【数学】2020届一轮复习苏教版第四章第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式学案

【数学】2020届一轮复习苏教版第四章第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式学案

第2讲　同角三角函数的基本关系式与诱导公式 考试要求　1.同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α(B级要求)；2.±α，π±α，－α的正弦、余弦的诱导公式(B级要求).‎ 知 识 梳 理 ‎1.同角三角函数的基本关系 ‎(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.‎ ‎(2)商数关系：＝tan__α.‎ ‎2.三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 ‎2kπ＋α(k∈Z)‎ π＋α ‎－α π－α －α ＋α 正弦 sin α ‎－sin__α ‎－sin__α sin__α cos__α cos__α 余弦 cos α ‎－cos__α ‎ cos__α ‎ ‎－cos__α ‎ sin__α ‎－sin__α ‎ 正切 tan α tan__α ‎－tan__α ‎－tan__α 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 注意：诱导公式记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”.‎ 诊 断 自 测 ‎1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.(　　)‎ ‎(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.(　　)‎ ‎(3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.(　　)‎ ‎(4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　　)‎ 解析　(1)对于α∈R，sin(π＋α)＝－sin α都成立.‎ ‎(4)当k为奇数时，sin α＝，‎ 当k为偶数时，sin α＝－.‎ 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×‎ ‎2.(教材改编)已知tan α＝2，则的值为________.‎ 解析　原式＝＝＝3.‎ 答案　3‎ ‎3.已知sin＝，那么cos α＝________.‎ 解析　∵sin＝sin＝cos α，∴cos α＝.‎ 答案　 ‎4.(2019·南通调研)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ＝________.‎ 解析　∵sin θ＋cos θ＝，∴sin θcos θ＝.‎ 又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，‎ ‎∴sin θ－cos θ＝或－.‎ 又∵θ∈，∴sin θ－cos θ＝－.‎ 答案　－ ‎5.(2019·泰兴中学检测)已知3sin α＋4cos α＝5，则tan α＝________.‎ 解析　由3sin α＋4cos α＝5，‎ 两边平方得9sin2α＋24sin αcos α＋16cos2α＝25，‎ 即9sin2α＋24sin αcos α＋16cos2α＝25(sin2α＋cos2α)，‎ 从而16sin2α－24sin αcos α＋9cos2α＝0.‎ 故(4sin α－3cos α)2＝0，‎ 所以4sin α＝3cos α，‎ 故tan α＝.‎ 答案　 考点一　同角三角函数基本关系式及其应用 ‎【例1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷改编)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则|a－b|＝________.‎ ‎(2)已知sin αcos α＝，且<α<，则cos α－sin α的值为________.‎ 解析　(1)由题意知cos α>0.因为cos 2α＝2cos2α－1＝，所以cos α＝，sin α＝±，得|tan α|＝.由题意知|tan α|＝，所以|a－b|＝.‎ ‎(2)∵<α<，‎ ‎∴cos α<0，sin α<0且cos α>sin α，‎ ‎∴cos α－sin α>0.‎ 又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，‎ ‎∴cos α－sin α＝.‎ 答案　(1)　(2) 规律方法　(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化.‎ ‎(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.‎ ‎(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.‎ ‎【训练1】 (1)(2019·南师大附中等四校联考)已知tan＝3，则sin θcos θ－3cos2θ的值为________.‎ ‎(2)(2019·苏州模拟)已知θ是第三象限角，且sin θ－2cos θ＝－，则sin θ＋cos θ＝________.‎ 解析　(1)由于tan＝＝＝3，解得tan θ＝，所以 sin θcos θ－3cos2θ＝＝＝－2.‎ ‎(2)由sin θ－2cos θ＝－及sin2θ＋cos2θ＝1得：‎ ‎(2cos θ－)2＋cos2θ＝1⇒5cos2θ－cos θ－＝0⇒cos θ＝或cos θ＝－，因为θ是第三象限角，所以cos θ＝－，从而sin θ＝－，∴sin θ＋cos θ＝－.‎ 答案　(1)－2　(2)－ 考点二　诱导公式的应用 ‎【例2】 (1)化简：sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)；‎ ‎(2)求值：‎ 设f(α)＝(1＋2sin α≠0)，求f的值.‎ 解　(1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin 1 050°‎ ‎＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)‎ ‎＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°‎ ‎＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝×＋×＝1.