值范围为 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据方程根的个数求解参数范围的问题，涉及到根据一元二次方程根的分布求解参数范围的问题；关键是能够将问题转化为两函数交点个数的问题，通过数形结合的方式确定不等关系.‎ 二、填空题 ‎12．若，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将已知等式左右平方，结合同角三角函数平方关系可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用同角三角函数关系求值的问题，属于基础题.‎ ‎13．函数的单调减区间为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据对数真数大于零可求得函数的定义域；分别在和两种情况下，根据复合函数单调性可求得的单调性，进而得到所求单调减区间.‎ ‎【详解】‎ 由得： 定义域为 当时，为增函数；当时，为减函数 的单调递减区间为 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数型复合函数单调区间的求解问题，涉及到分类讨论思想的应用；关键是能够明确复合函数单调性遵循“同增异减”原则；易错点是忽略函数定义域的要求，造成求解错误.‎ ‎14．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果小正方形的周长为28，大正方形的周长为52，直角三角形中较小的锐角为，那么的值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据正方形周长可求得大小正方形边长，利用勾股定理可求得直角三角形中较短的直角边长；利用诱导公式将所求式子变为，进而求得结果.‎ ‎【详解】‎ 小正方形周长为，大正方形周长为 小正方形边长为，大正方形边长为 设直角三角形中较短的直角边长为，则，解得：‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用诱导公式化简求值的问题，关键是能够通过勾股定理求得直角三角形的边长，进而根据余弦定义求得结果.‎ ‎15．定义区间，，，的长度均为，已知函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最大值与最小值的和为______.‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】由奇偶性定义可知函数为偶函数；当，根据值域可确定定义域为；利用偶函数的对称性可知当时，值域为；由此可确定区间长度的最大值和最小值，进而得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ 为偶函数 当时，‎ ‎ ‎ 由偶函数性质可知：当时，值域为 区间最长时为，最短时为或 区间长度的最大值与最小值之和为 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据值域求解函数定义域的问题，关键是能够利用指数函数单调性确定当时，自变量的取值范围，进而结合奇偶性确定区间最长时的情况.‎ 三、解答题 ‎16．（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）根据指数幂的运算法则化简求解即可得到结果；‎ ‎（2）根据对数运算法则化简求解即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）原式 ‎ ‎ ‎（2）原式 ‎【点睛】‎ 本题考查指数幂、对数运算化简求值的问题，关键是熟练掌握指数幂运算和对数运算的运算法则，属于基础题.‎ ‎17．已知函数.‎ ‎（1）若，用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数在上的图象；‎ ‎（2）若为奇函数，求；‎ ‎（3）在（2）的前提下，将函数的图象向左平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的单调递增区间.‎ ‎【答案】（1）图象见解析；（2）；（3）‎ ‎【解析】（1）利用“五点法”列表、描点即可得到函数的图象；‎ ‎（2）利用奇函数可构造方程求得的可能取值，结合的范围求得结果；‎ ‎（3）将函数变为，根据三角函数左右平移和伸缩变换原则可得到，令可求得的单调递增区间，从中截取位于之间的部分即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，列表：‎ 则函数在区间上的图象是：‎ ‎（2）为奇函数 ‎， ‎ ‎（3）由（2）知：‎ 将向左平移个单位，再将横坐标变为原来的倍，得到：‎ 令，，解得：，‎ 的单调递增区间为 在上的单调递增区间为 ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数知识的综合应用问题，涉及到五点法作图、根据奇偶性求解参数值、三角函数的平移和伸缩变换、正弦型函数单调区间的求解问题；求解正弦型函数单调区间的关键是能够采用整体对应的方式，结合正弦函数图象求得结果.‎ ‎18．已知幂函数是偶函数，且在上单调递增，函数 ‎.