数学理卷·2018届湖南省益阳市高二上学期期末考试(2017-01)

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数学理卷·2018届湖南省益阳市高二上学期期末考试(2017-01)

益阳市2016-2017学年度第一学期期末考试 高二数学(理科)‎ 第Ⅰ卷(共60分)‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知数列是公差为的等差数列,且成等比数列,则等于( )‎ A. B. C. D.或 ‎2.已知两个向量,且,则的值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.已知命题,则命题的否定是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎4.已知命题,命题,则命题是命题的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 ‎5.已知变量满足,则的最大值是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.函数的部分图象如图所示,则的解析式是( )‎ A. ‎ B. ‎ C. D.‎ 7. 就某地居民的月收入调查了人,并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点,不包括右端点,如第一组表示收入在 ‎).根据频率分布直方图可求得样本数据的中位数是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.已知两个向量,则的最大值是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.已知函数,在区间上任取一点,则的概率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知正项等比数列满足,若存在两项,使得,则的最小值为( )‎ A. B. C. D.不存在 ‎12.已知分别是双曲线的左、右焦点,为双曲线右支上的一点,是的内心,且,则( )‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷(共90分)‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13.甲、乙两名同学在次数学考试后,用茎叶图统计成绩如图所示,则甲、乙的平均成绩之差 .‎ ‎14.已知三角形的两内角的对应边分别为,若,则的值等于 .‎ ‎15.已知直线与椭圆交于两点,则线段的长为 .‎ ‎16.关于函数,则下列命题:①的最大值为;②在定义域上是偶函数;③在区间上是减函数;④将函数的图象向右平移个单位后,将与函数的图象重合.其中正确命题的序号是 .‎ 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ‎ ‎17. (本小题满分10分)‎ 已知函数,当时,有最大值.‎ (1) 求的最小正周期及解析式;‎ (2) 若,求的值.‎ ‎18. (本小题满分12分)‎ 如图,在四棱锥中,底面是正方形,侧棱底面,点是的中点,.‎ (1) 求证:平面;‎ (2) 求证:;‎ ‎(3)求二面角的余弦值.‎ ‎19. (本小题满分12分)‎ 某小卖部为了研究气温对热饮销售的影响,经过统计,得到一个卖出的热饮杯数与当天气温(平均温度)的对比表:‎ (1) 请在图中画出上表数据的散点图;‎ (2) 请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程;‎ (3) 如果某天的气温是,试根据(2)求出的线性回归方程预测这天大约可以卖出的热饮杯数.‎ 参考公式:最小二乘法求线性回归方程系数公式:.‎ 参考数据:.‎ 20. ‎(本小题满分12分)‎ 已知为三角形的三内角,其对应边分别为,且 ‎.‎ (1) 求的大小;‎ ‎(2)若,求三角形的面积.‎ ‎21. (本小题满分12分)‎ 设数列的前项和,数列满足,数列满足.‎ (1) 求数列的通项公式;‎ (2) 求数列的前项和;‎ (3) 求数列的前项和.‎ ‎22. (本小题满分12分)‎ 已知点,是平面上一动点,且满足,设点的轨迹是曲线.‎ (1) 求曲线的方程;‎ (2) 将直线绕点逆时针旋转得到,若与曲线恰好只有一个公共点,求点的坐标;‎ ‎(3)过(2)中的点作两条不同的直线分别交曲线于,且的斜率满足,求证:直线过定点,并求出这个定点坐标.‎ 益阳市2016-2017学年度第一学期期末考试 高二数学(理科)参考答案 一、选择题 ‎1-5:CCBAB 6-10:CBBCD 11、12:AB 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.①③④‎ 三、解答题 17. 解:(1),‎ 当时,有最大值,又,∴,‎ ‎∴,即,所以的解析式为.‎ (2) ‎∵,∴,‎ ‎∵,则,∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ 18. 解:(1)如图,由已知得两两垂直,以为坐标原点,所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,则,‎ ‎∵点是的中点,∴点的坐标为,‎ ‎∴.‎ 设平面的法向量为,‎ 由得,令得,‎ 又,∴,∴,∴平面.‎ (2) ‎∵,∴,∴.‎ (3) ‎∵平面的法向量为,平面的法向量为,‎ ‎∴,‎ ‎∴二面角的余弦值为.‎ 19. 解:(1)如图.‎ (2) ‎,‎ ‎,,‎ 故所求线性回归方程为.‎ (3) 当时,,预测这天大约可以卖出杯热饮.‎ 20. 解:(1)∵,由正弦定理可知①,‎ 在三角形中有:②,‎ 由①②可得:,在三角形中,故得,‎ 又,所以.‎ (2) 由正弦定理,得,‎ 即.‎ 故得:.‎ 21. 解:(1)①当时,,,∴.‎ ‎②当时,,它满足上式,‎ ‎∴数列的通项公式为:.‎ (2) ‎,‎ ‎.‎ (3) ‎∵,∴,‎ ‎∴,①‎ ‎②,则①-②得:‎ ‎,∴.‎ 22. 解:(1)设点的坐标为,由得,‎ 化简得,即曲线的方程是.‎ (2) 由题意知可设的方程为,‎ 由消去得:(※),‎ ‎∴,‎ ‎∵直线绕点逆时针旋转得到,∴代入(※)式解得,∴,‎ ‎∴点的坐标是.‎ (3) 设点的坐标分别为,由(2)知,‎ ‎∵,∴,‎ ‎∵在曲线上,∴代入上式整理得:,‎ 直线的方程为:,即,‎ ‎∴,即,‎ ‎∴直线过定点.‎
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