‎ ‎(2)∵f(α)＝ ‎＝＝＝，‎ ‎∴f＝＝＝＝.‎ 规律方法　(1)诱导公式的两个应用 ‎①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.‎ ‎②化简：统一角，统一名，同角名少为终了.‎ ‎(2)含2π整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.‎ ‎【训练2】 (1)(2019·连云港模拟)计算：sin π＋cos π＝________.‎ ‎(2)已知f(x)＝，则f(－)＝________.‎ 解析　(1)∵sin π＝sin＝－sin ＝－，‎ cos π＝cos＝cos ＝－，‎ ‎∴sin π＋cos π＝－1.‎ ‎(2)f(x)＝＝－tan2 x，‎ f＝－tan2＝－tan2π＝－1.‎ 答案　(1)－1　(2)－1‎ ‎【例3】 (1)(2019·泰兴模拟)设tan(5π＋α)＝m，则的值为________；‎ ‎(2)已知cos＝，且－π<α<－，则cos＝________.‎ 解析　(1)由tan(5π＋α)＝m，得tan α＝m，‎ ‎∴＝ ‎＝＝.‎ ‎(2)因为＋＝，‎ 所以cos＝sin＝sin.‎ 因为－π<α<－，所以－<α＋<－.‎ 又cos＝>0，所以－<α＋<－，‎ 所以sin＝－ ‎＝－＝－.‎ 答案　(1)　(2)－ 规律方法　(1)利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.‎ ‎(2)注意角的范围对三角函数符号的影响，注意常见互余与互补的角：①常见的互余的角：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等.‎ ‎②常见的互补的角：＋θ与－θ；＋θ与－θ等.‎ ‎【训练3】 (1)(2019·南通调研)已知cos＝a(|a|≤1)，则cos＋sin＝________.‎ ‎(2)已知sin＝，则sin＋sin2的值是________.‎ 解析　(1)由题意知，cos＝cos ‎＝－cos＝－a.‎ sin＝sin＝cos＝a，‎ ‎∴cos＋sin＝0.‎ ‎(2)因为sin＝，‎ 所以sin＋sin2 ‎＝sin＋sin2 ‎＝－sin＋1－sin2 ‎＝－＋1－＝.‎ 答案　(1)0　(2) 一、必做题 ‎1.sin(－585°)的值为________.‎ 解析　sin(－585°)＝－sin 585°＝－sin(360°＋225°)＝－sin 225°＝－sin(180°＋45°)＝sin 45°＝.‎ 答案　 ‎2.已知α是第四象限角，sin α＝－，则tan α＝________.‎ 解析　因为α是第四象限角，sin α＝－，‎ 所以cos α＝＝，故tan α＝＝－.‎ 答案　－ ‎3.已知cos＝，则cos α＝________.‎ 解析　由cos＝得cos＝，则sin ＝.所以cos α＝1－2sin2＝1－2×＝.‎ 答案　 ‎4.(2019·宿迁摸底)已知sin α＝cos ，0<α<π，则α的取值集合为________.‎ 解析　由题意得sin α＝cos ＝sin ＝sin ，0<α<π，所以α的取值集合为.‎ 答案　 ‎5.已知tan α＝3，则的值是________.‎ 解析　原式＝ ‎＝＝＝＝＝2.‎ 答案　2‎ ‎6.(2018·江苏高考冲刺卷)已知tan α＝，α∈(0，π)，则cos的值为________.‎ 解析　∵α∈(0，π)，tan α＝，∴sin α＝，cos α＝，由两角和的余弦公式可得cos＝cos αcos －sin α·sin ＝.‎ 答案　 ‎7.若f(cos x)＝cos 3x，那么f(sin 30°)的值为________.‎ 解析　因为sin 30°＝sin(90°－60°)＝cos 60°，‎ 所以f(sin 30°)＝f(cos 60°)＝cos(3×60°)＝cos 180°＝－1.‎ 答案　－1‎ ‎8.(2019·扬州中学质检)向量a＝，b＝(cos α，1)，且a∥b，则cos＝________.‎ 解析　∵a＝，b＝(cos α，1)，且a∥b，‎ ‎∴×1－tan αcos α＝0，∴sin α＝，‎ ‎∴cos＝－sin α＝－.‎ 答案　－ ‎9.若sin α＝2cos α，则sin2α＋2cos2α的值为________.‎ 解析　由sin α＝2cos α得tan α＝2，‎ 因此sin2α＋2cos2α＝＝ ‎＝＝.‎ 答案　 ‎10.(1)若3sin α＋cos α＝0，求的值；‎ ‎(2)(2017·全国Ⅰ卷改编)已知α∈，tan α＝2，求cos的值.‎ 解　(1)3sin α＋cos α＝0⇒cos α≠0⇒tan α＝－，＝＝ ‎＝＝.‎ ‎(2)由tan α＝2得sin α＝2 cos α，‎ 又sin 2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝.‎ 因为α∈，所以cos α＝，sin α＝.‎ 因为cos＝cos αcos ＋sin αsin ，‎ 所以cos＝×＋×＝.‎ ‎11.已知tan α是关于x的方程2x2－x－1＝0的一个实根，且α是第三象限角.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)求cos α＋sin α的值.‎ 解　∵2x2－x－1＝0，∴x1＝－，x2＝1，‎ ‎∴tan α＝－或tan α＝1，‎ 又α是第三象限角，所以tan α＝1.‎ ‎(1)＝＝＝.‎ ‎(2)∵且α是第三象限角，‎ ‎∴ ‎∴sin α＋cos α＝－.‎ 二、选做题 ‎12.已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 019)的值为________.‎ 解析　∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)‎ ‎＝asin α＋bcos β＝3，‎ ‎∴f(2 019)＝asin(2 019π＋α)＋bcos(2 019π＋β)‎ ‎＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)‎ ‎＝－asin α－bcos β ‎＝－3.‎ 答案　－3‎ ‎13.若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为________.‎ 解析　由题意知sin θ＋cos θ＝－，sin θ·cos θ＝.‎ 又＝1＋2sin θcos θ，‎ ‎∴＝1＋，解得m＝1±.‎ 又Δ＝4m2－16m≥0，‎ ‎∴m≤0或m≥4，∴m＝1－.‎ 答案　1－