人教版高三数学总复习课时作业32
第五章 数列
课时作业32 数列的概念与简单表示法
一、选择题
1．数列，，，…的第10项是( )
A. B.
C. D.
解析：由已知得数列的通项公式an＝，∴a10＝.
答案：C
2．数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5为( )
A．－3 B．－11
C．－5 D．19
解析：由an＋1＝an＋2－an，得an＋2＝an＋1＋an，又∵a1＝2，a2＝5，∴a3＝a1＋a2＝7，a4＝a3＋a2＝12，a5＝a4＋a3＝19，选D.
答案：D
3．数列{an}满足：a1＝1，且当n≥2时，an＝an－1，则a5＝( )
A. B.
C．5 D．6
解析：因为a1＝1，且当n≥2时，an＝an－1，
则＝
所以a5＝····a1＝××××1＝.故选A.
答案：A
4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5
0，解得n>6或n<1(舍)．
∴从第7项起各项都是正数．
11．在数列{an}中，a1＝1，Sn为其前n项和，且an＋1＝2Sn＋n2－n＋1.
(1)设bn＝an＋1－an，求数列{bn}的前n项和Tn；
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)∵an＋1＝2Sn＋n2－n＋1，
∴an＝2Sn－1＋(n－1)2－(n－1)＋1(n≥2)，
两式相减得，an＋1－an＝2an＋2n－2(n≥2)．
由已知可得a2＝3，∴n＝1时上式也成立．
∴an＋1－3an＝2n－2(n∈N*)，an－3an－1＝2(n－1)－2(n≥2)．
两式相减，得(an＋1－an)－3(an－an－1)＝2(n≥2)．
∵bn＝an＋1－an，
∴bn－3bn－1＝2(n≥2)，bn＋1＝3(bn－1＋1)(n≥2)．
∵b1＋1＝3≠0，
∴{bn＋1}是以3为公比，3为首项的等比数列，
∴bn＋1＝3×3n－1＝3n，∴bn＝3n－1.
∴Tn＝31＋32＋…＋3n－n＝·3n＋1－n－.
(2)由(1)知，an＋1－an＝3n－1，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1
＝30＋31＋32＋…＋3n－1－(n－1)＝(3n＋1)－n.
1．已知函数y＝f(x)，数列{an}的通项公式是an＝f(n)(n∈N*)，那么“函数y＝f(x)在[1，＋∞)上单调递增”是“数列{an}是递增数列”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：若函数y＝f(x)在[1，＋∞)上递增，则数列{an}是递增数列一定成立；反之不成立，现举反例说明：若数列{an}是递增数列，则函数在[1,2]上可以先减后增，只要在x＝1处的函数值比在x＝2处的函数值小即可．故“函数y＝f(x)在[1，＋∞)上递增”是“数列{an}是递增数列”的充分不必要条件．选A.
答案：A
2．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则满足≤2的正整数n的集合为( )
A．{1,2} B．{1,2,3,4}
C．{1,2,3} D．{1,2,4}
解析：因为Sn＝2an－1，所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，两式相减得an＝2an－2an－1，整理得an＝2an－1，所以{an}是公比为2的等比数列，又因为a1＝2a1－1，解得a1＝1，故{an}的通项公式为an＝2n－1.而≤2，即2n－1≤2n，所以有n＝1,2,3,4.
答案：B
3．已知数列{an}满足an＋1＝若a3＝1，则a1的所有可能取值为________．
解析：当a2为奇数时，a3＝a2－4＝1，a2＝5；
当a2为偶数时，a3＝a2＝1，a2＝2；
当a1为奇数时，a2＝a1－2＝5，a1＝7
或a2＝a1－2＝2，a1＝4(舍去)；
当a1为偶数时，a2＝a1＝5，a1＝10
或a2＝a1＝2，a1＝4
综上，a1的可能取值为4,7,10.
答案：4,7,10
4．已知数列{an}满足前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}满足bn＝，且前n项和为Tn，设cn＝T2n＋1－Tn.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)判断数列{cn}的增减性．
解：(1)a1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)．
∴bn＝
(2)∵cn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1
＝＋＋…＋，
∴cn＋1－cn＝＋－<0，
∴{cn}是递减数列．