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）当时，记，的值域分别为集合，若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）根据幂函数定义可构造方程求得或，代入验证可知不合题意，从而得到结果；‎ ‎（2）根据两函数单调性可求得集合，由并集结果知，由此可得不等式组，解不等式组求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）为幂函数 ，解得：或 当时，，在上单调递减，不合题意；‎ 当时，，为偶函数，且在上单调递增，符合题意 综上所述：‎ ‎（2）由（1）知：‎ 当时，，单调递增 ，‎ ‎ ，解得：‎ 的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题考查根据幂函数的定义和性质求解参数值、函数值域的求解、根据集合的包含关系求解参数范围的问题；关键是能够根据函数的单调性准确求得函数值域，进而根据包含关系得到不等式组.‎ ‎19．随着经济的发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习.已知前三年，平台会员的个数如下表所示：‎ 建立平台第年 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 会员个数（千人）‎ ‎14‎ ‎20‎ ‎29‎ ‎（1）依据表中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台年后平台会员人数（千人），并求出你选择模型的解析式；‎ ‎①，②（且），③（且）‎ ‎（2）为控制平台会员人数盲目扩大，平台规定无论怎样发展，会员人数不得超过千人，依据（1）中你选择的函数模型求的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）根据表格数据可知函数递增且增长速度越来越快，故选择模型③；代入表格中三个点即可构造方程组求得未知数，进而得到所求模型；‎ ‎（2）根据（1）中结论可将不等式整理为对恒成立，采用换元法，结合二次函数的性质可求得的最大值，进而得到的取值范围，从而得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）从表格数据可以得知，函数是一个增函数，故不可能是①，‎ 函数增长的速度越来越快 选择③（且）‎ 代入表格中的三个点可得：，解得：‎ ‎，.‎ ‎（2）由（1）可知：，‎ 故不等式对恒成立 对恒成立 令，则 ，‎ 在单调递增，则 ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查选择合适的函数模型解决实际问题，涉及到函数模型的求解、恒成立问题的求解；解决恒成立问题的关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系，进而结合二次函数的性质得到函数的最值.‎ ‎20．已知函数,且.‎ ‎（1）若函数在上恒有意义，求的取值范围；‎ ‎（2）是否存在实数，使函数在区间上为增函数，且最大值为？若存在求出的值，若不存在请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据在上恒有意义,则在上恒成立.讨论对称轴的位置,即可求得的取值范围.‎ ‎（2）讨论与两种情况,结合复函函数单调性即可判断是否符合单调递增.再根据最大值为,代入的值,解方程即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）函数在上恒有意义 即在上恒成立 令 对称轴为,开口向上 当时,只需,即,解得,所以 当时,只需,即,解得,所以 当时, 只需,即,解得,所以 综上可知, 的取值范围为 ‎（2）函数对称轴为 ‎ 由复合函数单调性的性质可知:‎ 当时为单调递减函数, 在上为单调递增函数,所以在上单调递减,不合题意 当时, 为单调递增函数, 若在上单调递增,则在上为单调递增函数.‎ 所以由对称轴在左侧可得 因为最大值为2,则 即 即,化简可得 ‎ 解得或 ‎ 因为 所以 当函数在区间上为增函数，且最大值为 ‎【点睛】‎ 本题考查了二次函数在区间内恒成立问题,复合函数单调性的判断与应用,函数最值的应用,属于中档题.‎ ‎21．已知函数，.‎ ‎（1）若，求证：函数恰有一个负零点；（用图象法证明不给分）‎ ‎（2）若函数恰有三个零点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）由单调性的性质可判断出在上单调递减，利用零点存在定理可知存在唯一的使得，由此可证得结论；‎ ‎（2）令，结合函数图象可知，若恰有三个零点，则方程必有两根，且，或，；当时可求得，不合题意；当，时，根据二次函数图象可得到不等式组，由此解得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）若，则 时，单调递减，单调递减 当时，单调递减 又，，则存在唯一的使得 即函数在区间恰有一个零点 ‎（2）令，，要使得函数恰有三个零点 图象如下图所示：‎ 则方程必有两根，且，或，‎ ‎①若，时，令 则，即，解得：‎ ‎②若，则，即 ，不合题意 综上所述：实数的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题考查零点存在定理的应用、根据函数零点个数求解参数范围的问题；本题解题关键是能够通过换元法将问题转化为一元二次方程根的分布问题的求解，进而通过二次函数图象来确定不等关系.‎